В ОТО , А конгруэнтность (более правильно, сравнение кривых ) является множество интегральных кривых а (нигде не исчезающим) векторного поля в четырехмерном лоренцевского многообразии , которое физически интерпретируемые как модель пространства - времени . Часто это многообразие принимают за точное или приближенное решение уравнения поля Эйнштейна .
Типы сравнений
Конгруэнции, порождаемые нигде не исчезающими времениподобными, нулевыми или пространственноподобными векторными полями, называются времениподобными , нулевыми или пространственноподобными соответственно.
Конгруэнтность называется геодезической конгруэнции , если оно допускает касательное векторное поле с исчезающей ковариантной производной ,.
Связь с векторными полями
Интегральные кривые векторного поля представляют собой семейство непересекающихся параметризованных кривых, заполняющих пространство-время. Сравнение состоит из самих кривых без привязки к конкретной параметризации. Многие различные векторные поля могут дать одну и ту же конгруэнтность кривых, поскольку если является нигде не исчезающей скалярной функцией, то а также дают начало той же конгруэнтности.
Однако в лоренцевом многообразии у нас есть метрический тензор , который выделяет предпочтительное векторное поле среди векторных полей, которые всюду параллельны данному времениподобному или пространственноподобному векторному полю, а именно поле касательных векторов к кривым. Это соответственно времениподобные или пространственноподобные единичные векторные поля.
Физическая интерпретация
В общей теории относительности времениподобное сравнение в четырехмерном лоренцевом многообразии можно интерпретировать как семейство мировых линий определенных идеальных наблюдателей в нашем пространстве-времени. В частности, времениподобное геодезическое сравнение можно интерпретировать как семейство свободно падающих пробных частиц .
Нулевые конгруэнции также важны, особенно нулевые геодезические конгруэнции , которые можно интерпретировать как семейство свободно распространяющихся световых лучей.
Предупреждение: мировая линия импульса света, движущегося по оптоволоконному кабелю, в общем случае не была бы нулевой геодезической, и свет в очень ранней Вселенной ( эпоха преобладания излучения ) не распространялся свободно. Однако мировая линия радиолокационного импульса, посланного с Земли мимо Солнца на Венеру, будет смоделирована как нулевая геодезическая дуга. В измерениях, отличных от четырех, связь между нулевыми геодезическими и «светом» больше не соблюдается: если «свет» определяется как решение лапласовского волнового уравнения , то пропагатор имеет как нулевые, так и временноподобные компоненты в нечетном пространстве-времени. измерений, и больше не является чистой дельта-функцией Дирака даже в пространственно-временных измерениях больше четырех.
Кинематическое описание
Описание взаимного движения пробных частиц в нулевой геодезической конгруэнтности в пространстве-времени, таком как вакуум Шварцшильда или пыль FRW, является очень важной проблемой общей теории относительности. Она решается путем определения определенных кинематических величин, которые полностью описывают, как интегральные кривые в сравнении могут сходиться (расходиться) или закручиваться друг относительно друга.
Следует подчеркнуть, что кинематическое разложение, которое мы собираемся описать, является чистой математикой, пригодной для любого лоренцевого многообразия. Однако физическая интерпретация в терминах пробных частиц и приливных ускорений (для времениподобных геодезических конгруэнций) или пучков световых лучей (для нулевых геодезических конгруэнций) действительна только для общей теории относительности (аналогичные интерпретации могут быть действительны в тесно связанных теориях).
Кинематическое разложение времениподобного сравнения
Рассмотрим времяподобное сравнение, порожденное некоторым времяподобным единичным векторным полем X, которое мы должны рассматривать как линейный оператор в частных производных первого порядка. Тогда компоненты нашего векторного поля теперь являются скалярными функциями, заданными в тензорной записи, записав, где f - произвольная гладкая функция. Вектор ускорения является ковариантной производной ; мы можем записать его компоненты в тензорной записи как
Затем заметьте, что уравнение
означает , что член в скобках в левом является поперечной частью из. Это отношение ортогональности выполняется только тогда, когда X - времениподобный единичный вектор лоренцевого многообразия. Это не выполняется в более общих условиях. Писать
для тензора проекции, проецирующего тензоры на их поперечные части; например, поперечная часть вектора является частью ортогональной к. Этот тензор можно рассматривать как метрический тензор гиперповерхности, касательные векторы которой ортогональны X. Таким образом, мы показали, что
Затем мы разложим его на симметричную и антисимметричную части:
Здесь,
известно как тензор расширения и тензор вихря соответственно.
Поскольку эти тензоры живут в элементах пространственной гиперплоскости, ортогональных к , мы можем рассматривать их как трехмерные тензоры второго ранга. Это можно выразить более строго, используя понятие производной Ферми . Следовательно, мы можем разложить тензор разложения на бесследную часть плюс следовую часть . Запись следа как, у нас есть
Поскольку тензор завихренности антисимметричен, его диагональные компоненты обращаются в нуль, поэтому он автоматически бесследный (и мы можем заменить его трехмерным вектором , хотя мы этого делать не будем). Следовательно, теперь у нас есть
Это желаемое кинематическое разложение . В случае времениподобного геодезического сравнения последний член тождественно обращается в нуль.
