В геометрии , A геодезической ( / ˌ dʒ я ə д ɛ с ɪ к , ˌ dʒ я oʊ -, - д я -, - г ɪ к / [1] [2] ) обычно представляет собой кривую , представляющая в каком - то смысле кратчайший [a] путь ( дуга ) между двумя точками на поверхности или, в более общем смысле, в римановом многообразии . Термин также имеет значение в любомдифференцируемое многообразие со связью . Это обобщение понятия « прямая линия » на более общие условия.
Существительное «геодезический» [b] и прилагательное «геодезический» [c] происходят от геодезии , науки об измерении размера и формы Земли , в то время как многие из основных принципов могут быть применены к любой эллипсоидальной геометрии. В первоначальном смысле, геодезический был кратчайший путь между двумя точками на земной поверхности . Для сферической Земли , это сегмент из большого круга (см также ортодромия ). Этот термин был обобщен, чтобы включать измерения в гораздо более общих математических пространствах; например, в теории графов можно рассматривать геодезическую между двумя вершинами / узлами графа .
В римановом многообразии или подмногообразии геодезические характеризуются свойством исчезающей геодезической кривизны . В более общем смысле, при наличии аффинной связи геодезическая определяется как кривая, касательные векторы которой остаются параллельными, если они перемещаются по ней. Применяя это к связности Леви-Чивита в течение римановой метрики восстанавливает предыдущее понятие.
Геодезические имеют особое значение в общей теории относительности . Времениподобные геодезические в общей теории относительности описывают движение свободно падающих пробных частиц .
Вступление
Локально кратчайший путь между двумя заданными точками в искривленном пространстве, предполагается, является риманово многообразие , может быть определена с использованием уравнения для длины в виде кривой (функция F из открытого интервала от R до пространства), а затем минимизация этой длины между точками с помощью вариационного исчисления . Это связано с некоторыми незначительными техническими проблемами, поскольку существует бесконечное пространство различных способов параметризации кратчайшего пути. Проще ограничить набор кривых теми, которые параметризованы «с постоянной скоростью» 1, что означает, что расстояние от f ( s ) до f ( t ) вдоль кривой равно | с - т |. Эквивалентно, можно использовать другую величину, называемую энергией кривой; минимизация энергии приводит к тем же уравнениям для геодезической (здесь «постоянная скорость» является следствием минимизации). [ необходима цитата ] Интуитивно, можно понять эту вторую формулировку, заметив, что эластичная полоса, натянутая между двумя точками, сократит свою длину и тем самым сведет к минимуму свою энергию. Получившаяся форма полосы - геодезическая.
Возможно, что несколько разных кривых между двумя точками минимизируют расстояние, как в случае двух диаметрально противоположных точек на сфере. В таком случае любая из этих кривых является геодезической.
Смежный отрезок геодезической снова является геодезической.
В общем, геодезические - это не то же самое, что «кратчайшие кривые» между двумя точками, хотя эти два понятия тесно связаны. Разница в том, что геодезические - это только локально кратчайшее расстояние между точками, и они параметризуются с «постоянной скоростью». «Длинный путь» по большому кругу между двумя точками на сфере - это геодезический, но не кратчайший путь между точками. Карта от единичного интервала на действительной числовой прямой до самого себя дает кратчайший путь от 0 до 1, но не является геодезической, потому что скорость соответствующего движения точки не постоянна.
Геодезические обычно используются при изучении римановой геометрии и в более общем плане метрической геометрии . В общей теории относительности геодезические в пространстве-времени описывают движение точечных частиц под действием только силы тяжести. В частности, путь падающего камня, орбитального спутника или форма планетарной орбиты - все это геодезические [d] в искривленном пространстве-времени. В более общем плане, тема субримановой геометрии касается путей, по которым объекты могут идти, когда они не свободны, и их движение ограничено различными способами.
В этой статье представлен математический аппарат, используемый для определения, поиска и доказательства существования геодезических в случае римановых многообразий . В статье о связи Леви-Чивиты обсуждается более общий случай псевдориманова многообразия, а в геодезической (общая теория относительности) более подробно обсуждается частный случай общей теории относительности.
Примеры
Наиболее известные примеры - прямые линии в евклидовой геометрии . На сфере изображения геодезических - большие круги . Кратчайший путь от точки А до точки В на сфере дается более короткой дуге большого круга , проходящего через A и B . Если A и B - противоположные точки , то между ними бесконечно много кратчайших путей. Геодезические на эллипсоиде ведут себя сложнее, чем на сфере; в частности, они не закрываются вообще (см. рисунок).
