В общей теории относительности в уравнении поля Эйнштейна ( EFe ; также известное как уравнения Эйнштейна ) относится к геометрии пространства - времени с распределением вещества в нем. [1]
Уравнения были впервые опубликованы Эйнштейном в 1915 году в форме тензорного уравнения [2], связывающего локальныекривизна пространства-времени (выраженнаятензором Эйнштейна) с локальной энергией,импульсоми напряжением в пределах этого пространства-времени (выраженнаятензором энергии-импульса). [3]
Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением зарядов и токов через уравнения Максвелла , EFE связывают геометрию пространства-времени с распределением массы-энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для данное расположение напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE в виде набора нелинейных уравнений в частных производных при использовании таким образом. Решения УЭФ являются компонентами метрического тензора. Затем инерционные траектории частиц и излучения ( геодезические ) в результирующей геометрии вычисляются с использованием уравнения геодезических .
Помимо локального сохранения энергии-импульса, EFE сводится к закону тяготения Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, которые намного меньше скорости света . [4]
Точные решения для EFE можно найти только при упрощающих предположениях, таких как симметрия . Чаще всего изучаются специальные классы точных решений , поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся Вселенная . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего только небольшие отклонения от плоского пространства-времени , что приводит к линеаризованному EFE . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .
Математическая форма
Уравнения поля Эйнштейна (EFE) можно записать в виде: [5] [1]
где G μν - тензор Эйнштейна , g μν - метрический тензор , T μν - тензор энергии-импульса , Λ - космологическая постоянная и κ - гравитационная постоянная Эйнштейна.
Тензор Эйнштейна определяется как
где R μν - тензор кривизны Риччи , а R - скалярная кривизна . Это симметричный тензор второй степени, который зависит только от метрического тензора и его первой и второй производных.
Постоянная тяготения Эйнштейна определяется как [6] [7]
где G - ньютоновская постоянная гравитации, а c - скорость света в вакууме.
Таким образом, EFE также можно записать как
В стандартных единицах каждый член слева имеет единицы 1 / длина 2 .
Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определяемую метрикой; выражение справа представляет собой содержание напряжения-энергии-импульса пространства-времени. EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как напряжение-энергия-импульс определяет кривизну пространства-времени.
Эти уравнения, вместе с геодезическим уравнением , [8] , который определяет , как движется свободно падающей материи через пространства - времени, формируют ядро математической формулировки из ОТО .
EFE - это тензорное уравнение, связывающее набор симметричных тензоров 4 × 4 . Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре тождества Бианки сокращают количество независимых уравнений с 10 до 6, оставляя метрику с четырьмя степенями свободы , фиксирующими калибровку , которые соответствуют свободе выбора системы координат.
Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в n измерениях. [9] Уравнения в контексте вне общей теории относительности все еще называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (получаемые, когда T μν всюду равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .
Уравнения сложнее, чем кажется. При заданном распределении материи и энергии в форме тензора энергии-импульса EFE понимаются как уравнения для метрического тензора g μν , поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. Полностью записанные EFE представляют собой систему из десяти связанных, нелинейных, гиперболо-эллиптических уравнений в частных производных . [10]
Подписать соглашение
Приведенная выше форма EFE является стандартом, установленным Мизнером, Торном и Уилером (MTW). [11] Авторы проанализировали существующие соглашения и классифицировали их по трем признакам ([S1] [S2] [S3]):
Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи:
С помощью этих определений Мизнер, Торн и Уиллер классифицируют себя как (+ + +) , тогда как Вайнберг (1972) [12] является (+ - -) , Пиблз (1980) [13] и Efstathiou et al. (1990) [14] являются (- + +) , Rindler (1977), [ необходима ссылка ] Atwater (1974), [ необходима цитата ] Collins Martin & Squires (1989) [15] и Peacock (1999) [16] являются (- + -) .
Авторы, включая Эйнштейна, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части был отрицательным:
Знак космологического члена изменился бы в обеих этих версиях, если бы использовалось соглашение о знаках метрики (+ - - -), а не принятое здесь соглашение о знаках метрики MTW (- + + +) .