Скаляр разложения, тензор сдвига () и тензор завихренности времениподобного геодезического сравнения имеют следующий интуитивный смысл:
- скаляр расширения представляет собой частичную скорость, с которой объем небольшого первоначально сферического облака пробных частиц изменяется относительно собственного времени частицы в центре облака,
- тензор сдвига представляет собой любую тенденцию исходной сферы к искажению в эллипсоидальную форму,
- тензор завихренности представляет собой любую тенденцию начальной сферы к вращению; завихренность исчезает тогда и только тогда, когда мировые линии в сравнении всюду ортогональны пространственным гиперповерхностям в некотором слоении пространства-времени, и в этом случае для подходящей координатной карты каждый гиперсрез можно рассматривать как поверхность `` постоянного времени '' .
См. Цитаты и ссылки ниже для обоснования этих утверждений.
Кривизна и времениподобные конгруэнции
Используя тождество Риччи (которое часто используется как определение тензора Римана ), мы можем записать
Подставляя кинематическое разложение в левую часть, мы можем установить отношения между тензором кривизны и кинематическим поведением времениподобных конгруэнций (геодезических или нет). Эти отношения можно использовать двумя способами, оба очень важными:
- мы можем (в принципе) экспериментально определить тензор кривизны пространства-времени из подробных наблюдений за кинематическим поведением любой времениподобной конгруэнции (геодезической или нет),
- можно получить эволюционные уравнения для кусков кинематического разложения ( разложение скалярного , сдвиг тензора и тензор завихренности ) , которые демонстрируют прямую связь кривизны .
В знаменитом лозунге Уилер ,
Пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться.
Теперь мы видим, как точно определить первую часть этого утверждения; уравнение Эйнштейна поля квантифицирует вторую часть.
В частности, согласно разложению Беля тензора Римана, взятому относительно нашего времениподобного единичного векторного поля, электрогравитационный тензор (или приливный тензор ) определяется как
Идентичность Риччи теперь дает
Подставляя кинематическое разложение, мы можем в конечном итоге получить
Здесь точки обозначают дифференцирование по собственному времени , отсчитываемое по нашей времениподобной конгруэнтности (т. Е. Мы берем ковариантную производную по векторному полю X). Это можно рассматривать как описание того, как можно определить приливный тензор из наблюдений единственной времениподобной конгруэнции.
Уравнения эволюции
В этом разделе мы обратимся к проблеме получения эволюционных уравнений (также называемых уравнениями распространения или формулами распространения ).
Вектор ускорения удобно будет записать в виде а также установить
Теперь из тождества Риччи для приливного тензора имеем
Но
так что у нас есть
Подключив определение и взяв соответственно диагональную часть, бесследную симметричную часть и антисимметричную часть этого уравнения, мы получаем искомые эволюционные уравнения для скаляра разложения, тензора сдвига и тензора завихренности.
Рассмотрим сначала более простой случай, когда вектор ускорения обращается в нуль. Тогда (учитывая, что тензор проекции можно использовать для понижения индексов чисто пространственных величин), мы имеем
или же
С помощью элементарной линейной алгебры легко проверить, что если - соответственно трехмерные симметричные и антисимметричные линейные операторы, то симметрично, в то время как является антисимметричным, поэтому при понижении индекса соответствующие комбинации в скобках выше становятся симметричными и антисимметричными соответственно. Следовательно, взятие следа дает уравнение Райчаудхури (для времениподобных геодезических):
Взяв бесследную симметричную часть, получаем
и взяв антисимметричную часть дает
Здесь,
- квадратичные инварианты, которые никогда не отрицательны, так что являются вполне определенными действительными инвариантами. След приливного тензора также можно записать
Иногда его называют скаляром Райчаудхури ; разумеется, в случае вакуумного раствора он тождественно обращается в нуль .
Смотрите также
- конгруэнтность (многообразия)
- скаляр расширения
- тензор разложения
- тензор сдвига
- тензор завихренности
- Уравнение Райчаудхури
Рекомендации
- Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Bibcode : 2004rtmb.book ..... P . ISBN 978-0-521-83091-1.См. Главу 2 для прекрасного и подробного введения в геодезические сравнения. Обсуждение Пуассоном нулевых геодезических конгруэнций особенно ценно.
- Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8732-2.См. Приложение F для хорошего элементарного обсуждения геодезических конгруэнций. (Обозначения Кэрролла несколько нестандартны. [ Необходима цитата ] )
- Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46136-8.См. Главу 6 для очень подробного введения в временноподобные и нулевые конгруэнции.
- Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5.См. Раздел 9.2 о кинематике времениподобных геодезических конгруэнций.
- Хокинг, Стивен; Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09906-6.См. Раздел 4.1 для кинематики времениподобных и нулевых конгруэнций.
- Дасгупта, Анирван; Нандан, Хемвати; Кар, Саян (2009). «Кинематика течений на искривленных деформируемых средах». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 6 (4): 645–666. arXiv : 0804.4089 . Bibcode : 2009IJGMM..06..645D . DOI : 10.1142 / S0219887809003746 . См. Подробное введение в кинематику геодезических потоков на конкретных двумерных искривленных поверхностях (например, сфере, гиперболическом пространстве и торе).