Формула сложения скорости

Специальная теория относительности, сформулированная в 1905 году Альбертом Эйнштейном , подразумевает, что сложение скоростей не соответствует простому сложению векторов .

В релятивистской физике , А сложение скоростей является трехмерное уравнение, связывающее скорости объектов в разных опорных кадров . Такие формулы применяются к последовательным преобразованиям Лоренца , поэтому они также связывают разные системы отсчета. Сопровождающее добавление скорости - кинематический эффект, известный как прецессия Томаса , в результате чего последовательные неколлинеарные повышения Лоренца становятся эквивалентными композиции вращения системы координат и повышения.

Стандартные применения формул сложения скорости включают доплеровский сдвиг , доплеровскую навигацию , аберрацию света и перетаскивание света в движущейся воде, наблюдаемое в эксперименте Физо 1851 года . ^[1]

В обозначении $u$ используется как скорость тела в лоренцевой системе отсчета $S$ , а $v$ как скорость второй системы отсчета $S'$ , измеренная в $S$ , и $u'$ как преобразованная скорость тела внутри второй системы отсчета.

История [ править ]

Скорость света в жидкости ниже, чем скорость света в вакууме, и она изменяется, если жидкость движется вместе со светом. В 1851 году Физо измерил скорость света в жидкости, движущейся параллельно свету, с помощью интерферометра . Результаты Физо не соответствовали господствовавшим в то время теориям. Физо экспериментально правильно определил термин нулевого расширения релятивистский правильный закон сложения в терминах $V$ $/$ $с$ , как описано ниже. Результат Физо заставил физиков признать эмпирическую обоснованность довольно неудовлетворительной теории Френеля о том, что жидкость, движущаяся относительно неподвижного эфира, частично таскает света с ним, т.е. скорость $с$ $/$ $п$ $+ (1 -$ $1$ $/$ $п$ $2$ $)$ $V$ вместо $с$ $/$ $п$ $+$ $V$ , где $с$ является скорость света в эфире, $п$ является показателем преломления из жидкость, а $V$ - скорость жидкости относительно эфира.

Аберрация света , из которых самого простого объяснение релятивистской формула сложения скоростей, вместе с результатом Физ, толчком к развитию теорий , как Лоренц эфирной теории электромагнетизма в 1892. В 1905 году Альберт Эйнштейна , с появлением специальной теории относительности , вывел стандартная формула конфигурации ( $V$ в $й$ -направлении ) для добавления релятивистских скоростей. ^[2] Проблемы, связанные с эфиром, постепенно с годами решались в пользу специальной теории относительности.

Относительность Галилея [ править ]

Галилей заметил, что человек на равномерно движущемся корабле производит впечатление неподвижного и видит тяжелое тело, падающее вертикально вниз. ^[3] Это наблюдение сейчас рассматривается как первое четкое изложение принципа механической относительности. Галилей видел, что с точки зрения человека, стоящего на берегу, движение корабля при падении вниз будет сочетаться или добавляться к движению корабля вперед. ^[4] В терминах скоростей можно сказать, что скорость падающего тела относительно берега равна скорости этого тела относительно корабля плюс скорость корабля относительно берега.

В общем, для трех объектов A (например, Галилей на берегу), B (например, корабль), C (например, падающее тело на корабль) вектор скорости C относительно A (скорость падающего объекта, как его видит Галилей) представляет собой сумму скорость C относительно B (скорость падающего объекта относительно корабля) плюс скорость $v точки$ B относительно A (скорость корабля от берега). Сложением здесь является векторное сложение векторной алгебры, и результирующая скорость обычно представляется в виде ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u '}}$

{\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} + \ mathbf {u '}.}

Космос Галилея состоит из абсолютного пространства и времени, и сложение скоростей соответствует композиции преобразований Галилея . Принцип относительности называется относительностью Галилея . Ему подчиняется механика Ньютона .

Специальная теория относительности [ править ]

Согласно специальной теории относительности , корпус корабля имеет другую тактовую частоту и меру расстояния, а понятие одновременности в направлении движения изменяется, поэтому изменяется закон сложения скоростей. Это изменение не заметно при малых скоростях, но по мере того, как скорость увеличивается по направлению к скорости света, это становится важным. Закон сложения также называется законом композиции скоростей . Для коллинеарных движений скорость объекта (например, пушечное ядро, выпущенное горизонтально в сторону моря), измеренная с корабля, будет измеряться кем-то, кто стоит на берегу и наблюдает за всей сценой через телескоп, как ^[5]

{\ displaystyle u = {v + u '\ over 1+ (vu' / c ^ {2})}.}

Формула композиции может принимать алгебраически эквивалентную форму, которую можно легко вывести, используя только принцип постоянства скорости света ^[6].

{\ displaystyle {cu \ over c + u} = \ left ({cu '\ over c + u'} \ right) \ left ({cv \ over c + v} \ right).}

Космос специальной теории относительности состоит из пространства-времени Минковского, и сложение скоростей соответствует композиции преобразований Лоренца . В специальной теории относительности механика Ньютона преобразована в релятивистскую механику .

