Координаты Шварцшильда

В теории лоренцевых многообразий , сферический симметричные хронотопы допускают семейство вложенных круглых шаров . В таком пространстве-времени особенно важным видом координатной карты является карта Шварцшильда , своего рода полярная сферическая координатная карта в статическом и сферически-симметричном пространстве-времени , которая адаптирована к этим вложенным круглым сферам. Определяющей характеристикой диаграммы Шварцшильда является то, что радиальная координата имеет естественную геометрическую интерпретацию с точки зрения площади поверхности и гауссовой кривизны.каждой сферы. Однако радиальные расстояния и углы не представлены точно.

Эти диаграммы имеют множество приложений в метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности . Чаще всего они используются в статических сферически-симметричных пространствах-временах. В случае общей теории относительности , теорема Биркгоф утверждает , что каждый изолированная сферически симметричного вакуум или электровакуумное решение уравнения Эйнштейна поля является статическим, но это, конечно , не верно для идеальной жидкости . Расширение внешней области вакуумного решения Шварцшильда внутри горизонта событий сферически-симметричной черной дыры не статичен внутри горизонта, и семейство (пространственноподобных) вложенных сфер не может быть продолжено внутри горизонта, поэтому диаграмма Шварцшильда для этого решения обязательно обрывается на горизонте.

Определение [ править ]

Указание метрического тензора является частью определения любого лоренцевого многообразия . Самый простой способ определить этот тензор - определить его в совместимых локальных картах координат и убедиться, что тот же тензор определен на перекрытиях доменов карт. В этой статье мы попытаемся определить метрический тензор только в области одного графика.${\ displaystyle g}$

В диаграмме Шварцшильда (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) линейный элемент принимает форму

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Где - стандартная сферическая координата, а - стандартная метрика на единичной 2-сфере. См. Получение решения Шварцшильда для более подробного вывода этого выражения.${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$${\displaystyle g_{\Omega }}$

В зависимости от контекста, может быть целесообразно рассматривать a и b как неопределенные функции радиальной координаты (например, при выводе точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить диаграмму координат Шварцшильда в конкретном лоренцевом пространстве-времени.

Если окажется, что это допускает тензор энергии-импульса такой, что результирующая модель удовлетворяет уравнению поля Эйнштейна (скажем, для статической сферически-симметричной идеальной жидкости, подчиняющейся подходящим энергетическим условиям и другим свойствам, ожидаемым от разумной идеальной жидкости), то с соответствующим тензором поля, представляющие физические величины, такие как плотность вещества и импульса, у нас есть часть, возможно, большего пространства-времени; кусок, который можно рассматривать как локальное решение уравнения поля Эйнштейна.

Убийство векторных полей [ править ]

Что касается графика Шварцшильда, то алгебра Ли из Killing векторного полей порождается времениподобным безвихревым векторное поле Киллинга

${\displaystyle \partial _{t}}$^{[Примечание 1]}

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$

Здесь, говоря, что это безвихревый, означает, что тензор завихренности соответствующей времениподобной конгруэнции обращается в нуль; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности . Тот факт, что наше пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Непосредственным следствием этого является то, что поверхности с постоянными координатами времени образуют семейство (изометрических) пространственных гиперпространств . (Это неверно, например, в диаграмме Бойера – Линдквиста для внешней области вакуума Керра , где вектор времениподобных координат не является ортогональным к гиперповерхности.)${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Обратите внимание, что последние два поля являются вращениями друг друга при преобразовании координат . В статье о векторных полях Киллинга дается подробный вывод и обсуждение трех пространственно-подобных полей.${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\pi /2}$

Семейство статических вложенных сфер [ править ]

На графике Шварцшильда, поверхности появляются как круглые сферы (когда мы наносим локусы в полярной сферической моде), а также от его формы, мы видим , что метрика Шварцшильда ограничивается какой - либо из этих поверхностей является положительно определенной и задаются${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Где - стандартная риманова метрика на двумерной сфере единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы с ${\displaystyle g_{\Omega }}$

1. площадь поверхности ${\displaystyle A=4\pi r_{0}^{2}}$
2. Гауссова кривизна ${\displaystyle K=1/r_{0}^{2}}$

