В математической области дифференциальных уравнений в частных производных ультрагиперболическое уравнение является уравнением в частных производных для неизвестной скалярной функции u от 2 n переменных x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n вида
В более общем смысле, если a - любая квадратичная форма от 2 n переменных с сигнатурой ( n , n ), то любое УЧП, главная часть которогосчитается ультрагиперболическим. Любое такое уравнение можно записать в форму 1. выше посредством замены переменных. [1]
Ультрагиперболическое уравнение изучалось с нескольких точек зрения. С одной стороны, оно напоминает классическое волновое уравнение . Это привело к ряду разработок, касающихся его характеристик , одна из которых принадлежит Фрицу Джону : уравнение Джона .
Уолтер Крейг и Стивен Вайнштейн недавно (2008) доказали, что при нелокальном ограничении задача начального значения корректна для начальных данных, заданных на гиперповерхности коразмерности один. [2]
Уравнение также изучалось с точки зрения симметрических пространств и эллиптических дифференциальных операторов . [3] В частности, ультрагиперболическое уравнение удовлетворяет аналогу теоремы о среднем значении для гармонических функций .
Заметки
- ^ См. Курант и Гильберт.
- ^ Крейг, Уолтер; Вайнштейн, Стивен. «О детерминизме и корректности во многих временных измерениях» . Proc. R. Soc. Том. 465 нет. 2110 3023-3046 (2008) . Проверено 5 декабря 2013 года .
- ^ См., Например, Хельгассон.
Рекомендации
- Дэвид Гильберт ; Ричард Курант (1962). Методы математической физики. 2 . Wiley-Interscience. С. 744–752. ISBN 978-0-471-50439-9.
- Ларс Хёрмандер (20 августа 2001 г.). «Теорема Асгейрссона о среднем значении и родственные тождества» . Журнал функционального анализа . 2 (184): 377–401. DOI : 10,1006 / jfan.2001.3743 .
- Ларс Хёрмандер (1990). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными I . Springer-Verlag. Теорема 7.3.4. ISBN 978-3-540-52343-7.
- Сигурдур Хельгасон (2000). Группы и геометрический анализ . Американское математическое общество. С. 319–323. ISBN 978-0-8218-2673-7.
- Фриц Джон (1938). «Ультрагиперболическое дифференциальное уравнение с четырьмя независимыми переменными». Duke Math. Дж . 4 (2): 300–322. DOI : 10.1215 / S0012-7094-38-00423-5 .