Паутина (дифференциальная геометрия)

В математике , А веб допускает внутреннюю характеристику в терминах римановой геометрии аддитивной разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби . ^[1]^[2]

Формальное определение [ править ]

Ортогональны веб на риманова многообразия (М, г) представляет собой набор из п попарно трансверсально и ортогональных слоениями соединяемых подмногообразиям коразмерности 1 и где п обозначает размерность из М . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = ({\ mathcal {S}} ^ {1}, \ dots, {\ mathcal {S}} ^ {n})}$

Обратите внимание, что два подмногообразия коразмерности 1 ортогональны, если их нормальные векторы ортогональны, а в неопределенной метрической ортогональности не влечет трансверсальность.

Альтернативное определение [ править ]

Принимая во внимание гладкое многообразие размерности п , ортогональны веб (также называется ортогональной сетки или сетки Риччи ) на риманова многообразия (М, г) представляет собой набор ^[3] из п попарно трансверсально и ортогональных слоениями соединяемых подмногообразиям размерности 1 . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = ({\ mathcal {C}} ^ {1}, \ dots, {\ mathcal {C}} ^ {n})}$

Замечание [ править ]

Поскольку векторные поля можно визуализировать как линии тока стационарного потока или как силовые линии Фарадея, неисчезающее векторное поле в пространстве порождает заполняющую пространство систему линий через каждую точку, известную математикам как конгруэнтность (т. Е. локальное слоение ). Видение Риччи наполнило n -мерное многообразие Римана n конгруэнциями, ортогональными друг другу, то есть локальной ортогональной сеткой .

Дифференциальная геометрия полотен [ править ]

Систематическое изучение паутины было начато Блашке в 1930-х годах. Он распространил тот же теоретико-групповой подход на веб-геометрию.

Классическое определение [ править ]

Пусть - дифференцируемое многообразие размерности N = nr . Д - веб - Ш (д, п, г) из коразмерности г в открытом множестве представляет собой набор д слоений коразмерности г , которые находятся в общем положении. ${\ displaystyle M = X ^ {nr}}$ ${\ displaystyle D \ subset X ^ {nr}}$

В обозначении W (d, n, r) число d - это количество слоений, образующих ткань, r - коразмерность ткани, а n - отношение размерности nr многообразия M и коразмерности ткани. Конечно, можно определить D - полотно коразмерности г без г в качестве делителя размерности окружающего коллектора.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ С. Benenti (1997). «Внутренняя характеристика разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби». J. Math. Phys . 38 (12): 6578–6602. DOI : 10.1063 / 1.532226 .
^ Chanu, Клаудия; Растелли, Джованни (2007). «Собственные значения тензоров Киллинга и разделимых тканей на римановых и псевдоримановых многообразиях». СИГМА . 3 : 021, 21 стр. arXiv : nlin / 0612042 . DOI : 10.3842 / sigma.2007.021 .
^ Г. Риччи-Курбастро (1896). "Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque". Mem. В соотв. Lincei . 2 (5): 276–322. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )

Ссылки [ править ]

Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.
Dillen, FJE; Верстрален, LCA (2000). Справочник по дифференциальной геометрии . Том 1. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-82240-2. |volume= has extra text (help)

Эта статья, посвященная дифференциальной геометрии, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] С. Benenti (1997). «Внутренняя характеристика разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби». J. Math. Phys . 38 (12): 6578–6602. DOI : 10.1063 / 1.532226 .

[2] Chanu, Клаудия; Растелли, Джованни (2007). «Собственные значения тензоров Киллинга и разделимых тканей на римановых и псевдоримановых многообразиях». СИГМА . 3 : 021, 21 стр. arXiv : nlin / 0612042 . DOI : 10.3842 / sigma.2007.021 .

[3] Г. Риччи-Курбастро (1896). "Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque". Mem. В соотв. Lincei . 2 (5): 276–322. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )

[1]