Эквивалентные составы
Взяв след по метрике обеих сторон EFE, мы получаем
где D - размерность пространства-времени. Решив вместо R и подставив его в исходный EFE, мы получим следующую эквивалентную форму с обратной трассировкой:
В D = 4 измерениях это сводится к
Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращением следа может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда кто-то интересуется пределом слабого поля и может заменить g μν в выражении справа на метрику Минковского без значительной потери точности).
Космологическая постоянная
В уравнениях поля Эйнштейна
член, содержащий космологическую постоянную Λ, отсутствовал в версии, в которой он их первоначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил термин с космологической постоянной, чтобы учесть, что Вселенная не расширяется и не сжимается . Эта попытка не увенчалась успехом, потому что:
- любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, неустойчиво, и
- Наблюдения Эдвина Хаббла показали, что наша Вселенная расширяется .
Затем Эйнштейн отказался от Λ , заметив Джорджу Гамову, «что введение космологического термина было самой большой ошибкой в его жизни». [17]
Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно полагалась равной нулю. Более поздние астрономические наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной , и для объяснения этого необходимо положительное значение Λ . [18] [19] Космологическая постоянная пренебрежимо мала в масштабе галактики или меньше.
Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но его член в уравнении поля можно также алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса:
Этот тензор описывает вакуумное состояние с плотностью энергии ρ vac и изотропным давлением p vac, которые являются фиксированными константами и задаются выражением
где предполагается, что Λ имеет единицу СИ м −2, а κ определено, как указано выше.
Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.
Функции
Сохранение энергии и импульса
Общая теория относительности согласуется с локальным сохранением энергии и импульса, выражаемым как
- .
Вывод локального закона сохранения энергии-импульса. Сужение дифференциального тождества Бианки
с g αβ дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, т. е. g αβ ; γ = 0 ,
Антисимметрия тензора Римана позволяет переписать второй член в приведенном выше выражении:
что эквивалентно
используя определение тензора Риччи .
Затем снова заключите контракт с метрикой
получить
Затем определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны показывают, что
который можно переписать как
Окончательное сжатие с g εδ дает
что в силу симметрии заключенного в квадратные скобки члена и определения тензора Эйнштейна дает после переименования индексов
Используя EFE, это сразу дает:
что выражает локальное сохранение напряжения-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. Своими уравнениями поля Эйнштейн убедился, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.
Нелинейность
Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Так , например, уравнение Максвелла из электромагнетизма является линейным в электрических и магнитных полей , а также заряд и распределение токов (т.е. сумма двух решений также является решением); Другой пример является уравнением Шредингера в квантовой механике , которая является линейной в волновой функции .
Принцип соответствия
EFE сводится к закону тяготения Ньютона , используя как приближение слабого поля и приближение замедленного . Фактически, постоянная G, появляющаяся в EFE, определяется этими двумя приближениями.
Вывод закона всемирного тяготения Ньютона Ньютонову гравитацию можно записать как теорию скалярного поля Φ , которое представляет собой гравитационный потенциал в джоулях на килограмм гравитационного поля g = −∇Φ , см . Закон Гаусса для гравитации.
где ρ - массовая плотность. Орбита свободно падающей частицы удовлетворяет
В тензорных обозначениях они становятся
В общей теории относительности эти уравнения заменены уравнениями поля Эйнштейна в обращенной следом форме
для некоторой константы K и уравнения геодезических
Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, предположим, что скорость пробной частицы приблизительно равна нулю.
и поэтому
и что метрика и ее производные приблизительно статичны, а квадраты отклонений от метрики Минковского незначительны. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезических дает
где два фактора dt/dτбыли разделены. Это сведется к его ньютоновскому аналогу, если
Наши предположения приводят к тому, что α = i и производные по времени (0) равны нулю. Так что это упрощает
который удовлетворяется, позволяя
Переходя к уравнениям Эйнштейна, нам понадобится только временная составляющая
предположения о низкой скорости и статическом поле подразумевают, что
Так
и поэтому
Из определения тензора Риччи
Наши упрощающие предположения приводят к тому, что квадраты Γ исчезают вместе с производными по времени
Объединение приведенных выше уравнений вместе
которое сводится к уравнению поля Ньютона при условии
что произойдет, если
Уравнения вакуумного поля
Если тензор энергии-импульса T µν в рассматриваемой области равен нулю, то уравнения поля также называют уравнениями поля вакуума . Установив T μν = 0 в следовом Обращенных уравнениях поля , вакуумные уравнения могут быть записаны в виде
В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид
Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Плоское пространство Минковского - простейший пример вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают решение Шварцшильда и решение Керра .
