 | Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
|
Реконструкция векторного поля [1] - это метод создания векторного поля из экспериментальных или компьютерных данных, обычно с целью нахождения модели дифференциального уравнения системы.
Модель дифференциального уравнения - это модель, которая описывает значение зависимых переменных по мере их развития во времени или пространстве, давая уравнения, включающие эти переменные и их производные по отношению к некоторым независимым переменным , обычно времени и / или пространству. Обыкновенное дифференциальное уравнение- это переменная, в которой зависимые переменные системы являются функциями только одной независимой переменной. Многие физические, химические, биологические и электрические системы хорошо описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Часто мы предполагаем, что система управляется дифференциальными уравнениями, но у нас нет точных сведений о влиянии различных факторов на состояние системы. Например, у нас может быть электрическая цепь, которая теоретически описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, но из-за допуска резисторов , колебаний напряжения питания или помех от внешних воздействий мы не знаем точных параметров системы. . Для некоторых систем, особенно поддерживающих хаос, небольшое изменение значений параметров может вызвать большие изменения в поведении системы, поэтому точная модель чрезвычайно важна. Следовательно, может потребоваться построить более точные дифференциальные уравнения, построив их на основе фактических характеристик системы, а не теоретической модели. В идеале можно было бы измерить все задействованные динамические переменные в течение длительного периода времени, используя множество различных начальных условий , а затем построить или точно настроить модель дифференциального уравнения на основе этих измерений.
В некоторых случаях мы можем даже не знать достаточно о процессах, задействованных в системе, чтобы даже сформулировать модель. В других случаях у нас может быть доступ только к одной динамической переменной для наших измерений, т. Е. У нас есть скалярный временной ряд . Если у нас есть только скалярный временной ряд, нам нужно использовать метод вложения с временной задержкой или производные координаты, чтобы получить достаточно большой набор динамических переменных для описания системы.
Короче говоря, как только у нас есть набор измерений состояния системы за некоторый период времени, мы находим производные этих измерений, что дает нам локальное векторное поле, а затем определяем глобальное векторное поле, согласованное с этим локальным полем. Обычно это делается методом наименьших квадратов для производных данных.
Формулировка [ править ]
В лучшем случае у вас есть потоки данных измерений всех системных переменных, равномерно распределенных во времени, скажем,
- s 1 (t), s 2 (t), ..., s k (t)
для
- т = т 1 , т 2 , ..., т п ,
начиная с нескольких различных начальных условий. Затем задача поиска векторного поля и, следовательно, модели дифференциального уравнения состоит из подгонки функций, например, кубического сплайна , к данным для получения набора функций непрерывного времени.
- x 1 (t), x 2 (t), ..., x k (t),
вычисление производных по времени dx 1 / dt, dx 2 /dt,...,dx k / dt функций, а затем подгонка методом наименьших квадратов с использованием некоторого вида ортогональных базисных функций ( ортогональные полиномы , радиальные базисные функции и т. каждый компонент касательных векторов, чтобы найти глобальное векторное поле. Тогда дифференциальное уравнение может быть считано из глобального векторного поля.
Существуют различные методы создания базисных функций для аппроксимации методом наименьших квадратов. Самый распространенный метод - это процесс Грама – Шмидта . Это создает набор ортогональных базисных векторов, которые затем можно легко нормализовать. Этот метод начинается с выбора любого стандартного базиса β = {v 1 , v 2 , ..., v n }. Затем установите первый вектор v 1 = u 1 . Затем положим u 2 = v 2 -proj u 1 v 2 . Этот процесс повторяется для k векторов, причем последний вектор будет u k = v k -∑ (j = 1) (k-1) proj uк v к . Затем это создает набор ортогональных стандартных базисных векторов.
Причина использования стандартного ортогонального базиса, а не стандартного базиса, возникает из-за создания следующей аппроксимации методом наименьших квадратов. Создание аппроксимации методом наименьших квадратов начинается с принятия некоторой функции, в случае реконструкции полинома n- й степени, и подгонки кривой к данным с использованием констант. Точность подбора можно повысить, увеличив степень полинома, используемого для подбора данных. Если использовался набор неортогональных стандартных базисных функций, возникает необходимость пересчитать постоянные коэффициенты функции, описывающей подгонку. Однако при использовании ортогонального набора базисных функций нет необходимости пересчитывать постоянные коэффициенты.