В частности, это геометрические круглые сферы . Более того, угловые координаты - это в точности обычные полярные сферические угловые координаты: иногда их называют широтой, а обычно - долготой . По сути, это определяющая геометрическая особенность диаграммы Шварцшильда.${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

Можно добавить, что приведенные выше четыре поля Киллинга, рассматриваемые как абстрактные векторные поля на нашем лоренцевом многообразии, дают наиболее верное выражение обеих симметрий статического сферически-симметричного пространства-времени, в то время как конкретная тригонометрическая форма, которую они принимают в нашей таблице, такова: наиболее верное выражение значения термина « диаграмма Шварцшильда» . В частности, три пространственных векторных поля Киллинга имеют точно такую ​​же форму, что и три нетрансляционных векторных поля Киллинга в сферически-симметричной карте на E ³ ; то есть они демонстрируют понятие произвольного евклидова вращения вокруг начала координат или сферической симметрии.

Однако обратите внимание: в общем случае радиальная координата Шварцшильда не точно представляет радиальные расстояния , то есть расстояния, взятые вдоль пространственноподобных геодезических конгруэнций, которые возникают как интегральные кривые . Скорее, чтобы найти подходящее понятие « пространственного расстояния » между двумя из наших вложенных сфер, мы должны интегрировать вдоль некоторого координатного луча от начала координат:${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle b(r)dr}$

${\displaystyle \Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)dr}$

Точно так же мы можем рассматривать каждую сферу как геометрическое место сферического облака идеализированных наблюдателей, которые должны (как правило) использовать ракетные двигатели для радиального ускорения наружу, чтобы сохранить свое положение. Это статические наблюдатели , и у них есть мировые линии формы , которые, конечно, имеют форму вертикальных координатных линий на карте Шварцшильда.${\displaystyle r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}}$

Чтобы вычислить надлежащий интервал времени между двумя событиями на мировой линии одного из этих наблюдателей, мы должны интегрировать по соответствующей координатной линии:${\displaystyle a(r)dt}$

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)dt}$

Координатные особенности [ править ]

Оглядываясь назад на диапазоны координат выше, обратите внимание, что сингулярность координат в отмечает местоположение северного полюса одной из наших статических вложенных сфер, а отмечает местоположение южного полюса . Как и в случае обычной полярной сферической карты на E ³ , по топологическим причинам мы не можем получить непрерывные координаты на всей сфере; мы должны выбрать некоторую долготу (большой круг), которая будет выступать в качестве нулевого меридиана, и вырезать ее из карты. В результате мы вырезаем замкнутую полуплоскость из каждого пространственного гиперсреза, включая ось и полуплоскость, идущую от этой оси.${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0}$${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi }$ ${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle r=0}$

Когда мы сказали выше, что это векторное поле Киллинга, мы упустили педантичный, но важный квалификатор, который мы думаем как циклическую координату, и действительно думаем о наших трех пространственноподобных векторах Киллинга, действующих на круглые сферы.${\displaystyle \partial _{\phi }}$${\displaystyle \phi }$

Возможно, конечно, или , в этом случае, мы также должны вырезать область вне какого-либо шара или внутри некоторого шара из области нашей карты. Это происходит всякий раз, когда f или g взрываются при некотором значении радиальной координаты Шварцшильда r.${\displaystyle r_{1}>0}$${\displaystyle r_{2}<\infty }$

Визуализация статических гиперпространств [ править ]

Чтобы лучше понять значение радиальной координаты Шварцшильда, можно встроить один из пространственных гиперпластиков (все они, конечно, изометричны друг другу) в плоское евклидово пространство. Люди, которым трудно представить себе четырехмерное евклидово пространство, будут рады заметить, что мы можем воспользоваться сферической симметрией для подавления одной координаты . Это может быть удобно достигнуто установкой . Теперь у нас есть двумерное риманово многообразие с локальной радиальной координатной картой,${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle t=0,\theta =\pi /2}$

${\displaystyle g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Чтобы вложить эту поверхность (или кольцевое кольцо) в E 3 , мы принимаем поле фрейма в E ^3, которое