Многообразия с исчезающим тензором Риччи , R µν = 0 , называются Риччи-плоскими многообразиями, а многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, - многообразиями Эйнштейна .
Уравнения Эйнштейна – Максвелла
Если тензор энергии-импульса T μν - это тензор электромагнитного поля в свободном пространстве , т. Е. Если электромагнитный тензор энергии-импульса
, то уравнения поля Эйнштейна называются уравнениями Эйнштейна – Максвелла (с космологической постоянной Λ , принимаемой равной нулю в традиционной теории относительности):
Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве:
where the semicolon represents a covariant derivative, and the brackets denote anti-symmetrization. The first equation asserts that the 4-divergence of the 2-form F is zero, and the second that its exterior derivative is zero. From the latter, it follows by the Poincaré lemma that in a coordinate chart it is possible to introduce an electromagnetic field potential Aα such that
in which the comma denotes a partial derivative. This is often taken as equivalent to the covariant Maxwell equation from which it is derived.[20] However, there are global solutions of the equation that may lack a globally defined potential.[21]
Решения
The solutions of the Einstein field equations are metrics of spacetime. These metrics describe the structure of the spacetime including the inertial motion of objects in the spacetime. As the field equations are non-linear, they cannot always be completely solved (i.e. without making approximations). For example, there is no known complete solution for a spacetime with two massive bodies in it (which is a theoretical model of a binary star system, for example). However, approximations are usually made in these cases. These are commonly referred to as post-Newtonian approximations. Even so, there are several cases where the field equations have been solved completely, and those are called exact solutions.[9]
The study of exact solutions of Einstein's field equations is one of the activities of cosmology. It leads to the prediction of black holes and to different models of evolution of the universe.
One can also discover new solutions of the Einstein field equations via the method of orthonormal frames as pioneered by Ellis and MacCallum.[22] In this approach, the Einstein field equations are reduced to a set of coupled, nonlinear, ordinary differential equations. As discussed by Hsu and Wainwright,[23] self-similar solutions to the Einstein field equations are fixed points of the resulting dynamical system. New solutions have been discovered using these methods by LeBlanc[24] and Kohli and Haslam.[25]
Линеаризованный EFE
The nonlinearity of the EFE makes finding exact solutions difficult. One way of solving the field equations is to make an approximation, namely, that far from the source(s) of gravitating matter, the gravitational field is very weak and the spacetime approximates that of Minkowski space. The metric is then written as the sum of the Minkowski metric and a term representing the deviation of the true metric from the Minkowski metric, ignoring higher-power terms. This linearization procedure can be used to investigate the phenomena of gravitational radiation.
Полиномиальная форма
Despite the EFE as written containing the inverse of the metric tensor, they can be arranged in a form that contains the metric tensor in polynomial form and without its inverse. First, the determinant of the metric in 4 dimensions can be written
using the Levi-Civita symbol; and the inverse of the metric in 4 dimensions can be written as:
Substituting this definition of the inverse of the metric into the equations then multiplying both sides by a suitable power of det(g) to eliminate it from the denominator results in polynomial equations in the metric tensor and its first and second derivatives. The action from which the equations are derived can also be written in polynomial form by suitable redefinitions of the fields.[26]
Смотрите также
- Einstein–Hilbert action
- Equivalence principle
- Exact solutions in general relativity
- General relativity resources
- History of general relativity
- Hamilton–Jacobi–Einstein equation
- Mathematics of general relativity
- Numerical relativity
- Ricci calculus
Заметки
- ^ a b Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity". Annalen der Physik. 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. Archived from the original (PDF) on 2012-02-06.
- ^ Einstein, Albert (November 25, 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847. Retrieved 2017-08-21.
- ^ Misner, Thorne & Wheeler (1973), p. 916 [ch. 34].
- ^ Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity. pp. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3.
