В ОТО , то Вайдия метрика описывает непустое внешнее пространство - время сферический симметричной и невращающейся звезды, либо излучающая или поглощающей пыль , нулевой . Она названа в честь индийского физика Прахалада Чуннилала Вайдья и представляет собой простейшее нестатическое обобщение безызлучательного решения Шварцшильда для уравнения поля Эйнштейна и поэтому также называется «излучающей (сияющей) метрикой Шварцшильда».
От метрики Шварцшильда к метрике Вайдья
Метрика Шварцшильда как статическое и сферически симметричное решение уравнения Эйнштейна имеет вид
Чтобы снять координатную особенность этой метрики при , можно было переключиться на координаты Эддингтона – Финкельштейна . Таким образом, введите нулевую координату "запаздывающая (/ исходящая)". от
и уравнение (1) может быть преобразовано в «запаздывающую (/ исходящую) метрику Шварцшильда»
или вместо этого мы могли бы использовать "расширенную (/ ingoing)" нулевую координату от
поэтому уравнение (1) становится «расширенной (/ входящей) метрикой Шварцшильда»
Уравнения (3) и (5) как статические и сферически-симметричные решения справедливы как для обычных небесных объектов с конечными радиусами, так и для особых объектов, таких как черные дыры . Оказывается, что по-прежнему физически разумно, если расширить массовый параметр в уравнениях (3) и (5) из константы в функции соответствующей нулевой координаты, а также соответственно, таким образом
Расширенные метрики Уравнение (6) и Уравнение (7) являются соответственно «запаздывающими (/ исходящими)» и «продвинутыми (/ входящими)» метриками Вайдьи. [1] [2] Также иногда полезно преобразовать уравнения метрики Вайдьи (6) (7) в форму
Что касается "запаздывающей (/ исходящей)" метрики Вайдьи (6), [1] [2] [3] [4] [5], то тензор Риччи имеет только одну ненулевую компоненту
а скаляр кривизны Риччи обращается в нуль, так как . Таким образом, согласно бесследовому уравнению Эйнштейна, То тензор энергии удовлетворяет
где а также являются нулевыми (ко) векторами (см. вставку A ниже). Таким образом,представляет собой «поле чистого излучения» [1] [2], которое имеет плотность энергии. Согласно условиям нулевой энергии
у нас есть и, таким образом, центральное тело излучает излучение.
Примечательно, что поле Вайдья - это поле чистого излучения, а не электромагнитные поля . Испускаемые частицы или потоки энергии-вещества имеют нулевую массу покоя и поэтому обычно называются «нулевой пылью», обычно такой как фотоны и нейтрино , но не могут быть электромагнитными волнами, потому что уравнения Максвелла-НП не выполняются. Между прочим, исходящие и входящие скорости расширения нуля для линейного элемента (6) соответственно равны
Блок A: Анализ метрики Вайдьи в "исходящей" нулевой тетраде
где точка означает производную по некоторому параметру . Этот лагранжиан имеет два решения:
Согласно определению в уравнении (2) можно было бы найти, что когда увеличивается, радиус ареала также увеличится для решения , пока уменьшится для решения . Таким образом, следует признать исходящим решением, в то время как служит входящим решением. Теперь мы можем построить сложную нулевую тетраду, которая адаптирована к исходящим нулевым радиальным геодезическим, и использовать формализм Ньюмана – Пенроуза для выполнения полного анализа исходящего пространства-времени Вайдьи. Такая исходящая адаптированная тетрада может быть настроена как
поэтому ковекторы двойственного базиса равны
В этой нулевой тетраде спиновые коэффициенты равны
Поскольку единственный ненулевой скаляр Weyl-NP является , То «запаздывающее (/ исходящее)» Вайдие пространство - время имеет Петров тип D . Также существует поле излучения как.
Блок B: Анализ метрики Шварцшильда в "исходящей" нулевой тетраде
Для "запаздывающего (/ исходящего)" метрического уравнения Шварцшильда (3) пусть , и тогда лагранжиан для нулевых радиальных геодезических будет иметь исходящее решение и входящее решение . Аналогично Box A, теперь настраиваем адаптированную исходящую тетраду с помощью
«Запаздывающее (/ исходящее)» пространство-время Шварцшильда относится к типу Петрова D с единственный ненулевой скаляр Weyl-NP.