1. определяется на параметризованной поверхности, которая унаследует желаемую метрику от пространства вложения,
2. адаптирован к нашей радиальной диаграмме,
3. имеет неопределенную функцию .${\displaystyle f(r)}$

А именно, рассмотрим параметризованную поверхность

${\displaystyle (z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )}$

Координатные векторные поля на этой поверхности равны

${\displaystyle \partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$

Индуцированная метрика, унаследованная, когда мы ограничиваем евклидову метрику на E ³ нашей параметризованной поверхностью, имеет вид

${\displaystyle d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Чтобы отождествить это с метрикой нашего гиперсреза, мы, очевидно, должны выбрать так , чтобы${\displaystyle f(r)}$

${\displaystyle f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}}$

Возьмем несколько глупый пример: мы могли бы это сделать .${\displaystyle b(r)=f(r)=\sin(r)}$

Это работает для поверхностей, на которых истинные расстояния между двумя радиально разделенными точками больше, чем разница между их радиальными координатами. Если истинные расстояния меньше , мы должны вместо этого вложить наше риманово многообразие как пространственноподобную поверхность в E ^1,2 . Например, у нас могло быть . Иногда нам могут понадобиться два или более локальных вложения кольцевых колец (для областей положительной или отрицательной гауссовой кривизны). В общем случае не следует ожидать получения глобального вложения в какое-либо одно плоское пространство (с исчезающим тензором Римана).${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r)}$

Дело в том, что определяющая характеристика карты Шварцшильда с точки зрения геометрической интерпретации радиальной координаты - это как раз то, что нам нужно для выполнения (в принципе) такого рода сферически-симметричного вложения пространственных гиперпластиков.

Метрический анзац [ править ]

Приведенный выше линейный элемент, где f , g рассматриваются как неопределенные функции радиальной координаты Шварцшильда r , часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы покажем, как вычислить соединение и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана . Сначала мы считываем из линейного элемента поле coframe ,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=rd\theta \,}$

${\displaystyle \sigma ^{3}=r\sin \theta \,d\phi }$

где мы рассматриваем - еще неопределенные гладкие функции от . (Тот факт, что наше пространство-время допускает каркас, имеющий эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия карты Шварцшильда в статическом сферически-симметричном лоренцевом многообразии).${\displaystyle a\,b}$${\displaystyle r}$

Во-вторых, мы вычисляем внешние производные этих кобазисных одноформ:

${\displaystyle d\sigma ^{0}=-a'(r)\,dr\wedge dt={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}}$

${\displaystyle d\sigma ^{1}=0\,}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=dr\wedge d\theta }$

${\displaystyle d\sigma ^{3}=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi =-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)}$

Сравнивая с первым структурным уравнением Картана (или, скорее, с его условием интегрируемости),

${\displaystyle d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}}$

угадываем выражения для связи одноформ . (Шляпы - это всего лишь условное обозначение, напоминающее нам, что индексы относятся к нашим кобазисным однократным формам, а не к координатным однократным формам .)${\displaystyle dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi }$

Если мы вспомним, какие пары индексов симметричны (пространство-время), а какие антисимметричны (пространство-пространство) в , мы можем подтвердить, что шесть одно-форм связности являются${\displaystyle {\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {a'}{b}}(r)\,dt}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{2}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{3}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-{\frac {d\theta }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos \theta \,d\phi }$

(В этом примере только четыре из шести не обращаются в нуль.) Мы можем собрать эти однозначные формы в матрицу одноформ или, еще лучше, в однозначную SO (1,3) -значную форму. Обратите внимание, что результирующая матрица однозначных форм не будет полностью антисимметричной, как для однозначной SO (4) -значной формы; вместо этого нам нужно использовать понятие транспонирования, возникающее из лоренцево сопряженного .