Стандартная конфигурация [ править ]

Формулы повышения в стандартной конфигурации наиболее просто следуют из получения дифференциалов обратного повышения Лоренца в стандартной конфигурации. ^[7]^[8] Если штрихованный кадр движется со скоростью с фактором Лоренца в положительном $x-$ направлении относительно незаштрихованного кадра, то дифференциалы равны ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {_ {v}} = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$

{\ displaystyle dx = \ gamma _ {_ {v}} (dx '+ vdt'), \ quad dy = dy ', \ quad dz = dz', \ quad dt = \ gamma _ {_ {v}} \ left (dt '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} dx' \ right).}

Разделите первые три уравнения на четвертое,

{\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},

или же

u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},

который

Преобразование скорости ( декартовы компоненты )

u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},

u_{y}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},

u_{z}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{z}'}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{z}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},

в котором выражения для скоростей со штрихом были получены с использованием стандартного рецепта путем замены $v$ на $- v$ и обмена координатами со штрихом и без него. Если координаты выбраны так, что все скорости лежат в (общей) плоскости $x - y$ , то скорости могут быть выражены как

u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',

(см. полярные координаты ) и находим ^[2]^[9]

Преобразование скорости ( плоские полярные компоненты )

{\begin{aligned}u&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},\\\tan \theta &={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.\end{aligned}}

Подробности для вас

{\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}

Приведенное доказательство носит весьма формальный характер. Есть и другие более сложные доказательства, которые могут быть более поучительными, например, приведенное ниже.

Доказательство с использованием

4

-векторов и матриц преобразования Лоренца

Поскольку релятивистское преобразование вращает пространство и время друг в друга так же, как геометрические вращения на плоскости вращают оси $x$ и $y$ , удобно использовать одни и те же единицы для пространства и времени, в противном случае коэффициент преобразования единиц появляется во всех релятивистских формулах, будучи скорость света . В системе, где длина и время измеряются в одних и тех же единицах, скорость света безразмерна и равна $1$ . Тогда скорость выражается как часть скорости света.

Чтобы найти закон релятивистского преобразования, полезно ввести четыре скорости $V = (V 0, V 1, 0, 0)$ , которые представляют собой движение корабля от берега, измеренное от берега, и $U ' = (U ' 0, U ' 1, U ' 2, U ' 3),$ которое представляет собой движение мухи от корабля, измеренное от корабля. Четыре-скорости определяется быть четырехмерный вектором с релятивистской длиной , равными $1$ , будущие направленными и касательная кмировая линия объекта в пространстве-времени. Здесь $V 0$ соответствует временной составляющей, а $V 1$ - $x-$ составляющей скорости судна, если смотреть с берега. Удобно принять за ось $x$ направление движения корабля от берега, а за ось $y -$ так, чтобы плоскость $x - y$ была плоскостью, охватываемой движением корабля и мухи. Это приводит к тому, что некоторые компоненты скоростей равны нулю; $V 2 = V 3 = U ' 3 = 0$ .

Обычная скорость - это отношение скорости увеличения пространственных координат к скорости увеличения временной координаты,

{\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u'} &=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0).\end{aligned}}

Поскольку релятивистская длина $V$ равна $1$ ,

V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,

так

V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .

Матрица преобразования Лоренца, которая преобразует скорости, измеренные в кадре корабля, в береговую структуру, является инверсией преобразования, описанного на странице преобразования Лоренца , поэтому знаки минус, которые появляются там, должны быть инвертированы здесь:

{\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

Эта матрица вращает чистый вектор оси времени $(1, 0, 0, 0)$ в $(V 0, V 1, 0, 0)$ , и все ее столбцы релятивистски ортогональны друг другу, поэтому она определяет преобразование Лоренца.

Если муха движется с четырехскоростной $U '$ в кадре корабля, и она увеличивается путем умножения на матрицу выше, новая четырехскорость в береговом кадре будет $U = (U 0, U 1, U 2, U 3)$ ,

{\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}

Разделив на компонент времени $U 0$ и подставив компоненты четырехвекторов $U '$ и $V$ на компоненты трех векторов $u '$ и $v,$ получим закон релятивистской композиции в виде

{\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0.\end{aligned}}

Форму закона релятивистской композиции можно понять как эффект нарушения одновременности на расстоянии. Для параллельного компонента замедление времени снижает скорость, сокращение длины увеличивает ее, и два эффекта компенсируются. Отсутствие одновременности означает, что муха меняет срезы одновременности как проекцию $u '$ на $v$ . Так как этот эффект полностью из - за квантования времени, и тот же коэффициент умножает перпендикулярная компонента, но и для перпендикулярной компоненты нет сокращения длины, поэтому замедление времени умножается на коэффициент $1$ $/$ $V$ $0$ $=$ $\sqrt$ $(1 -$ $об$ $1$ $2$ $)$ .

