Лемма Зарисского

В алгебре , лемма Зариского , доказана Зарисский  ( 1947 ) утверждает , что если поле K является конечно порожден как ассоциативная алгебра над другим полем к , то К является конечным расширением поля из к (то есть, это тоже конечно генерируется как векторное пространство ).

Важное применением леммы является доказательством слабой формы нулей Гильберта : ^[1] , если я являюсь собственным идеалом из ( к алгебраически замкнутое полю ), то я имею нуль; то есть, существует точка х в такой , что для всех е в I . (Доказательство: заменив I на максимальный идеал , мы можем считать его максимальным. Пусть и - естественная сюръекция. Поскольку k алгебраически замкнуто, по лемме, а затем для любого ,${\ Displaystyle к [т_ {1}, ..., т_ {п}]}$ ${\ Displaystyle к ^ {п}}$${\ displaystyle f (x) = 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A=k[t_{1},...,t_{n}]}$${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}=k}$${\displaystyle f\in {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle f(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))=\phi (f(t_{1},\cdots ,t_{n}))=0}$;

то есть это ноль .)${\displaystyle x=(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Лемму также можно понять со следующей точки зрения. В общем, кольцо R является кольцом Джекобсона тогда и только тогда , когда каждый конечно порожденный R - алгебра , что является полем конечна над R . ^[2] Таким образом, лемма следует из того, что поле является кольцом Джекобсона.

Доказательство [ править ]

Два прямых доказательства, одно из которых принадлежит Зарисскому, даны в Атье – Макдональде. ^{[3] [4]} Оригинальное доказательство Зарисского см. В исходной статье. ^[5] Другое прямое доказательство на языке колец Джекобсона приводится ниже. Лемма также является следствием леммы Нётер о нормализации . Действительно, по лемме о нормализации K - конечный модуль над кольцом многочленов, где - элементы K , алгебраически независимые над k . Но поскольку K имеет нулевую размерность Крулля и целочисленное расширение кольца${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$(например, конечное расширение кольца) сохраняет размерность Крулля, кольцо многочленов должно иметь размерность ноль; то есть .${\displaystyle d=0}$

Следующая характеризация кольца Джекобсона содержит лемму Зарисского как частный случай. Напомним, что кольцо является кольцом Джекобсона, если каждый первичный идеал является пересечением максимальных идеалов. (Когда A - поле, A - кольцо Джекобсона, и следующая теорема является в точности леммой Зарисского.)

Доказательство: 2. 1 .: Позвольте быть простым идеалом А и множества . Нам нужно показать, что радикал Джекобсона группы B равен нулю. Для достижения этой цели, пусть F ненулевой элемент B . Позвольте быть максимальным идеалом локализации . Тогда есть поле, которое является конечно порожденной A -алгеброй и поэтому конечно над A по предположению; таким образом, оно конечно над и, следовательно, над подкольцом где . По целостности - максимальный идеал, не содержащий f .${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle B[f^{-1}]}$${\displaystyle B[f^{-1}]/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B/{\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {m}}\cap B}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

1. 2 .: Поскольку фактор-кольцо кольца Джекобсона является кольцом Джекобсона, мы можем предполагать, что B содержит A как подкольцо. Тогда утверждение является следствием следующего алгебраического факта:${\displaystyle \Rightarrow }$

(*) Пусть - такие области целостности, что B конечно порождена как A -алгебра. Тогда существует ненулевое a в A такое, что любой гомоморфизм колец , K - алгебраически замкнутое поле, с продолжается на .${\displaystyle B\supset A}$${\displaystyle \phi :A\to K}$${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$

Действительно, выберем максимальный идеал из не содержащих . Написав K для некоторого алгебраического замыкания , каноническое отображение расширяется до . Поскольку B - поле, инъективно, и поэтому B алгебраичен (таким образом, конечен алгебраичен) над . Теперь докажем (*). Если B содержит элемент, трансцендентный над A , то он содержит кольцо многочленов над A, до которого продолжается φ (без требования на a ), и поэтому мы можем считать, что B алгебраический над A (скажем, по лемме Цорна). Позволять${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}\hookrightarrow K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$- образующие B как A -алгебры. Тогда каждое удовлетворяет соотношению${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle a_{i0}x_{i}^{n}+a_{i1}x_{i}^{n-1}+\dots +a_{in}=0,\,\,a_{ij}\in A}$

где n зависит от i и . Установить . Тогда цела над . Теперь, учитывая , что мы сначала расширим его до , установив . Далее пусть . По цельности, для некоторого максимального идеала в . Затем расширяется . Ограничьте последнее отображение до B, чтобы закончить доказательство.${\displaystyle a_{i0}\neq 0}$${\displaystyle a=a_{10}a_{20}\dots a_{r0}}$${\displaystyle B[a^{-1}]}$${\displaystyle A[a^{-1}]}$${\displaystyle \phi :A\to K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to K}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(a^{-1})=\phi (a)^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ker} {\widetilde {\phi }}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap A[a^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle B[a^{-1}]}$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to A[a^{-1}]/{\mathfrak {m}}\to K}$${\displaystyle B[a^{-1}]\to B[a^{-1}]/{\mathfrak {n}}\to K}$${\displaystyle \square }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Джеймс Милн , алгебраическая геометрия
• Зариски, Оскар (1947), "Новое доказательство Nullstellensatz Гильберта" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 53 : 362-368, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1947-08801-7 , МР  0020075