Скрученное полиномиальное кольцо

В математике скрученный многочлен — это многочлен над полем характеристики от переменной , представляющей карту Фробениуса . В отличие от нормальных многочленов, умножение этих многочленов не коммутативно , а удовлетворяет правилу коммутации ${\ Displaystyle р}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {р}}$

Над бесконечным полем скрученное кольцо многочленов изоморфно кольцу аддитивных многочленов , но где умножение на последнем задается композицией, а не обычным умножением. Однако часто проще выполнять вычисления в скрученном кольце многочленов — это особенно применимо в теории модулей Дринфельда .

Пусть – поле характеристики . Скрученное кольцо полиномов определяется как множество полиномов от переменной и коэффициентов от . Он наделен кольцевой структурой с обычным сложением, но с некоммутативным умножением, которое можно суммировать соотношением для . Повторное применение этого соотношения дает формулу умножения любых двух скрученных многочленов. $k$ $p$ $k\{\tau \}$ $\tau$ $k$ $\tau x=x^{p}\tau$ $x\in k$

определяет кольцевой гомоморфизм , переводящий скрученный многочлен в аддитивный многочлен. Здесь умножение в правой части задается композицией многочленов. Например

воспользовавшись тем, что в характеристике у нас есть мечта первокурсника . $p$ $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$

Гомоморфизм, очевидно, инъективен, но сюръективен тогда и только тогда , когда он бесконечен. Неудача сюръективности, когда она конечна, связана с существованием ненулевых многочленов, которые индуцируют нулевую функцию на (например , над конечным полем с элементами). ^[^{нужна ссылка}^] $k$ $k$ $k$ $x^{q}-x$ $q$