Трансформация Чирнхауса

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А преобразование Чирнгауза , также известное как трансформация Чирнгаузена , представляет собой тип отображения на полиномах , разработанный Эренфрид Вальтер фон Чирнгауз в 1683 Он может быть определен удобно с помощью теории поля , как преобразование на минимальных многочленах подразумеваемых другим выбор примитивного элемента . Это наиболее общее преобразование неприводимого многочлена, которое берет корень к некоторой рациональной функции, примененной к этому корню.

В деталях, пусть будет поле и многочлен над . Если неприводимо, то фактор - кольцо в кольце многочленов от главного идеала , порожденное ,${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle P (t)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle P}$ ${\displaystyle K[t]}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle K[t]/(P(t))=L}$,

является расширением поля . У нас есть${\displaystyle K}$

${\displaystyle L=K(\alpha )}$

где находится по модулю . То есть любой элемент является многочленом от , который, таким образом, является примитивным элементом . Будут другие варианты выбора примитивного элемента в : для любого такого выбора мы будем иметь по определению:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$${\displaystyle (P)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}$,

с многочленами и более . Теперь , если минимальный многочлен для более , мы можем назвать с преобразованием Чирнгауза из .${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle K}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Следовательно, множество всех преобразований Чирнхауза неприводимого многочлена следует описывать как проходящие по всем способам изменения , но оставляющие то же самое. Эта концепция используется, например, при приведении квинтиков к форме Бринга – Джеррарда . Существует связь с теорией Галуа , когда это расширение Галуа из . В таком случае группу Галуа можно рассматривать как все преобразования Чирнхауза самой себя.${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

См. Также [ править ]

• Полиномиальные преобразования

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Преобразование Чирнхаузена" . MathWorld .
• Статья Чирнхауза 1683 г. «Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения» , перевод Р.Ф. Грина (2003).