- ^ Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 180. ISBN 978-0-387-69200-5.
- ^ With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, κ = 8πG/c4, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure). In Einstein's original publication, the choice is κ = 8πG/c2, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.
- ^ Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). Introduction to general relativity (2d ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4. OCLC 1046135.
- ^ Weinberg, Steven (1993). Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature. Vintage Press. pp. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
- ^ a b Stephani, Hans; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.
- ^ Rendall, Alan D. (2005). "Theorems on Existence and Global Dynamics for the Einstein Equations". Living Rev. Relativity. 8 (1). Article number: 6. arXiv:gr-qc/0505133. Bibcode:2005LRR.....8....6R. doi:10.12942/lrr-2005-6. PMC 5256071. PMID 28179868.
- ^ Misner, Thorne & Wheeler (1973), p. 501ff.
- ^ Weinberg (1972).
- ^ Peebles, Phillip James Edwin (1980). The Large-scale Structure of the Universe. Princeton University Press. ISBN 0-691-08239-1.
- ^ Efstathiou, G.; Sutherland, W. J.; Maddox, S. J. (1990). "The cosmological constant and cold dark matter". Nature. 348 (6303): 705. Bibcode:1990Natur.348..705E. doi:10.1038/348705a0. S2CID 12988317.
- ^ Collins, P. D. B.; Martin, A. D.; Squires, E. J. (1989). Particle Physics and Cosmology. New York: Wiley. ISBN 0-471-60088-1.
- ^ Peacock (1999).
- ^ Gamow, George (April 28, 1970). My World Line : An Informal Autobiography. Viking Adult. ISBN 0-670-50376-2. Retrieved 2007-03-14.
- ^ Wahl, Nicolle (2005-11-22). "Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?". News@UofT. University of Toronto. Archived from the original on 2007-03-07.
- ^ Turner, Michael S. (May 2001). "Making Sense of the New Cosmology". Int. J. Mod. Phys. A. 17 (S1): 180–196. arXiv:astro-ph/0202008. Bibcode:2002IJMPA..17S.180T. doi:10.1142/S0217751X02013113. S2CID 16669258.
- ^ Brown, Harvey (2005). Physical Relativity. Oxford University Press. p. 164. ISBN 978-0-19-927583-0.
- ^ Trautman, Andrzej (1977). "Solutions of the Maxwell and Yang–Mills equations associated with Hopf fibrings". International Journal of Theoretical Physics. 16 (9): 561–565. Bibcode:1977IJTP...16..561T. doi:10.1007/BF01811088. S2CID 123364248..
- ^ Ellis, G. F. R.; MacCallum, M. (1969). "A class of homogeneous cosmological models". Comm. Math. Phys. 12 (2): 108–141. Bibcode:1969CMaPh..12..108E. doi:10.1007/BF01645908. S2CID 122577276.
- ^ Hsu, L.; Wainwright, J (1986). "Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions". Class. Quantum Grav. 3 (6): 1105–1124. Bibcode:1986CQGra...3.1105H. doi:10.1088/0264-9381/3/6/011.
- ^ LeBlanc, V. G. (1997). "Asymptotic states of magnetic Bianchi I cosmologies". Class. Quantum Grav. 14 (8): 2281. Bibcode:1997CQGra..14.2281L. doi:10.1088/0264-9381/14/8/025.
- ^ Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2013). "Dynamical systems approach to a Bianchi type I viscous magnetohydrodynamic model". Phys. Rev. D. 88 (6): 063518. arXiv:1304.8042. Bibcode:2013PhRvD..88f3518K. doi:10.1103/physrevd.88.063518. S2CID 119178273.
- ^ Katanaev, M. O. (2006). "Polynomial form of the Hilbert–Einstein action". Gen. Rel. Grav. 38 (8): 1233–1240. arXiv:gr-qc/0507026. Bibcode:2006GReGr..38.1233K. doi:10.1007/s10714-006-0310-5. S2CID 6263993.
Рекомендации
See General relativity resources.
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.
- Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
- Peacock, John A. (1999). Cosmological Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.
Внешние ссылки
- "Einstein equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
- The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
- Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
- Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations
- The Einstein field equation on the wall of the Museum Boerhaave in downtown Leiden