В-третьих, мы вычисляем внешние производные единичных форм связности и используем второе структурное уравнение Картана

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}}$

для вычисления кривизны две формы. В-четвертых, используя формулу

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}}$

где столбики Баха указывают, что мы должны суммировать только по шести возрастающим парам индексов ( i , j ), мы можем считывать линейно независимые компоненты тензора Римана относительно нашего кофрейма и его поля двойного фрейма . Мы получаем:

${\displaystyle {R^{0}}_{101}={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)}$

${\displaystyle {R^{0}}_{202}={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}}$

${\displaystyle {R^{1}}_{212}={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}}$

${\displaystyle {R^{2}}_{323}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)}$

В-пятых, мы можем снизить индексы и организовать компоненты в матрицу${\displaystyle R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}E&B\\B^{T}&L\end{matrix}}\right]}$

где E, L симметричны (шесть линейно независимых компонентов, в общем), а B бесследно (восемь линейно независимых компонентов, в общем), что мы думаем как представление линейного оператора в шестимерном векторном пространстве двух форм (при каждое событие). Отсюда мы можем прочитать разложение Бэля по времениподобному единичному векторному полю . Электрогравитационный тензор является${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)}$

Magnetogravitic тензор тождественно равен нулю, а topogravitic тензор , из которого (используя тот факт , что безвихревое) можно определить трехмерный тензор Римана пространственных hyperslices, является${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$

Все это справедливо для любого лоренцевого многообразия, но отметим, что в общей теории относительности тензор электрогравитации контролирует приливные напряжения на малых объектах, измеряемые наблюдателями, соответствующими нашей системе отсчета, а тензор магнитогравитации контролирует любые спин-спиновые силы на вращающихся объектах. , как измерено наблюдателями, соответствующими нашему кадру.

Поле двойного кадра нашего поля coframe равно

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Тот факт, что множитель здесь умножает только первое из трех ортонормированных пространственноподобных векторных полей, означает, что карты Шварцшильда не являются пространственно изотропными (за исключением тривиального случая локально плоского пространства-времени); скорее появляются световые конусы (радиально уплощенные) или (радиально вытянутые). Это, конечно, просто еще один способ сказать, что диаграммы Шварцшильда правильно представляют расстояния внутри каждой вложенной круглой сферы, но радиальная координата не точно представляет радиальное правильное расстояние.${\displaystyle {\frac {1}{b(r)}}}$

Некоторые точные решения, допускающие диаграммы Шварцшильда [ править ]

Вот некоторые примеры точных решений, которые могут быть получены таким образом:

• внешняя область вакуума Шварцшильда ,
• то же самое для электровакуума Рейсснера – Нордстрёма , который включает предыдущий пример как частный случай,
• то же самое для электроламбдавакуума Рейсснера – Нордстрема – де Ситтера , который включает предыдущий пример как частный случай,
• решение Джениса-Ньюмана-Винакура (которое моделирует внешний вид статического сферически-симметричного объекта, наделенного безмассовым минимально связанным скалярным полем),
• звездные модели, полученные путем сопоставления внутренней области, которая представляет собой статическое сферически-симметричное идеальное жидкое решение через сферическое место исчезающего давления, с внешней областью, которая локально изометрична части области вакуума Шварцшильда.

Обобщения [ править ]

Естественно рассматривать нестатические, но сферически-симметричные пространства-времени с обобщенной картой Шварцшильда, в которой метрика принимает вид

${\displaystyle g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Обобщая в другом направлении, мы можем использовать другие системы координат на наших круглых двух сферах, чтобы получить, например, стереографическую диаграмму Шварцшильда, которая иногда бывает полезной:

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1}<r<r_{2}}$

См. Также [ править ]

• статическое пространство - время ,
• сферически-симметричное пространство-время ,
• статические сферически симметричные идеальные жидкости ,
• изотропные координаты , еще одна популярная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,
• Гауссовские полярные координаты , менее распространенная альтернативная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,
• Координаты Гуллстранда – Пенлеве , простая диаграмма, действительная в пределах горизонта событий статической черной дыры.
• поля кадра в общей теории относительности , для получения дополнительной информации о полях кадра и полях кадра,
• Разложение Беля тензора Римана,
• сравнение (общая теория относительности) , для получения дополнительной информации о сопоставлениях, таких как выше,${\displaystyle {\vec {X}}}$
• Координаты Крускала – Секереса , карта, покрывающая все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда и хорошо себя ведающая везде за пределами физической сингулярности,
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна , альтернативная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,

Заметки [ править ]