Треугольники
Геодезический треугольник образован геодезические , соединяющие каждую пару из трех точек на данную поверхность. Геодезические на сфере представляют собой дуги большого круга , образующие сферический треугольник .
Метрическая геометрия
В метрической геометрии , геодезический представляет собой кривую, всюду локально расстояние минимизант. Более точно, кривая γ : I → M из интервала I из чисел в метрическом пространстве М является геодезической , если существует константа v ≥ 0 , что для любого т ∈ I существует окрестность J о т в я такой что для любых t 1 , t 2 ∈ J имеем
Это обобщает понятие геодезических для римановых многообразий. Однако в метрической геометрии рассматриваемая геодезическая часто снабжена естественной параметризацией , т.е. в указанном выше тождестве v = 1 и
Если последнее равенство выполняется для всех t 1 , t 2 ∈ I , геодезическая называется минимизирующей геодезической или кратчайшим путем .
В общем случае метрическое пространство может не иметь геодезических, кроме постоянных кривых. С другой стороны, любые две точки в метрическом пространстве длины соединяются минимизирующей последовательностью спрямляемых путей , хотя эта минимизирующая последовательность не обязательно должна сходиться к геодезической.
Риманова геометрия
В римановом многообразии M с метрическим тензором g длина L непрерывно дифференцируемой кривой γ: [ a , b ] → M определяется равенством
Расстояние d ( p , q ) между двумя точками p и q на M определяется как нижняя грань длины, взятой по всем непрерывным кусочно непрерывно дифференцируемым кривым γ: [ a , b ] → M, таким что γ ( a ) = p и γ ( b ) = q . В римановой геометрии все геодезические - это пути, локально минимизирующие расстояние, но обратное неверно. Фактически, геодезическими являются только пути, которые одновременно минимизируют локальное расстояние и параметризованы пропорционально длине дуги. Другой эквивалентный способ определения геодезических на римановом многообразии - определить их как минимум следующего действия или функционала энергии
Все минимумы E также являются минимумами L , но L является большим набором, поскольку пути, которые являются минимумами L, могут быть произвольно повторно параметризованы (без изменения их длины), в то время как минимумы E не могут. Для кусочного кривая (в более общем смысле кривой) неравенство Коши – Шварца дает
с равенством тогда и только тогда, когда равно константе ае; путь должен проходить с постоянной скоростью. Бывает, что минимизаторы также минимизировать , поскольку они оказываются аффинно параметризованными, а неравенство является равенством. Полезность этого подхода заключается в том, что проблема поиска минимизаторов E является более устойчивой вариационной задачей. В самом деле, E - «выпуклая функция» от, так что внутри каждого изотопического класса «разумных функций» следует ожидать существования, единственности и регулярности минимизаторов. Напротив, «минимизаторы» функционала обычно не очень регулярны, потому что разрешены произвольные изменения параметров.
Тогда уравнения движения Эйлера – Лагранжа для функционала E задаются в локальных координатах формулой
где - символы Кристоффеля метрики. Это геодезическое уравнение , обсуждаемое ниже .
Вариационное исчисление
Для исследования функционала энергии E можно применить методы классического вариационного исчисления . Первая вариация энергии определяется в локальных координатах
В критических точках первого изменения в точности геодезические. Вторая вариация определяется
В соответствующем смысле нули второй вариации вдоль геодезической γ возникают вдоль полей Якоби . Таким образом, поля Якоби рассматриваются как вариации через геодезические.
Применяя вариационные методы классической механики , можно также рассматривать геодезические как гамильтоновы потоки . Они являются решениями связанных уравнений Гамильтона с (псевдо) римановой метрикой, взятой в качестве гамильтониана .
Аффинные геодезические
Геодезическим на гладком многообразии M с аффинной связности ∇ определяется как кривой у ( т ) таким образом, что параллельный перенос вдоль кривой сохраняет касательный вектор к кривой, так
( 1 )
в каждой точке кривой, где - производная по . Точнее, чтобы определить ковариантную производную от сначала необходимо продлить к непрерывно дифференцируемому векторному полю в открытом множестве . Однако результирующее значение ( 1 ) не зависит от выбора расширения.
