Неравенство Ван дер Корпута

---

В математике неравенство Ван дер Корпута является следствием неравенства Коши-Шварца , которое полезно при изучении корреляций между векторами и, следовательно, случайными величинами . Это также полезно при изучении равнораспределенных последовательностей , например, в оценке равнораспределения Вейля . Грубо говоря, неравенство Ван дер Корпута утверждает, что если единичный вектор в пространстве внутреннего произведения сильно коррелирует со многими единичными векторами , то многие пары${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle и_ {1}, \ точки, и_ {п} \ в V}$${\ Displaystyle и_ {я}, и_ {j}}$должны быть тесно связаны друг с другом. Здесь понятие корреляции уточняется внутренним произведением пространства : когда абсолютное значение близко к , то и считаются сильно коррелированными. (В более общем случае, если вовлеченные векторы не являются единичными векторами, то сильная корреляция означает, что .)${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle \ Лангле и, в \ рангл}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle |\langle u,v\rangle |\approx \|u\|\|v\|}$

Позвольте быть реальным или комплексным пространством внутреннего продукта со скалярным продуктом и индуцированной нормой . Предположим, что и это . потом${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle v,u_{1},\dots ,u_{n}\in V}$${\displaystyle \|v\|=1}$

С точки зрения корреляционной эвристики, упомянутой выше, если сильно коррелирует со многими единичными векторами , то левая часть неравенства будет большой, что затем заставляет значительную часть векторов сильно коррелировать друг с другом.${\displaystyle v}$${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}\in V}$${\displaystyle u_{i}}$

---