В геометрии , угол из многоугольника образованны двух сторон многоугольника , которые разделяют конечную точку. Для простого (не самопересекающегося) многоугольника, независимо от того, является ли он выпуклым или невыпуклым , этот угол называется внутренним углом (или внутренним углом ), если точка внутри угла находится внутри многоугольника. Многоугольник имеет ровно один внутренний угол на вершину .
Если каждый внутренний угол простого многоугольника меньше 180 °, многоугольник называется выпуклым .
Напротив, внешний угол (также называемый внешним углом или углом поворота ) - это угол, образованный одной стороной простого многоугольника и линией, продолжающейся от соседней стороны . [1] [2] : стр. 261–264.
Свойства [ править ]
- Сумма внутреннего угла и внешнего угла в одной и той же вершине составляет 180 °.
- Сумма всех внутренних углов простого многоугольника составляет 180 ( n –2) °, где n - количество сторон. Формулу можно доказать с помощью математической индукции : начнем с треугольника, сумма углов которого равна 180 °, затем заменим одну сторону двумя сторонами, соединенными в другой вершине, и так далее.
- Сумма внешних углов любого простого выпуклого или невыпуклого многоугольника, если только один из двух внешних углов предполагается в каждой вершине, составляет 360 °.
- На величину внешнего угла в вершине не влияет то, какая сторона расширяется: два внешних угла, которые могут быть образованы в вершине путем попеременного удлинения одной или другой стороны, являются вертикальными углами и, таким образом, равны.
Расширение до пересеченных многоугольников [ править ]
Концепция внутреннего угла может быть последовательно расширена на пересекающиеся многоугольники, такие как звездчатые многоугольники, с помощью концепции направленных углов . В общем, сумма внутренних углов в градусах любого замкнутого многоугольника, включая пересекающиеся (самопересекающиеся), тогда равна 180 ( n –2 k ) °, где n - количество вершин, и строго положительное целое число k. это количество полных (360 °) оборотов, которые человек совершает при обходе периметра многоугольника . Другими словами, 360 k ° представляют собой сумму всех внешних углов. Пример: для обычных выпуклых многоугольников ивогнутые многоугольники , k = 1, поскольку сумма внешних углов равна 360 °, и один совершает только один полный оборот, обходя периметр.
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Биссектриса внешнего угла". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ExteriorAngleBisector.html
- ^ Posamentier, Альфред С. и Lehmann, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
Внешние ссылки [ править ]
- Внутренние углы треугольника
- Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула - предоставляет интерактивное действие Java, расширяющее формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включая пересекающиеся (сложные) многоугольники.