Используя локальные координаты на M , мы можем записать уравнение геодезических (используя соглашение о суммировании ) как
где - координаты кривой γ ( t ) иявляются символами Кристоффеля связи ∇. Это обыкновенное дифференциальное уравнение для координат. У него есть уникальное решение, учитывая начальное положение и начальную скорость. Поэтому с точки зрения классической механики геодезические можно рассматривать как траектории свободных частиц в многообразии. Действительно, уравнениеозначает, что вектор ускорения кривой не имеет компонентов в направлении поверхности (и, следовательно, он перпендикулярен касательной плоскости поверхности в каждой точке кривой). Итак, движение полностью определяется изгибом поверхности. Это также идея общей теории относительности, в которой частицы движутся по геодезическим, а изгиб вызывается гравитацией.
Существование и уникальность
Локальная теорема существование и единственности для геодезических утверждают , что геодезические на гладком многообразие с аффинной связностью существует, и являются уникальными. Точнее:
- Для любой точки p из M и для любого вектора V из T p M ( касательного пространства к M в точке p ) существует единственная геодезическая : I → M такая, что
- а также
- где I - максимальный открытый интервал в R, содержащий 0.
Доказательство этой теоремы следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом того , что уравнение геодезических является ОДУ второго порядка. Тогда существование и единственность следуют из теоремы Пикара – Линделёфа для решений ОДУ с заданными начальными условиями. γ зависит гладко на обоих р и V .
В общем, я не могу быть всем R, как, например, для открытого диска в R 2 . Любой γ распространяется на все ℝ тогда и только тогда , когда M является геодезический полным .
Геодезический поток
Геодезический поток является локальным R - действие на касательном расслоение ТМ многообразия М определяется следующим образом
где t ∈ R , V ∈ TM и обозначает геодезическую с начальными данными . Таким образом,( V ) = exp ( tV ) - экспоненциальное отображение вектора tV . Замкнутая орбита геодезического соответствует потоку в замкнутом геодезический на М .
На (псевдо) римановом многообразии геодезический поток отождествляется с гамильтоновым потоком на кокасательном расслоении. Гамильтоново затем задаются обратной величина (псевдо-) римановой метрики, оцениваемый по отношению к канонической одной форме . В частности, поток сохраняет (псевдо) риманову метрику, т.е.
В частности, когда V - единичный вектор,остается единичной скоростью повсюду, поэтому геодезический поток касается единичного касательного пучка . Теорема Лиувилля влечет инвариантность кинематической меры на единичном касательном расслоении.
Геодезический спрей
Геодезический поток определяет семейство кривых в касательном расслоении . Производные этих кривых определяют векторное поле на общем пространстве касательного пучка, известное как геодезический спрей .
Точнее, аффинная связность приводит к разбиению двойного касательного расслоения TT M на горизонтальные и вертикальные расслоения :
Геодезический спрей - это единственное горизонтальное векторное поле W, удовлетворяющее
в каждой точке v ∈ T M ; здесь π ∗ : TT M → T M обозначает прямой переход (дифференциал) вдоль проекции π: T M → M, связанный с касательным расслоением.
В более общем смысле, та же конструкция позволяет построить векторное поле для любой связности Эресмана на касательном расслоении. Чтобы результирующее векторное поле было спреем (на удаленном касательном расслоении T M \ {0}), достаточно, чтобы связность была эквивариантной относительно положительных пересчетов: она не обязательно должна быть линейной. То есть (см. Связность Эресмана # векторные расслоения и ковариантные производные ) достаточно, чтобы горизонтальное распределение удовлетворяло
для любого X ∈ T M \ {0} и λ> 0. Здесь d ( S λ ) - прямой шаг вдоль скалярной гомотетииЧастный случай нелинейной связности, возникающей таким образом, связан с финслеровым многообразием .
Аффинные и проективные геодезические
Уравнение ( 1 ) инвариантно относительно аффинных репараметризаций; то есть параметризации вида
где a и b - постоянные действительные числа. Таким образом, помимо определения определенного класса вложенных кривых, уравнение геодезических также определяет предпочтительный класс параметризации на каждой из кривых. Соответственно решения ( 1 ) называются геодезическими с аффинным параметром .
Аффинная связность определяется своим семейством аффинно параметризованных геодезических с точностью до кручения ( Спивак, 1999 , глава 6, приложение I). Само кручение фактически не влияет на семейство геодезических, поскольку уравнение геодезических зависит только от симметричной части связности. Точнее, если две связи такие, что тензор разностей
является кососимметрична , то а также имеют одинаковые геодезические с одинаковыми аффинными параметризациями. Кроме того, существует уникальное соединение, имеющее те же геодезические, что и, но с исчезающим кручением.