Вхождение Вайдьи с чистым поглощающим полем
Что касается "продвинутой / входящей" метрики Вайдьи (7), [1] [2] [6], то тензоры Риччи снова имеют одну ненулевую компоненту
и поэтому а тензор энергии-импульса равен
Это поле чистого излучения с плотностью энергии , и еще раз из условия нулевой энергии (11) следует, что , поэтому центральный объект поглощает нулевую пыль. Как вычислено во вставке C, ненулевые компоненты Weyl-NP и Ricci-NP "расширенного / входящего" метрического уравнения Вайдья (7) равны
Кроме того, исходящие и входящие скорости расширения нуля для линейного элемента (7) соответственно равны
Усовершенствованное / входящее решение Вайдьи (7) особенно полезно в физике черных дыр, поскольку это одно из немногих существующих точных динамических решений. Например, его часто используют для исследования различий между различными определениями динамических границ черной дыры, такими как классический горизонт событий и квазилокальный горизонт захвата; и, как показывает уравнение (17), эволюционная гиперповерхность всегда является гранично внешним захваченным горизонтом ().
Вставка C: Анализ метрики Вайдьи во "входящей" нулевой тетраде
Предполагать , то лагранжиан для нулевых радиальных геодезических "продвинутого (/ входящего)" пространства-времени Вайдьи (7) имеет вид
который имеет входящее решение и исходящее решение в соответствии с определением в уравнении (4). Теперь мы можем построить сложную нулевую тетраду, которая адаптирована к входящим нулевым радиальным геодезическим, и использовать формализм Ньюмана – Пенроуза для выполнения полного анализа пространства-времени Вайдьи. Такая входящая адаптированная тетрада может быть оформлена как
поэтому ковекторы двойственного базиса равны
В этой нулевой тетраде спиновые коэффициенты равны
Поскольку единственный ненулевой скаляр Weyl-NP является , "продвинутое (/ входящее)" пространство-время Вайдьи принадлежит Петровскому типу D , и существует поле излучения, закодированное в.
Вставка D: Анализ метрики Шварцшильда во "входящей" нулевой тетраде
Для "продвинутого (/ входящего)" метрического уравнения Шварцшильда (5) пусть , и тогда лагранжиан для нулевых радиальных геодезических будет иметь входящее решение и исходящее решение . Подобно Box C, теперь настраиваем адаптированную входящую тетраду.
так что спиновые коэффициенты равны
а скаляры Weyl-NP и Ricci-NP задаются формулами
«Продвинутое (/ входящее)» пространство-время Шварцшильда относится к типу D Петрова с единственный ненулевой скаляр Weyl-NP.
Сравнение с метрикой Шварцшильда
Как естественное и простейшее расширение метрики Швацшильда, метрика Вайдья все еще имеет много общего с ней:
Обе метрики относятся к типу Петрова D сединственный ненулевой скаляр Weyl-NP (вычисленный в блоках A и B).
Однако есть три явных различия между метрикой Шварцшильда и Вайдьи:
Прежде всего, массовый параметр для Шварцшильда - константа, а для Вайдьи является u-зависимой функцией.
Шварцшильд - решение вакуумного уравнения Эйнштейна , а Вайдья - решение бесследного уравнения Эйнштейна с нетривиальным энергетическим полем чистого излучения. В результате все скаляры Риччи-NP для Шварцшильда обращаются в нуль, а мы имеем для Вайдьи.
Шварцшильд имеет 4 независимых векторных поля Киллинга , включая времяподобное, и, таким образом, является статической метрикой, в то время как Вайдья имеет только 3 независимых векторных поля Киллинга относительно сферической симметрии и, следовательно, является нестатическим. Следовательно, метрика Шварцшильда принадлежит классу решений Вейля, а метрика Вайдьи - нет.
