Параметры импеданса

Параметры импеданса или Z-параметры (элементы матрицы импеданса или Z-матрицы ) - это свойства, используемые в электротехнике , электронной технике и проектировании систем связи для описания электрического поведения линейных электрических сетей . Они также используются для описания слабосигнального ( линеаризованного ) отклика нелинейных сетей. Они являются членами семейства аналогичных параметров, используемых в электронной технике, другими примерами являются: S-параметры , ^[1] Y-параметры , ^[2] H-параметры , T-параметры или ABCD-параметры . ^[3]^[4]

Z-параметры также известны как параметры импеданса разомкнутой цепи, поскольку они рассчитываются в условиях разомкнутой цепи . т.е. I _x = 0, где x = 1,2 относятся к входным и выходным токам, протекающим через порты ( в данном случае двухпортовой сети ) соответственно.

Матрица Z-параметров [ править ]

Матрица Z-параметров описывает поведение любой линейной электрической сети, которую можно рассматривать как черный ящик с несколькими портами . Порт в этом контексте является парой электрических выводов , несущих равные и противоположные токи в и из-сети, и имеющие особое напряжениемежду ними. Z-матрица не дает никакой информации о поведении сети, когда токи на каком-либо порте не сбалансированы таким образом (если это возможно), а также не дает никакой информации о напряжении между терминалами, не принадлежащими одному и тому же порту. Обычно предполагается, что каждое внешнее подключение к сети осуществляется между терминалами только одного порта, поэтому эти ограничения уместны.

Для определения общей многопортовой сети предполагается, что каждому из портов назначено целое число n в диапазоне от 1 до N , где N - общее количество портов. Для порта п , ассоциированный определение Z-параметр в терминах тока и напряжения порта порта, и соответственно. ${\ Displaystyle I_ {п} \,}$ ${\ Displaystyle V_ {п} \,}$

Для всех портов напряжения могут быть определены с помощью матрицы Z-параметров, а токи - с помощью следующего матричного уравнения:

{\ Displaystyle V = ZI \,}

где Z - матрица размера N × N, элементы которой могут быть проиндексированы с использованием обычных матричных обозначений. В общем, элементы матрицы Z-параметров являются комплексными числами и функциями частоты. Для однопортовой сети Z-матрица сводится к одному элементу, являющемуся обычным импедансом, измеренным между двумя терминалами. Z-параметры также известны как параметры разомкнутой цепи, потому что они измеряются или вычисляются путем подачи тока на один порт и определения результирующих напряжений на всех портах, в то время как неиспользуемые порты завершаются в разомкнутых цепях.

Двухпортовые сети [ править ]

Схема замещения Z-параметров двухпортовой сети.

Схема замещения Z-параметров ответной двухпортовой сети.

Матрица Z-параметров для двухпортовой сети , вероятно, является наиболее распространенной. В этом случае соотношение между токами портов, напряжениями портов и матрицей Z-параметров определяется следующим образом:

{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}

.

где

Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}

Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}

Для общего случая N -портовой сети

Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}

Отношения импеданса [ править ]

Входное сопротивление двухпортовой сети определяется выражением:

Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}

где Z _L - полное сопротивление нагрузки, подключенной ко второму порту.

Точно так же выходной импеданс определяется по формуле:

Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}

где Z _S - полное сопротивление источника, подключенного к первому порту.

Связь с S-параметрами [ править ]

Z-параметры сети связаны с его S-параметров с помощью ^[5]

{\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}

и ^[5]

{\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}

где - единичная матрица , - диагональная матрица, имеющая квадратный корень из характеристического импеданса на каждом порте в качестве ненулевых элементов, $1_{\!N}$ ${\sqrt {z}}$

${\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}$

и - соответствующая диагональная матрица квадратных корней из характеристических проводимостей . В этих выражениях матрицы, представленные факторами в квадратных скобках, коммутируют, и поэтому, как показано выше, их можно записывать в любом порядке. ^[5]^{[примечание 1]} ${\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}$