Геодезические объекты без особой параметризации описываются проективной связью .
Вычислительные методы
Киммел и другие предложили эффективные решатели минимальной геодезической задачи на поверхностях, представленных уравнениями эйконала . [3] [4]
Приложения
Геодезические служат основой для расчета:
- геодезические планеры; увидеть геодезический планер или геодезический планер
- геодезические конструкции - например, геодезические купола
- горизонтальные расстояния на Земле или вблизи Земли; см. геодезические Земли
- отображение изображений на поверхностях для рендеринга; см. UV-карту
- движение частиц в компьютерном моделировании молекулярной динамики (МД) [5]
- планирование движения робота (например, при покраске деталей автомобиля); см. проблему кратчайшего пути
Смотрите также
- Введение в математику общей теории относительности
- Отношение Клеро
- Дифференцируемая кривая - Изучение кривых с дифференциальной точки зрения
- Дифференциальная геометрия поверхностей
- Геодезический круг
- Теорема Хопфа – Ринова - дает эквивалентные утверждения о геодезической полноте римановых многообразий.
- Внутренняя метрика
- Изотропная линия
- Поле Якоби
- Теория Морса - анализирует топологию многообразия, изучая дифференцируемые функции на этом многообразии.
- Zoll surface - Поверхность, гомеоморфная сфере.
- Проблема паука и мухи - проблема рекреационной геодезии
Заметки
- ^ Для псевдориманова многообразия , например лоренцево многообразие , определение более сложное.
- ^ Словарь определения геодезических в Викисловаре
- ^ Словарное определение геодезии в Викисловаре
- ^ Путь - это локальный максимум интервала, а не локальный минимум.
Рекомендации
- ^ "geodesic - определение геодезической на английском языке из Оксфордского словаря" . OxfordDictionaries.com . Проверено 20 января 2016 .
- ^ «геодезический» . Словарь Мерриама-Вебстера .
- ^ Kimmel, R .; Амир, А .; Брукштейн, AM (1995). «Нахождение кратчайших путей на поверхностях с использованием распространения наборов уровней». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 17 (6): 635–640. DOI : 10.1109 / 34.387512 .
- ^ Kimmel, R .; Сетиан, Дж. А. (1998). «Вычисление геодезических путей на многообразиях» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 95 (15): 8431–8435. Bibcode : 1998PNAS ... 95.8431K . DOI : 10.1073 / pnas.95.15.8431 . PMC 21092 . PMID 9671694 .
- ^ Ingebrigtsen, Trond S .; Toxvaerd, Søren; Heilmann, Ole J .; Schrøder, Thomas B .; Дайр, Джепп К. (2011). «Динамика НВУ. I. Геодезические движения на гиперповерхности постоянной потенциальной энергии» . Журнал химической физики . 135 (10): 104101. arXiv : 1012.3447 . Bibcode : 2011JChPh.135j4101I . DOI : 10.1063 / 1.3623585 . ISSN 0021-9606 . PMID 21932870 . S2CID 16554305 .
- Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 2) , Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть, ISBN 978-0-914098-71-3
дальнейшее чтение
- Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975), Введение в общую теорию относительности (2-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. См. Главу 2 .
- Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN 978-0-8053-0102-1. См. Раздел 2.7 .
- Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. См. Раздел 1.4 .
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ). - Ландау, ЛД ; Лифшиц, Е.М. (1975), Классическая теория полей , Оксфорд: Пергамон, ISBN 978-0-08-018176-9. См. Раздел 87 .
- Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уиллер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
- Ортин, Томас (2004), Гравитация и струны , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Обратите особое внимание на страницы 7 и 10.
- Волков, Ю.А. (2001) [1994], "Геодезическая линия" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. См. Главу 3 .
Внешние ссылки
- Возвращение к геодезическим - Введение в геодезические, включая два способа вывода уравнения геодезических с приложениями в геометрии (геодезические на сфере и на торе ), механике ( брахистохрона ) и оптике (световой луч в неоднородной среде).
- Геодезические на параметрической поверхности - sage interact - Интерактивный рабочий лист SageMath для расчета и иллюстрации геодезических на параметрических поверхностях.
- Полностью геодезическое подмногообразие в Атласе многообразий