Расчеты в Ньюмена-Пенроуза (NP) формализма в общей теории относительности обычно начинается с построения сложного нулевой тетрады , где пара вещественных нулевых векторов ипредставляет собой пару комплексных нулевых векторов. Эти тетрадные векторы соблюдают следующие условия нормализации и метрики, предполагая пространственно-временную сигнатуру
Только после тетрады можно построить, можно ли двигаться вперед к вычислению производных по направлениям , спиновых коэффициентов , коммутаторов , скаляров Вейля-НП , Скаляры Риччи-NP и скаляры Максвелла-NP и другие величины в формализме NP. Есть три наиболее часто используемых метода для построения сложной нулевой тетрады:
- Все четыре тетрадных вектора представляют собой неголономные комбинации ортонормированных голономных тетрад ; [1]
- (или же ) выровнены с исходящим (или входящим) касательным векторным полем нулевых радиальных геодезических , в то время как а также построены неголономным методом; [2]
- Тетрада, которая адаптирована к структуре пространства-времени с точки зрения 3 + 1, при этом предполагается ее общая форма и решаемые в ней функции тетрад.
В контексте ниже будет показано, как работают эти три метода.
Примечание: в дополнение к соглашению используется в этой статье, другой используется .
Основной метод построения сложной нулевой тетрады - это комбинация ортонормированных оснований. [1] Для пространства-времени с ортонормированной тетрадой ,
ковекторы из неголономного комплекса нулевой тетрады может быть построен
и тетрадные векторы можно получить, подняв индексы через обратную метрику .
Замечание: неголономная конструкция фактически соответствует локальной структуре светового конуса . [1]
Пример: неголономная тетрада.
Учитывая метрику пространства-времени в форме (в сигнатуре (-, +, +, +))
неголономные ортонормированные ковекторы поэтому
поэтому неголономные нулевые ковекторы равны
В пространстве-времени Минковского неголономно построенные нулевые векторысоответственно совпадают с исходящими и входящими нулевыми радиальными лучами. В качестве расширения этой идеи в общих искривленных пространствах-времени,все еще может быть выровнено с касательным векторным полем нулевой радиальной конгруэнтности . [2] Однако этот тип адаптации работает только для, или же координаты, где радиальное поведение может быть хорошо описано, с а также обозначают исходящую (запаздывающую) и входящую (опережающую) нулевую координату соответственно.
Пример: нулевая тетрада для метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна
Метрика Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна имеет вид
поэтому лагранжиан для нулевых радиальных геодезических пространства-времени Шварцшильда равен
который имеет входящее решение и исходящее решение . Теперь можно построить сложную нулевую тетраду, которая адаптирована к входящим нулевым радиальным геодезическим:
поэтому ковекторы двойственного базиса равны
Здесь мы использовали условие кросс-нормализации а также требование, чтобы должна охватывать индуцированную метрику для сечений {v = constant, r = constant}, где а также не являются взаимно ортогональными. Кроме того, оставшиеся два тетрадных (ко) вектора строятся неголономно. Определив тетраду, теперь можно найти соответственно спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-Np и скаляры Риччи-NP, которые
Пример: нулевая тетрада для экстремальной метрики Рейсснера – Нордстрема в координатах Эддингтона-Финкельштейна.
Метрика Рейсснера-Нордстрёма в входящих координатах Эддингтона-Финкельштейна имеет вид
так что лагранжиан
Для нулевых радиальных геодезических с , есть два решения
- (входящий) и (исходящий),
и поэтому тетрада для входящего наблюдателя может быть настроена как
Определив тетраду, мы теперь можем вычислить спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-НП и скаляры Риччи-НП, которые
В некоторых типичных граничных областях, таких как нулевая бесконечность, подобная времени бесконечность , пространственноподобная бесконечность, горизонты черных дыр и космологические горизонты , обычно используются нулевые тетрады, адаптированные к пространственно-временным структурам, для достижения наиболее сжатых описаний Ньюмана-Пенроуза .
Тетрада Ньюмана-Унти для нулевой бесконечности
Для нулевой бесконечности классическая тетрада Ньюмана-Унти (NU) [3] [4] [5] используется для изучения асимптотического поведения на нулевой бесконечности ,
где - решаемые тетрадные функции. Для тетрады NU листы слоения параметризованы исходящей (расширенной) нулевой координатой с участием , а также - нормированная аффинная координата вдоль ; входящий нулевой вектор действует как нулевой генератор в нулевой бесконечности с . Координаты содержат две действительные аффинные координаты и две сложные стереографические координаты, где - обычные сферические координаты на поперечном сечении (как показано в [5], сложные стереографические, а не реальные изотермические координаты используются только для удобства полного решения уравнений NP).
Также для тетрады NU основными калибровочными условиями являются
Адаптированная тетрада для экстерьеров и ближнего приближения изолированных горизонтов.
Для более полного обзора черных дыр в квазилокальных определениях требуются адаптированные тетрады, которые могут плавно переходить от внешнего к ближнему и к горизонту. Например, для изолированных горизонтов, описывающих черные дыры в равновесии с их внешней стороной, такая тетрада и связанные с ней координаты могут быть построены таким образом. [6] [7] [8] [9] [10] [11] Выберите первый действительный нулевой ковектор как градиент слоения уходит
где - входящая (запаздывающая) нулевая координата типа Эддингтона – Финкельштейна , которая маркирует сечения слоения и действует как аффинный параметр по отношению к исходящему нулевому векторному полю, т.е.
Введите вторую координату как аффинный параметр вдоль входящего нулевого векторного поля , который подчиняется нормировке
Теперь первый действительный вектор нулевой тетрады фиксированный. Для определения остальных тетрадных векторов и их ковекторы, помимо основных условий кросс-нормализации, также требуется, чтобы: (i) исходящее нулевое нормальное поле действует как нулевые генераторы; (ii) нулевой фрейм (ковекторы) параллельно распространяются по ; (iii)охватывает {t = constant, r = constant} поперечные сечения, помеченные реальными изотермическими координатами .
Тетрады, удовлетворяющие указанным ограничениям, можно выразить в общем виде:
Калибровочные условия в этой тетраде следующие:
Замечание: В отличие от координат типа Шварцшильда , здесь r = 0 представляет горизонт , а r> 0 (r <0) соответствует внешней (внутренней) части изолированного горизонта. Люди часто Тейлор расширяют скаляр функция относительно горизонта r = 0,
где относится к его значению на горизонте. Сами координаты, используемые в приведенной выше адаптированной тетраде, на самом деле являются нулевыми координатами Гаусса, используемыми при изучении околозоризонтной геометрии и механики черных дыр.