Приложения [ править ]
Реконструкция векторного поля имеет несколько приложений и много разных подходов. Некоторые математики не только использовали радиальные базисные функции и полиномы для восстановления векторного поля, но и использовали показатели Ляпунова и разложение по сингулярным числам . [2] Гуэсбет и Летелье использовали многомерное полиномиальное приближение и метод наименьших квадратов для восстановления своего векторного поля. Этот метод был применен к системе Рёсслера и системе Лоренца , а также к тепловым линзовым колебаниям .
Система Росслера, система Лоренца и колебания тепловой линзы подчиняются дифференциальным уравнениям в стандартной системе как
- X '= Y, Y' = Z и Z '= F (X, Y, Z)
где F (X, Y, Z) известна как стандартная функция. [3]
Проблемы реализации [ править ]
В некоторых ситуациях модель не очень эффективна, и могут возникнуть трудности, если модель имеет большое количество коэффициентов и демонстрирует расходящееся решение. Например, неавтономные дифференциальные уравнения дают ранее описанные результаты. [4] В этом случае модификация стандартного подхода в приложении дает лучший способ дальнейшего развития глобальной векторной реконструкции.
Обычно моделируемая таким образом система представляет собой хаотическую динамическую систему , потому что хаотические системы исследуют большую часть фазового пространства, и оценка глобальной динамики на основе локальной динамики будет лучше, чем с системой, исследующей только небольшую часть фазового пространства. космос.
Часто можно получить только одно скалярное измерение временного ряда из системы, о которой известно, что она имеет более одной степени свободы . Временной ряд может даже быть не из системной переменной, а может быть функцией всех переменных, таких как температура в реакторе с мешалкой, использующим несколько химических веществ. В этом случае необходимо использовать технику встраивания координат задержки , [5] где конструируется вектор состояния, состоящий из данных в момент времени t и нескольких задержанных версий данных.
Подробный обзор темы доступен по ссылке [6].
Ссылки [ править ]
- ^ Letellier, C .; Le Sceller, L .; Maréchal, E .; Dutertre, P .; Maheu, B .; и другие. (1995-05-01). «Реконструкция глобального векторного поля по хаотическому экспериментальному сигналу при электрорастворении меди». Physical Review E . Американское физическое общество (APS). 51 (5): 4262–4266. DOI : 10.1103 / physreve.51.4262 . ISSN 1063-651X .
- ^ Вэй-Донг, Лю; Ren, K. F; Meunier-Guttin-Cluzel, S; Gouesbet, G (2003). «Реконструкция глобального векторного поля нелинейных динамических систем из временного ряда с помощью метода SVD и проверки с показателями Ляпунова». Китайская физика . IOP Publishing. 12 (12): 1366–1373. DOI : 10.1088 / 1009-1963 / 12/12/005 . ISSN 1009-1963 .
- ^ Gouesbet, G .; Летелье, К. (1994-06-01). «Реконструкция глобального векторного поля с использованием многомерного полиномиального приближения L 2 на сетях». Physical Review E . Американское физическое общество (APS). 49 (6): 4955–4972. DOI : 10.1103 / physreve.49.4955 . ISSN 1063-651X .
- ^ Безручко, Борис П .; Смирнов, Дмитрий Александрович (2000-12-20). «Построение неавтономных дифференциальных уравнений по экспериментальным временным рядам». Physical Review E . Американское физическое общество (APS). 63 (1): 016207. DOI : 10,1103 / physreve.63.016207 . ISSN 1063-651X .
- ^ Embedology, Тим Sauer, Джеймс А. Yorke, и Мартин Casdagli, СантаФе Институт рабочий документ
- ^ Г. Gouesbet, С. Менье-Guttin-Cluzel и О. Менар, редакторы. Хаос и его реконструкция. Издательство Novascience, Нью-Йорк (2003)