Общая конфигурация [ править ]

Разложение 3-скорости

u

на параллельную и перпендикулярную составляющие и расчет составляющих. Процедура для

u'

идентична.

Начиная с выражения в координатах для $v,$ параллельного оси $x$ , выражения для перпендикулярных и параллельных компонентов могут быть преобразованы в векторную форму следующим образом, трюк, который также работает для преобразований Лоренца других трехмерных физических величин, первоначально в установленной стандартной конфигурации. . Введем вектор скорости $u$ в систему без штриха и $u'$ в системе со штрихом и разделим их на компоненты, параллельные (∥) и перпендикулярные (⊥) вектору относительной скорости $v$ (см. Скрытое поле ниже), таким образом

\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },

затем с помощью обычных декартовых единичных базисных векторов $e x, e y, e z$ установите скорость в системе без штриха равной

\mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},

что дает, используя результаты для стандартной конфигурации,

\mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.

где · - скалярное произведение . Поскольку это векторные уравнения, они по-прежнему имеют одинаковую форму для $v$ в любом направлении. Единственное отличие от координатных выражений состоит в том, что приведенные выше выражения относятся к векторам , а не к компонентам.

Получается

\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',

где $α v = 1 / γ v$ - величина, обратная фактору Лоренца . Порядок операндов в определении выбирается таким, чтобы он совпадал с порядком стандартной конфигурации, из которой получена формула.

Алгебра

{\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}

Разложение на параллельную и перпендикулярную составляющие по

V

Необходимо найти либо параллельный, либо перпендикулярный компонент для каждого вектора, поскольку другой компонент будет удален путем замены полных векторов.

Параллельная составляющая $u'$ может быть найдена путем проецирования полного вектора в направлении относительного движения.

\mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,

а перпендикулярная составляющая $u ''$ может быть найдена по геометрическим свойствам векторного произведения (см. рисунок вверху справа),

\mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.

В каждом случае $v / v$ - это единичный вектор в направлении относительного движения.

Выражения для $u ||$ и $u ⊥$ можно найти таким же образом. Подставив параллельный компонент в

\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},

приводит к приведенному выше уравнению. ^[10]

Используя тождество в и , ^[11]^{[nb 1]} $\alpha _{v}$ $\gamma _{v}$

{\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}

и в прямом (v положительное, S → S ') направлении

{\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}

где последнее выражение получено по стандартной формуле векторного анализа $v \times (v \times u) = (v \cdot u) v - (v \cdot v) u$ . Первое выражение распространяется на любое количество пространственных измерений, но перекрестное произведение определяется только в трех измерениях. Объекты $A, B, C$ с $B,$ имеющим скорость $v$ относительно $A$ и $C,$ имеющую скорость $u$ относительно $A$ может быть что угодно. В частности, это могут быть три кадра или лаборатория, распадающаяся частица и один из продуктов распада распадающейся частицы.

Свойства [ править ]

Релятивистское сложение трех скоростей нелинейно.

(\lambda \mathbf {v} )\oplus (\mu \mathbf {u} )\neq \lambda \mu (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),

для любых действительных чисел $λ$ и $μ$ , хотя верно, что

(-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),

Кроме того, из-за последних членов, вообще говоря, не коммутативен.

\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,

ни ассоциативный

\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .

Особого упоминания заслуживает тот факт, что если $u$ и $v '$ относятся к скоростям попарно параллельных систем отсчета (со штрихами параллельно без штриха и с двумя штрихами параллельно со штрихом), то, согласно принципу взаимности скоростей Эйнштейна, система без штриха движется со скоростью $- u$ относительно рамка с штрихом, а система с штрихом движется со скоростью $- v '$ относительно системы с двумя штрихами, следовательно $(- v ' \oplus - u)$ - это скорость системы без штриховки относительно системы с двумя штрихами, и можно было бы ожидать, что $u \oplus v ' = - (- v ' \oplus - u)$ путем наивного применения принципа взаимности. Это неверно, хотя величины равны. Фреймы без штриха и с двумя штрихами не параллельны, а связаны посредством вращения. Это связано с феноменом прецессии Томаса и здесь не рассматривается.

Нормы приведены в ^[12]

|\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.

и

|\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.

Для подтверждения щелкните здесь.

{\begin{aligned}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}

Обратная формула, полученная с помощью стандартной процедуры замены $v$ на $-v$ и $u$ на $u '$ .

Ясно, что некоммутативность проявляется в дополнительном повороте системы координат, когда задействованы два буста, поскольку квадрат нормы одинаков для обоих порядков бустов.

Гамма-факторы для комбинированных скоростей вычисляются как

\gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)

Нажмите, чтобы получить подробные доказательства

{\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})\end{aligned}}

Обратная формула, полученная с помощью стандартной процедуры замены $v$ на $-v$ и $u$ на $u '$ .

