Зак преобразовать

В математике , то преобразование Зак ^{[1] [2]} определенная операция , которая принимает в качестве входных данных функцию одной переменной и производит в качестве выходных данных функции двух переменных. Выходная функция называется преобразованием Зака ​​входной функции. Преобразование определяются как бесконечные серии , в которой каждый член является продуктом дилатации в виде перевода с помощью целого числа функции и экспоненциальной функции . В приложениях Зака преобразования , чтобы обработка сигнала функция ввода представляет собой сигнал , и преобразование будет представлять собой смешанный время - частотапредставление сигнала. Сигнал может быть действительным или комплексным , заданным на непрерывном наборе (например, действительные числа) или дискретном наборе (например, целых числах или конечном подмножестве целых чисел). Преобразование Зака ​​является обобщением дискретного преобразования Фурье . ^{[1] [2]}

Преобразование Зака ​​было открыто несколькими людьми в разных областях и называлось разными именами. Оно было названо «отображением Гельфанда», потому что И. М. Гельфанд ввел его в свою работу по разложению по собственным функциям . Это преобразование было независимо открыто заново Джошуа Заком в 1967 году, который назвал его «представлением kq». Похоже, что среди экспертов в этой области есть общее согласие называть это преобразованием Зака, поскольку Зак был первым, кто систематически изучал это преобразование в более общих условиях и признал его полезность. ^{[1] [2]}

Преобразование Зака ​​в непрерывном времени: определение [ править ]

При определении преобразования Зака ​​в непрерывном времени входная функция является функцией действительной переменной. Итак, пусть f ( t ) - функция действительной переменной t . Преобразование Зака ​​в непрерывном времени функции f ( t ) является функцией двух действительных переменных, одна из которых равна t . Другая переменная может быть обозначена w . Преобразование Зака ​​в непрерывном времени определяется по-разному.

Определение 1 [ править ]

Пусть a - положительная постоянная. Преобразование Зака ​​функции f ( t ), обозначаемое Z _a [ f ], является функцией t и w, определенной формулой ^[1]

${\ displaystyle Z_ {a} [f] (t, w) = {\ sqrt {a}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (at + ak) e ^ {- 2 \ pi kwi}}$.

Определение 2 [ править ]

Частный случай определения 1, полученный путем взятия a = 1, иногда используется в качестве определения преобразования Зака. ^[2] В этом частном случае преобразование Зака ​​функции f ( t ) обозначается Z [ f ].

${\ Displaystyle Z [е] (т, ш) = \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} е (т + к) е ^ {- 2 \ пи kwi}}$.

Определение 3 [ править ]

Обозначение Z [ f ] используется для обозначения другой формы преобразования Зака. В этой форме преобразование Зака ​​функции f ( t ) определяется следующим образом:

${\ Displaystyle Z [е] (т, \ ню) = \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} е (т + к) е ^ {- к \ ню я}}$.

Определение 4 [ править ]

Пусть T - положительная постоянная. Преобразование Зака ​​функции f ( t ), обозначаемое Z _T [ f ], является функцией t и w, определенной формулой ^[2]

${\ Displaystyle Z_ {T} [е] (t, w) = {\ sqrt {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (t + kT) e ^ {- 2 \ pi kwTi}}$.

Здесь т и ш предполагаются удовлетворяют условиям 0 ≤ т ≤ Т и 0 ≤ W ≤ 1 / T .

Пример [ править ]

Преобразование Зака ​​функции

${\ displaystyle \ phi (t) = {\ begin {cases} 1, & 0 \ leq t <1 \\ 0, & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

дан кем-то

${\displaystyle Z[\phi ](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}$

где обозначает наименьшее целое число не меньше ( функция ceil ).${\displaystyle \lceil -t\rceil }$${\displaystyle -t}$

Свойства преобразования Зака [ править ]

В дальнейшем будет предполагаться, что преобразование Зака ​​соответствует определению 2.

1. Линейность

Пусть a и b - любые действительные или комплексные числа. потом

${\displaystyle Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}$

2. Периодичность

${\displaystyle Z[f](t,w+1)=Z[f](t,w)}$

3. Квазипериодичность.

${\displaystyle Z[f](t+1,w)=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}$

4. Спряжение

${\displaystyle Z[{\bar {f}}](t,w)={\overline {Z[f]}}(t,-w)}$

5. Симметрия

Если f ( t ) четно, то${\displaystyle Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)}$

Если f ( t ) нечетное, то${\displaystyle Z[f](t,w)=-Z[f](-t,-w)}$

6. Свертка

Обозначим через свертку по переменной t .${\displaystyle \star }$

${\displaystyle Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}$

Формула обращения [ править ]

Учитывая преобразование Зака ​​функции, функция может быть восстановлена ​​по следующей формуле:

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{1}Z[f](t,w)\,dw.}$

Дискретное преобразование Зака: определение [ править ]

При определении дискретного преобразования Зака ​​входная функция является функцией целочисленной переменной. Итак, пусть f ( n ) является функцией целочисленной переменной n ( n принимает все положительные, нулевые и отрицательные целые числа в качестве значений). Дискретное преобразование Зака ​​функции f ( n ) является функцией двух вещественных переменных, одна из которых является целочисленной переменной n . Другая переменная - это действительная переменная, которую можно обозначить буквой w . Дискретное преобразование Зака ​​также определяется по-разному. Однако ниже дается только одно из определений.

Определение [ править ]

Дискретное преобразование Зака ​​функции f ( n ), где n - целочисленная переменная, обозначаемая Z [ f ], определяется как

${\displaystyle Z[f](n,w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}$

Формула обращения [ править ]

Учитывая дискретное преобразование функции f ( n ), функция может быть восстановлена ​​по следующей формуле:

${\displaystyle f(n)=\int _{0}^{1}Z[f](n,w)\,dw.}$

Приложения [ править ]

Преобразование Зака ​​успешно использовалось в физике в квантовой теории поля, ^[3] в электротехнике при частотно-временном представлении сигналов и при передаче цифровых данных. Преобразование Зака ​​также имеет приложения в математике. Например, он использовался в проблеме представления Габора.

Ссылки [ править ]