Расширение метрики Вайдьи
Метрика Киннерсли
В то время как метрика Вайдьи является расширением метрики Шварцшильда и включает в себя поле чистого излучения, метрика Киннерсли [7] представляет собой дальнейшее расширение метрики Вайдьи; он описывает массивный объект, который ускоряется при отдаче, поскольку он испускает безмассовое излучение анизотропно. Метрика Киннерсли является частным случаем метрики Керра-Шильда , и в декартовых координатах пространства-времени он принимает следующий вид:
где на протяжении этого раздела все индексы должны подниматься и опускаться с использованием метрики «плоское пространство». , масса" является произвольной функцией собственного времени вдоль мировой линии массы, измеренной с помощью "плоской" метрики, а также описывает произвольную мировую линию массы, - это четырехскоростная скорость массы,представляет собой «плоское метрическое» поле нуль-векторов, неявно определенное уравнением (20), и неявно расширяет параметр собственного времени до скалярного поля во всем пространстве-времени, рассматривая его как постоянный на исходящем световом конусе "плоской" метрики, которая возникает из события и удовлетворяет тождеству Обработка тензора Эйнштейна для метрики и интегрируя исходящий поток энергии-импульса «на бесконечности», можно найти, что метрикаописывает массу с четырьмя импульсами, зависящими от собственного времени который излучает net << link: 0 >> с надлежащей скоростью если смотреть из системы мгновенного покоя массы, поток излучения имеет угловое распределение где а также сложные скалярные функции от и их производные, и - мгновенный угол системы покоя между 3-ускорением и исходящим нулевым вектором. Таким образом, метрику Киннерсли можно рассматривать как описание гравитационного поля ускоряющейся фотонной ракеты с очень плохо сколлимированным выхлопом.
В частном случае, когда не зависит от собственного времени, метрика Киннерсли сводится к метрике Вайдьи.
Метрика Вайдьи – Боннера
Поскольку излучаемая или поглощенная материя может быть электрически не нейтральной, исходящие и входящие уравнения Вайдья-метрики (6) (7) могут быть естественным образом расширены, чтобы включать в себя различные электрические заряды,
Уравнения (18) (19) называются метриками Вайдьи-Боннера, и, по-видимому, их также можно рассматривать как расширения метрики Рейсснера – Нордстрёма , в отличие от соответствия между метриками Вайдьи и Шварцшильда.
Метрика Вайдьи – Керра
Недавно в общей теории относительности было предложено несколько решений по вращению излучения. Во-первых, в исследовании, проведенном Ибохалом, обсуждалась осесимметричная метрика Вайдья, которая допускает использование несовершенных жидкостей. [8] Затем Чоу предложил решение излучающей черной дыры Керра (метрика Вайдья – Керра) с использованием метода преобразования координат эллипсоида. [9] Метрическое уравнение (20),
где является зависимой от u функцией масс в метрике Вайдья и константой в метрике Шварцшильда.
Смотрите также
Метрика Шварцшильда
Нулевой раствор пыли
Рекомендации
^ a b c d Эрик Пуассон. Инструментарий релятивиста: математика механики черной дыры . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2004. Раздел 4.3.5 и Раздел 5.1.8.
^ a b c d Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольски. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Раздел 9.5.
^ Тану Падманабхан. Гравитация: основы и границы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2010. Раздел 7.3.
^ Pankaj S Joshi. Глобальные аспекты гравитации и космологии . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, 1996. Раздел 3.5.
^ Pankaj S Joshi. Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2007. Раздел 2.7.6.
↑ Валерий Павлович Фролов, Игорь Дмитриевич Новиков. Физика черной дыры: основные концепции и новые разработки . Берлин: Springer, 1998. Раздел 5.7.
^ Киннерслей, W. (октябрь 1969). «Поле произвольно ускоряющейся точечной массы». Phys. Ред . 186 (5): 1335. Bibcode : 1969PhRv..186.1335K . DOI : 10.1103 / PhysRev.186.1335 .
^Ибохал, штат Нью-Йорк. (Январь 2005 г.). «Вращающиеся метрики, допускающие несовершенные жидкости» . Общая теория относительности и гравитации . 37 (1): 19–51. arXiv : gr-qc / 0403098 . DOI : 10.1007 / s10714-005-0002-6 . ISSN 0001-7701 .