Условные обозначения [ править ]

Обозначения и соглашения для сложения скорости варьируются от автора к автору. Для операции или для задействованных скоростей могут использоваться разные символы, и операнды могут переключаться для одного и того же выражения, или символы могут переключаться для одной и той же скорости. Для преобразованной скорости также может использоваться полностью отдельный символ, а не штрих, используемый здесь. Поскольку сложение скорости некоммутативно, нельзя переключать операнды или символы без изменения результата.

Примеры альтернативных обозначений включают:

Нет конкретного операнда

Ландау и Лифшиц (2002) (с использованием единиц, где c = 1)

|\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]

Порядок операндов слева направо

Мокану (1992)

\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]

Унгар (1988)

\mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]

Порядок операндов справа налево

Сексл и Урбантке (2001)

\mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]

Приложения [ править ]

Некоторые классические приложения формул сложения скоростей к доплеровскому сдвигу, аберрации света и увлечению света в движущейся воде, дающие релятивистски обоснованные выражения для этих явлений, подробно описаны ниже. Также можно использовать формулу сложения скоростей, предполагая сохранение импульса (путем обращения к обычной инвариантности вращения), правильную форму $3$ -векторной части четырехвектора импульса , не прибегая к электромагнетизму, или априори неизвестно чтобы быть действительными, релятивистские версии лагранжевого формализма . Это предполагает, что экспериментатор отскакивает друг от друга релятивистскими бильярдными шарами. Здесь это не подробно описано, но для справки см. Lewis & Tolman (1909), версия Wikisource.(первоисточник) и Сард (1970 , раздел 3.2).

Физо эксперимент [ править ]

Ипполит Физо (1819–1896), французский физик, в 1851 году первым измерил скорость света в текущей воде.

При распространении света в среде, его скорость снижается, в системе покоя среды, к $гр м = с / п м$ , где $п т$ является показатель преломления среды $м$ . Скорость света в среде, равномерно движущейся со скоростью $V$ в положительном направлении оси $x,$ измеренная в лабораторной системе координат, определяется непосредственно формулами сложения скоростей. Для прямого направления (стандартная конфигурация, индекс падения $m$ на $n$ ) получается, ^[13]

{\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}(1+{\frac {nV}{c}}){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=({\frac {c}{n}}+V)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}

Явно собирая самые большие взносы,

c_{m}={\frac {c}{n}}+V(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots ).

Физо нашел первые три члена. ^[14]^[15] Классический результат - первые два члена.

Аберрация света [ править ]

Другое базовое приложение - это учитывать отклонение света, то есть изменение его направления, при преобразовании в новую систему отсчета с параллельными осями, называемую аберрацией света . В этом случае $v' = v = c$ , и вставка в формулу для $tan θ$ дает

\tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.

В этом случае можно также вычислить $sin θ$ и $cos θ$ по стандартным формулам, ^[16]

{\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}

Тригонометрия

{\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}

\cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},

Джеймс Брэдли (1693–1762) FRS дал правильное объяснение аберрации света на классическом уровне ^{[17], что} противоречит более поздним теориям, преобладающим в девятнадцатом веке, основанным на существовании эфира .

тригонометрические манипуляции в случае $cos$ по существу идентичны манипуляциям в случае $sin$ . Учтите разницу,

{\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}

Правильнее порядка $об$ $/$ $с$ . Используйте для аппроксимации малых углов тригонометрическую формулу:

{\begin{aligned}\sin \theta '-\sin \theta &=2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',\end{aligned}}

где $cos 1 / 2 (θ + θ') \approx cos θ', sin 1 / 2 (θ - θ') \approx 1 / 2 (θ - θ')$ .

Таким образом, количество

\Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',

классический угол аберрации , получается в пределе $V$ $/$ $C$ $\to 0$ .

Релятивистский доплеровский сдвиг [ править ]

Кристиан Доплер (1803–1853) был австрийским математиком и физиком, который обнаружил, что наблюдаемая частота волны зависит от относительной скорости источника и наблюдателя.

Здесь компоненты скорости будут использоваться вместо скорости для большей общности и во избежание, возможно, кажущегося случайным введения знаков минус. Знаки минус, встречающиеся здесь, вместо этого будут служить для освещения объектов, если скорость меньше скорости света.

Для световых волн в вакууме достаточно замедления времени вместе с простым геометрическим наблюдением, чтобы вычислить доплеровский сдвиг в стандартной конфигурации (коллинеарная относительная скорость излучателя и наблюдателя, а также наблюдаемой световой волны).

Все скорости в дальнейшем параллельны общему положительному направлению оси $x$ , поэтому индексы компонентов скорости опускаются. В кадре наблюдателя введите геометрическое наблюдение

\lambda =-sT+VT=(-s+V)T

как пространственное расстояние или длина волны между двумя импульсами (гребни волн), где $T$ - время, прошедшее между излучением двух импульсов. Время , прошедшее между прохождением двух импульсов в той же точке в пространстве является период времени $τ$ , и обратный $ν = 1 / τ$ есть наблюдаемый (временная) частота . Соответствующие величины в рамке эмиттеров отмечены штрихами. ^[18]

Для световых волн

s=s'=-c,

и наблюдаемая частота ^[2]^[19]^[20]

\nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.

