Взаимность (электрические сети)

Взаимность в электрических сетях - это свойство цепи, которая связывает напряжения и токи в двух точках. Теорема взаимности утверждает, что ток в одной точке цепи из-за напряжения во второй точке такой же, как ток во второй точке из-за того же напряжения в первой. Теорема взаимности верна почти для всех пассивных сетей. Теорема взаимности - это особенность более общего принципа взаимности в электромагнетизме .

Описание [ править ]

Если ток , , вводится в порт A выдает напряжение , , на порт B и вводили в порт B производит на порт А, то сеть называется взаимными. Точно так же взаимность может быть определена двойственной ситуацией; прикладывая напряжение, в порту A, генерируя ток в порту B, и в порте B, генерируя ток в порту A. ^[1] В общем, пассивные сети являются взаимными. Любая сеть, полностью состоящая из идеальных емкостей , индуктивностей (включая взаимные индуктивности ) и сопротивлений.${\ displaystyle I _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle I _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle I _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle I _ {\ text {B}}}$, то есть элементы, которые являются линейными и двусторонними , будут взаимными. ^[2] Однако пассивные компоненты, которые не являются взаимными, действительно существуют. Любой компонент, содержащий ферромагнитный материал, скорее всего, не будет взаимным. Примеры пассивных компонентов, специально предназначенных для невзаимодействия, включают циркуляторы и изоляторы . ^[3]

Функция передачи от взаимной сети обладает тем свойством , что она является симметричной относительно главной диагонали , если выражена в терминах Z-параметр , у-параметр , или втор-параметры матрица. Несимметричная матрица подразумевает невзаимную сеть. Симметричная матрица не означает симметричную сеть . ^[4]

В некоторых параметризациях сетей репрезентативная матрица не является симметричной для взаимных сетей. Обычными примерами являются h-параметры и ABCD-параметры , но все они имеют некоторые другие условия взаимности, которые можно вычислить из параметров. Для h-параметров условие равно, а для параметров ABCD - . Эти представления смешивают напряжения и токи в одном векторе-столбце и, следовательно, не имеют даже согласующих единиц в транспонированных элементах. ^[5]${\ displaystyle h_ {12} = - h_ {21}}$${\ Displaystyle AD-BC = 1}$

Пример [ править ]

Пример взаимности можно продемонстрировать с помощью асимметричного резистивного аттенюатора . Асимметричная сеть выбрана в качестве примера, потому что симметричная сеть, очевидно, взаимна.

Подача шести ампер в порт 1 этой сети дает 24 вольта на порте 2.

Подача шести ампер в порт 2 дает 24 вольта на порту 1.

Следовательно, сеть взаимна. В этом примере порт, в который не подается ток, остается разомкнутой. Это потому, что генератор тока, использующий нулевой ток, является разомкнутой цепью. Если же, с другой стороны, нужно приложить напряжения и измерить результирующий ток, то порт, на который не подается напряжение, будет закорочен. Это связано с тем, что генератор напряжения, подающий нулевое напряжение, представляет собой короткое замыкание.

Доказательство [ править ]

Взаимность электрических сетей - это частный случай лоренцевой взаимности , но она также может быть доказана более непосредственно из сетевых теорем. Это доказательство показывает взаимность для сети с двумя узлами с точки зрения ее матрицы проводимости , а затем показывает взаимность для сети с произвольным числом узлов с помощью аргумента индукции . Линейная сеть может быть представлена ​​как набор линейных уравнений посредством узлового анализа . Эти уравнения могут быть выражены в виде матрицы проводимости ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\\vdots \\I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\cdots &Y_{1n}\\Y_{21}&Y_{22}&\cdots &Y_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\cdots &Y_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\\vdots \\V_{n}\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle I_{k}}$ток, вводимый в узел k генератором

${\displaystyle V_{k}}$напряжение в узле k

${\displaystyle Y_{jk}}$( j ≠ k ) - отрицательная проводимость, подключенная между узлами j и k

${\displaystyle Y_{kk}}$- это сумма проводников, подключенных к узлу k .

Если мы дополнительно потребуем, чтобы сеть состояла из пассивных двусторонних элементов, тогда

${\displaystyle Y_{jk}=Y_{kj}}$

поскольку проводимость, подключенная между узлами j и k, является тем же элементом, что и проводимость, подключенная между узлами k и j . Таким образом, матрица симметрична. ^[7] В случае, когда матрица сводится к,${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$.

Из чего видно, что,

${\displaystyle Y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}}$ а также

${\displaystyle Y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}\ .}$

Но с тех пор${\displaystyle Y_{12}=Y_{21}}$

${\displaystyle \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}}$

что является синонимом условия взаимности. Другими словами, отношение тока на одном порте к напряжению на другом является таким же соотношением, если управляемые и измеряемые порты меняются местами. Таким образом, взаимность доказана для случая . ^[8]${\displaystyle n=2}$

В случае матрицы произвольного размера порядок матрицы может быть уменьшен путем исключения узлов . После удаления s- го узла новая матрица проводимости будет иметь вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(Y_{11}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{1s})&(Y_{12}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{1s})&(Y_{13}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{1s})&\cdots \\(Y_{21}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{2s})&(Y_{22}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{2s})&(Y_{23}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{2s})&\cdots \\(Y_{31}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{3s})&(Y_{32}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{3s})&(Y_{33}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{3s})&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}}}$

Видно, что эта новая матрица также симметрична. Узлы можно продолжать устранять таким образом, пока не останется только симметричная матрица 2 × 2, включающая два интересующих узла. Поскольку эта матрица симметрична, доказано, что взаимность применяется к матрице произвольного размера, когда один узел управляется напряжением и током, измеренными в другом. Подобный процесс с использованием матрицы импеданса из анализа сетки демонстрирует взаимность, когда один узел управляется током, а напряжение измеряется на другом. ^[9]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бакши, UA; Бакши, А.В., Электрические сети , Технические публикации, 2008 ISBN  8184314647 .
• Гийемен, Эрнст А., Введение в теорию цепей , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1953 OCLC 535111 
• Кумар, К.С. Суреш, Электрические цепи и сети , Pearson Education India, 2008 ISBN 8131713903 . 
• Харрис, Винсент Г., "Микроволновые ферриты и приложения", гл. 14 дюймов, Маладил Т. Себастьян, Рик Убич, Хели Янтунен, Материалы и приложения для микроволновых печей , John Wiley & Sons, 2017 ISBN 1119208521 . 
• Чжан, Кэцянь; Ли, Децзе, Электромагнитная теория для микроволн и оптоэлектроники , Springer Science & Business Media, 2013 ISBN 3662035537 .