Два порта [ править ]

В частном случае двухпортовой сети с одинаковым характеристическим сопротивлением на каждом порте приведенные выше выражения сводятся к $z_{01}=z_{02}=Z_{0}$

Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,

Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,

Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,

Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,

Где

\Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,

Двухпортовые S-параметры могут быть получены из эквивалентных двухпортовых Z-параметров с помощью следующих выражений ^[6]

S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }

S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,

S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,

S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }

где

\Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,

В приведенных выше выражениях обычно используются комплексные числа для и . Обратите внимание, что значение может стать 0 для определенных значений, поэтому деление на в вычислениях может привести к делению на 0. $S_{ij}\,$ $Z_{ij}\,$ $\Delta \,$ $Z_{ij}\,$ $\Delta \,$ $S_{ij}\,$

Связь с Y-параметрами [ править ]

Преобразование из Y-параметров в Z-параметры намного проще, поскольку матрица Z-параметров является просто обратной матрицей Y-параметров. Для двухпортового:

Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,

Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,

Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,

Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,

где

\Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,

- определитель матрицы Y-параметра.

Заметки [ править ]

^ Любая квадратная матрица коммутирует сама с собой и с единичной матрицей, и если две матрицы A и B коммутируют, то коммутируют A и B⁻¹ (так как AB⁻¹ = B⁻¹BAB⁻¹ = B⁻¹ABB⁻¹ = В⁻¹А )

Ссылки [ править ]

^ Дэвид М. Позар (2004-02-05). Микроволновая техника . Вайли. С. 170–174. ISBN 978-0-471-44878-5.
↑ Дэвид М. Позар, 2005 (указ. Соч.); С. 170-174.
↑ Дэвид М. Позар, 2005 (указ. Соч.); С. 183-186.
↑ AH Morton, Advanced Electrical Engineering , Pitman Publishing Ltd., 1985; стр. 33-72, ISBN 0-273-40172-6 .
^ a b c Рассер, Питер (2003). Электромагнетизм, СВЧ-схемы и конструкции антенн для техники связи . Артек Хаус. ISBN 1-58053-532-1.
↑ Саймон Рамо; Джон Р. Виннери; Теодор Ван Дузер (1994-02-09). Поля и волны в коммуникационной электронике . Вайли. С. 537–541. ISBN 978-0-471-58551-0.

Библиография [ править ]

Дэвид М. Позар (2004-02-05). Микроволновая техника . Вайли. ISBN 978-0-471-44878-5.
Саймон Рамо; Джон Р. Виннери; Теодор Ван Дузер (1994-02-09). Поля и волны в коммуникационной электронике . Вайли. ISBN 978-0-471-58551-0.

См. Также [ править ]

Параметры рассеяния
Параметры допуска
Двухпортовая сеть

[6] Любая квадратная матрица коммутирует сама с собой и с единичной матрицей, и если две матрицы A и B коммутируют, то коммутируют A и B⁻¹ (так как AB⁻¹ = B⁻¹BAB⁻¹ = B⁻¹ABB⁻¹ = В⁻¹А )

[1] Дэвид М. Позар (2004-02-05). Микроволновая техника . Вайли. С. 170–174. ISBN 978-0-471-44878-5.

[2] Дэвид М. Позар, 2005 (указ. Соч.); С. 170-174.

[3] Дэвид М. Позар, 2005 (указ. Соч.); С. 183-186.

[4] AH Morton, Advanced Electrical Engineering , Pitman Publishing Ltd., 1985; стр. 33-72, ISBN 0-273-40172-6 .

[Russer-5] Рассер, Питер (2003). Электромагнетизм, СВЧ-схемы и конструкции антенн для техники связи . Артек Хаус. ISBN 1-58053-532-1.

[7] Саймон Рамо; Джон Р. Виннери; Теодор Ван Дузер (1994-02-09). Поля и волны в коммуникационной электронике . Вайли. С. 537–541. ISBN 978-0-471-58551-0.

[1]