где $T = γ V T'$ - стандартная формула замедления времени .

Предположим вместо этого, что волна не состоит из световых волн со скоростью $c$ , а вместо этого, для облегчения визуализации, пули, выпущенные из релятивистского пулемета, со скоростью $s'$ в кадре излучателя. Тогда в целом геометрическое наблюдение точно такое же . Но теперь $s' \neq s$ , а $s$ определяется сложением скоростей,

s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.

Расчет затем по существу то же самое, за исключением того, что здесь легче осуществляется вниз головой с $т = 1 / v$ , а $v$ , . Один находит

$\tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)$

Детали в выводе

{\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}

Заметим , что в типичном случае $с'$ , который входит в отрицательный . Однако формула имеет общий смысл. ^{[nb 2]} Когда $s' = - c$ , формула сводится к формуле, рассчитанной непосредственно для световых волн выше,

\nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.

Если эмиттер не стреляет пулями в пустом пространстве, а излучает волны в среде, тогда формула все еще применима , но теперь может потребоваться сначала вычислить $s'$ из скорости эмиттера относительно среды.

Возвращаясь к случаю светового излучателя, в случае, когда наблюдатель и излучатель не коллинеарны, результат имеет небольшие изменения, ^[2]^[21]^[22]

\nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),

где $θ$ - угол между излучателем света и наблюдателем. Это сводится к предыдущему результату для коллинеарного движения, когда $θ = 0$ , но для поперечного движения, соответствующего $θ = π / 2$ , частота сдвигается на коэффициент Лоренца . Этого не происходит в классическом оптическом эффекте Доплера.

Гиперболическая геометрия [ править ]

Функции sinh , cosh и tanh . Функция tanh связывает скорость

-\infty < ς <+ \infty

с релятивистской скоростью

-1 < β <+1

.

С релятивистской скоростью объекта связана величина , норма которой называется быстротой . Они связаны через ${\boldsymbol {\beta }}$ ${\boldsymbol {\zeta }}$

{\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},

где вектор рассматривается как декартовы координаты на трехмерном подпространстве алгебры Ли группы Лоренца, натянутом на генераторы буста . Это пространство, назовем его быстроте пространство , это изоморфно к $ℝ$ $3$ в качестве векторного пространства, и отображается на открытый единичный шар, , объемная скорость , с помощью упомянутого выше соотношения. ^[23] Закон сложения коллинеарной формы совпадает с законом сложения гиперболических касательных. ${\boldsymbol {\zeta }}$ ${\mathfrak {so}}(3,1)$ $K_{1},K_{2},K_{3}$ $\mathbb {B} ^{3}$

\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}

с

{v \over c}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {{u'} \over c}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{u \over c}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).

Элемент линии в пространстве скоростей следует из выражения для релятивистской относительной скорости в любой системе отсчета, ^[24] $\mathbb {B} ^{3}$

v_{r}={\sqrt {\frac {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}},

где скорость света установлена на единицу так что и согласен. В этом выражении и являются скорости двух объектов в любой заданной системе отсчета. Величина - это скорость одного или другого объекта относительно другого объекта, как видно в данном кадре . Выражение инвариантно Лоренц, т.е. не зависит от того, какой кадр является данным кадром, но количество, которое оно вычисляет, нет . Например, если данный кадр является остальным кадром объекта один, то . $v_{i}$ $\beta _{i}$ $\mathbf {v} _{1}$ $\mathbf {v} _{2}$ $v_{r}$ $v_{r}=v_{2}$

Элемент линии можно найти, положив или, что то же самое , ^[25] $\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v}$ ${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}$

dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),

где $θ$ и $φ$ - обычные сферические угловые координаты, взятые в направлении $z$ . Теперь введем $ζ$ через ${\boldsymbol {\beta }}$

\zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,

и элемент линии в пространстве быстроты становится $\mathbb {R} ^{3}$

dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).

Столкновения релятивистских частиц [ править ]

В экспериментах по рассеянию основной целью является измерение инвариантного сечения рассеяния . Это входит в формулу для рассеяния двух типов частиц в конечном состоянии, предполагающем наличие двух или более частиц, ^[26] $f$

dN_{f}=R_{f}dVdt=\sigma FdVdt\quad ({\text{given as }}\sigma n_{1}n_{2}v_{r}dVdt{\text{ in most textbooks}}),

куда

$dVdt$ объем пространства-времени. Он инвариант относительно преобразований Лоренца.
$dN_{f}$ - общее количество реакций, приводящих к конечному состоянию в пространственно-временном объеме . Будучи числом, оно инвариантно, когда рассматривается один и тот же объем пространства-времени. $f$ $dVdt$
$R_{f}=F\sigma$ - количество реакций, приводящих к конечному состоянию на единицу пространства-времени, или скорость реакции . Это инвариант. $f$
$F=n_{1}n_{2}v_{r}$ называется падающим потоком . Это должно быть инвариантным, но не в самых общих условиях.
$\sigma$ - сечение рассеяния. Требуется инвариантность.
$n_{1},n_{2}$ - плотности частиц в падающих пучках. Они не инвариантны, что ясно из-за сокращения длины .
$v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ это относительная скорость двух падающих пучков. Это не может быть инвариантным, поскольку это необходимо. $F=n_{1}n_{2}v_{r}$

Цель состоит в том, чтобы найти правильное выражение для релятивистской относительной скорости и инвариантное выражение для падающего потока. $v_{rel}$

С нерелятивистской точки зрения это относительная скорость . Если система, в которой измеряются скорости, является системой покоя типа частицы , требуется, чтобы при установке скорости света выражение для немедленно вытекало из формулы для нормы (вторая формула) в общей конфигурации как ^[27]^{[ 28]} $v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ $1$ $v_{rel}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.$ $c=1$ $v_{rel}$

v_{rel}={\sqrt {\frac {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}}.

Формула сводится в классическом пределе к должному и дает правильный результат в остальных кадрах частиц. Относительная скорость неверно указана в большинстве, возможно, во всех книгах по физике элементарных частиц и квантовой теории поля. ^[27] Это в основном безвредно, так как если один тип частиц является стационарным или относительное движение коллинеарно, то правильный результат получается из неправильных формул. Формула неизменна, но не так явно. Его можно переписать в терминах четырехскоростей как $v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|$

v_{rel}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.

Правильное выражение для потока, опубликованное Кристианом Мёллером ^[29] в 1945 году, дает ^[30]

F=n_{1}n_{1}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.

Следует отметить, что для коллинеарных скоростей . Для того , чтобы получить явно выражение : инвариантный Лоренц пишет с , где плотность в системе покоя, для отдельных потоков частиц и поступает в ^[31] $F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}$ $J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})$ $n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}$ $n_{i}^{0}$

F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{rel}.

В литературе как величина, так и обе называются относительной скоростью. В некоторых случаях (статистическая физика и литература по темной материи) это называется скоростью Меллера , в этом случае означает относительную скорость. Истинная относительная скорость во всяком случае . ^[31] Несоответствие между и имеет значение, хотя в большинстве случаев скорости коллинеарны. На LHC угол пересечения невелик, около 300 $мкм$ рад, но на старом пересекающемся накопительном кольце в ЦЕРНе он составлял около 18 ^◦ . ^[32] ${\bar {v}}$ $v_{r}$ ${\bar {v}}$ $v_{r}$ $v_{rel}$ $v_{rel}$ $v_{r}$

См. Также [ править ]

Гиперболический закон косинусов
Бикватернион

Замечания [ править ]

^ Эти формулы следуют из инвертирования $& alpha ; V$ для $V 2$ и применяя разность двух квадратов , чтобы получить
$v 2 = c 2 (1 - α v 2) = c 2 (1 - α v) (1 + α v)$
так что
$(1 - α v) / v 2 знак равно 1 / с 2 (1 + α v) знак равно γ v / с 2 (1 + γ v)$ .
^ Обратите внимание, что $s'$ отрицательно в том смысле, в котором возникла проблема, т. Е. Излучатель с положительной скоростью стреляет быстрыми пулями в сторону наблюдателя в незаправленной системе. По соглашению $- s > V$ должно давать положительную частоту в соответствии с результатом для конечной скорости $s = - c$ . Следовательно, знак минус - это соглашение, но вполне естественное, вплоть до канонического.
Формула также может давать отрицательные частоты. Интерпретация тогда такова, что пули приближаются с отрицательной оси $x$ . Это может быть вызвано двумя причинами. Излучатель может иметь большую положительную скорость и стрелять медленными пулями. Также может быть случай, когда эмиттер имеет небольшую отрицательную скорость и стреляет быстрыми пулями. Но если излучатель имеет большую отрицательную скорость и стреляет медленными пулями, частота снова будет положительной.
Чтобы некоторые из этих комбинаций имели смысл, необходимо, чтобы излучатель стрелял пулями в течение достаточно долгого времени, в пределах того, что по оси $x$ в любой момент повсюду будут равномерно разнесенные пули.

Заметки [ править ]

^ Kleppner & Kolenkow 1978 , главы 11-14
^ a b c d Эйнштейн 1905 , См. раздел 5, «Состав скоростей».
^ Галилей 2001
^ Галилей 1954 Галилей использовал это понимание, чтобы показать, что путь груза, если смотреть с берега, будет параболой.
^ Арфкен, Джордж (2012). Университетская физика . Академическая пресса. п. 367. ISBN. 978-0-323-14202-1. Выдержка со страницы 367
^ Мермин 2005 , стр. 37
^ Ландау и Лифшиц 2002 , стр. 13
^ Kleppner & Kolenkow 1978 , стр. 457
Перейти ↑ Jackson 1999 , p. 531
^ Lerner & Trigg 1991 , стр. 1053
Перейти ↑ Friedman 2002 , pp. 1–21
^ Ландау и Лифшиц 2002 , стр. 37 Уравнение (12.6) Это выводится совершенно иначе, если рассматривать инвариантные сечения.
^ Kleppner & Kolenkow 1978 , стр. 474
^ Физо и 1851E
^ Физо 1860
^ Ландау и Лифшиц 2002 , стр. 14
^ Брэдли 1727-1728
^ Kleppner & Kolenkow 1978 , стр. 477 В справочнике скорость приближающегося излучателя принята положительной . Отсюда знаковая разница.
^ Типлер & Mosca 2008 , стр. 1328-1329
^ Mansfield & О'Салливан 2011 , стр. 491-492
^ Lerner & Trigg 1991 , стр. 259
Перейти ↑ Parker 1993 , p. 312
Перейти ↑ Jackson 1999 , p. 547
↑ Ландау и Лифшиц, 2002 , уравнение 12.6.
^ Ландау и Лифшиц 2002 , проблема стр. 38
^ Cannoni 2017 , стр. 1
^ a b Cannoni 2017 , стр. 4
^ Ландау и Лифшиц 2002
^ Мёллер 1945
^ Cannoni 2017 , стр. 8
^ a b Cannoni 2017 , стр. 13
^ Cannoni 2017 , стр. 15

Ссылки [ править ]

Каннони, Мирко (2017). «Лоренц-инвариантная относительная скорость и релятивистские двойные столкновения». Международный журнал современной физики А . 32 (2n03): 1730002. arXiv : 1605.00569 . Bibcode : 2017IJMPA..3230002C . DOI : 10.1142 / S0217751X17300022 . S2CID 119223742 - через World Scientific .
Эйнштейн, А. (1905). «Об электродинамике движущихся тел» [Zur Elektrodynamik bewegter Körper] (PDF) . Annalen der Physik . 10 (322): 891–921. Bibcode : 1905AnP ... 322..891E . DOI : 10.1002 / andp.19053221004 .
Фок, В.А. (1964). Теория пространства, времени и гравитации (2-е изд.). ISBN 978-0-08-010061-6- через ScienceDirect .
Французский, AP (1968). Специальная теория относительности . Серия вводных занятий по физике Массачусетского технологического института. WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-09793-1.
Фридман, Яаков; Скарр, Цви (2005). Физические приложения однородных шаров . Birkhäuser. С. 1–21. ISBN 978-0-8176-3339-4.
Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1. (выпускной уровень)
Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику . Лондон: Макгроу-Хилл . ISBN 978-0-07-035048-9. (вводный уровень)
Ландау, ЛД ; Лифшиц, Е.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9. (выпускной уровень)
Лернер, Р.Г.; Тригг, GL (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели СКЗ, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
Мермин, Н.Д. (2005). Пришло время: понимание теории относительности Эйнштейна . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12201-4.
Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского состава скоростей и вращении Томаса». Найденный. Phys. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL ... 5..443M . DOI : 10.1007 / BF00690425 . ISSN 0894-9875 . S2CID 122472788 .
Мёллер, К. (1945). «Общие свойства характеристической матрицы в теории элементарных частиц I» (PDF) . Д. КГЛ Данске-Виденск. Сельск. Мат.-Фыс. Medd . 23 (1).
Паркер, СП (1993). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-051400-3.
Сард, RD (1970). Релятивистская механика - специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 978-0-8053-8491-8.
Sexl, RU; Урбантке, HK (2001) [1992]. Относительность, группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц . Springer. С. 38–43. ISBN 978-3-211-83443-5.
Tipler, P .; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Фримен. С. 1328–1329. ISBN 978-1-4292-0265-7.
Унгар, AA (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы физики . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL ... 1 ... 57U . DOI : 10.1007 / BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 .

Исторический [ править ]

Брэдли, Джеймс (1727–1728). «Письмо преподобного г-на Джеймса Брэдли Сэвилиана, профессора астрономии из Оксфорда, и FRS доктору Эдмонду Халли астроному. Рег. И т. Д. С отчетом о новом обнаруженном движении неподвижных звезд» . Фил. Пер. R. Soc. (PDF). 35 (399–406): 637–661. Bibcode : 1727RSPT ... 35..637B . DOI : 10,1098 / rstl.1727.0064 .
Доплер, К. (1903) [1842], Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels [ О цветном свете двойных звезд и некоторых других звезд неба ] (на немецком языке), 2 , Прага: Abhandlungen der Königl. Бём. Gesellschaft der Wissenschaften, стр. 465–482.
Физо, Х. (1851F). "Sur les hypothèses родственники в l'éther lumineux" [Гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру ]. Comptes Rendus (на французском). 33 : 349–355.
Физо, Х. (1851E). «Гипотезы о светящемся эфире» . Философский журнал . 2 : 568–573.
Физо, Х. (1859 г.). "Sur les hypothèses родственники в l'éther lumineux" [Гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру ]. Анна. Чим. Phys. (На французском). 57 : 385–404.
Физо, Х. (1860). «О влиянии движения тела на скорость, с которой его пересекает свет» . Философский журнал . 19 : 245–260.
Галилей, Г. (2001) [1632]. Диалог о двух главных мировых системах [ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ]. Стиллман Дрейк (редактор, переводчик), Стивен Джей Гулд (редактор), Дж. Л. Хейлброн (Введение), Альберт Эйнштейн (Предисловие). Современная библиотека. ISBN 978-0-375-75766-2.
Галилей, Г. (1954) [1638]. Диалоги о двух новых науках [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Генри Крю, Альфонсо де Сальвио (переводчики). Digiread.com. ISBN 978-1-4209-3815-9.
Льюис, GN ; Толман, Р. К. (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика» . Фил. Mag . 6. 18 (106): 510–523. DOI : 10.1080 / 14786441008636725 . Версия Wikisource

Внешние ссылки [ править ]

Зоммерфельд, А. (1909). «О составе скоростей в теории относительности» [Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie]. Верх. Der DPG . 21 : 577–582.

[12] Эти формулы следуют из инвертирования $& alpha ; V$ для $V 2$ и применяя разность двух квадратов , чтобы получить
$v 2 = c 2 (1 - α v 2) = c 2 (1 - α v) (1 + α v)$
так что
$(1 - α v) / v 2 знак равно 1 / с 2 (1 + α v) знак равно γ v / с 2 (1 + γ v)$ .

[22] Обратите внимание, что $s'$ отрицательно в том смысле, в котором возникла проблема, т. Е. Излучатель с положительной скоростью стреляет быстрыми пулями в сторону наблюдателя в незаправленной системе. По соглашению $- s > V$ должно давать положительную частоту в соответствии с результатом для конечной скорости $s = - c$ . Следовательно, знак минус - это соглашение, но вполне естественное, вплоть до канонического.
Формула также может давать отрицательные частоты. Интерпретация тогда такова, что пули приближаются с отрицательной оси $x$ . Это может быть вызвано двумя причинами. Излучатель может иметь большую положительную скорость и стрелять медленными пулями. Также может быть случай, когда эмиттер имеет небольшую отрицательную скорость и стреляет быстрыми пулями. Но если излучатель имеет большую отрицательную скорость и стреляет медленными пулями, частота снова будет положительной.
Чтобы некоторые из этих комбинаций имели смысл, необходимо, чтобы излучатель стрелял пулями в течение достаточно долгого времени, в пределах того, что по оси $x$ в любой момент повсюду будут равномерно разнесенные пули.

[1] Kleppner & Kolenkow 1978 , главы 11-14

[Einstein_1905-2] Эйнштейн 1905 , См. раздел 5, «Состав скоростей».

[3] Галилей 2001

[4] Галилей 1954 Галилей использовал это понимание, чтобы показать, что путь груза, если смотреть с берега, будет параболой.

[5] Арфкен, Джордж (2012). Университетская физика . Академическая пресса. п. 367. ISBN. 978-0-323-14202-1. Выдержка со страницы 367

[6] Мермин 2005 , стр. 37

[LL-7] Ландау и Лифшиц 2002 , стр. 13

[8] Kleppner & Kolenkow 1978 , стр. 457

[9] Перейти ↑ Jackson 1999 , p. 531

[10] Lerner & Trigg 1991 , стр. 1053

[11] Перейти ↑ Friedman 2002 , pp. 1–21

[13] Ландау и Лифшиц 2002 , стр. 37 Уравнение (12.6) Это выводится совершенно иначе, если рассматривать инвариантные сечения.

[14] Kleppner & Kolenkow 1978 , стр. 474

[15] Физо и 1851E

[16] Физо 1860

[17] Ландау и Лифшиц 2002 , стр. 14

[18] Брэдли 1727-1728

[19] Kleppner & Kolenkow 1978 , стр. 477 В справочнике скорость приближающегося излучателя принята положительной . Отсюда знаковая разница.

[20] Типлер & Mosca 2008 , стр. 1328-1329

[21] Mansfield & О'Салливан 2011 , стр. 491-492

[23] Lerner & Trigg 1991 , стр. 259

[24] Перейти ↑ Parker 1993 , p. 312

[25] Перейти ↑ Jackson 1999 , p. 547

[26] Ландау и Лифшиц, 2002 , уравнение 12.6.

[27] Ландау и Лифшиц 2002 , проблема стр. 38

[28] Cannoni 2017 , стр. 1

[Cannoni_2017_4-29] Cannoni 2017 , стр. 4

[30] Ландау и Лифшиц 2002

[31] Мёллер 1945

[32] Cannoni 2017 , стр. 8

[Cannoni_2017_13-33] Cannoni 2017 , стр. 13

[34] Cannoni 2017 , стр. 15

[1]