Многочлены Цернике

Первые 21 многочлен Цернике, упорядоченные по вертикали по радиальному градусу и по горизонтали по азимутальному градусу

В математике , в Зернике полиномы являются последовательность из полиномов , которые ортогональны на единичном круге . Названные в честь оптического физика Фрица Зернике , лауреата Нобелевской премии по физике 1953 года и изобретателя фазово-контрастной микроскопии , они играют важную роль в различных областях оптики, таких как лучевая оптика и визуализация. ^{[1] [2]}

Определения [ править ]

Есть четные и нечетные многочлены Цернике. Четные многочлены Цернике определяются как

${\ Displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ cos (m \, \ varphi) \!}$

(четная функция по азимутальному углу ), а нечетные полиномы Цернике определяются как${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ sin (m \, \ varphi), \!}$

(нечетная функция по азимутальному углу ), где m и n - неотрицательные целые числа с n  ≥  m ≥ 0 ( m = 0 только для четного варианта), - азимутальный угол , ρ - радиальное расстояние , и - радиальные многочлены, определенные ниже . Многочлены Цернике имеют свойство ограничиваться диапазоном от -1 до +1, т . Е. Радиальные многочлены определяются как${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq \ Rho \ Leq 1}$${\ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$${\ Displaystyle | Z_ {п} ^ {m} (\ rho, \ varphi) | \ leq 1}$${\ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$

${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ tfrac {nm} {2}} {\ frac {(-1) ^ {k} \, ( nk)!} {k! \ left ({\ tfrac {n + m} {2}} - k \ right)! \ left ({\ tfrac {nm} {2}} - k \ right)!}} \ ; \ rho ^ {n-2k}}$

для четного числа n - m и 0 для нечетного числа n - m . Особая ценность

${\ Displaystyle R_ {n} ^ {m} (1) = 1.}$

Другие представления [ править ]

Переписывая отношения факториалов в радиальной части как произведения биномов, мы видим, что коэффициенты являются целыми числами:

${\ Displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ tfrac {nm} {2}} (- 1) ^ {k} {\ binom {nk} { k}} {\ binom {n-2k} {{\ tfrac {nm} {2}} - k}} \ rho ^ {n-2k}}$.

Обозначение как завершающие гипергеометрические функции Гаусса полезно для выявления рекуррентных явлений, демонстрации того, что они являются частными случаями многочленов Якоби , для записи дифференциальных уравнений и т. Д .:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

для n - m даже.

Фактор в радиальном полиноме может быть расширен в Bernstein основе из для четного или раза функции для нечетного в диапазоне . Следовательно, радиальный многочлен может быть выражен конечным числом многочленов Бернштейна с рациональными коэффициентами:${\displaystyle \rho ^{n-2k}}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$${\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}$

Последовательные индексы Нолла [ править ]

Приложения часто включают линейную алгебру, где интегралы по произведениям многочленов Цернике и некоторые другие факторы создают матричные элементы. Чтобы пронумеровать строки и столбцы этих матриц одним индексом, Нолл ввел обычное отображение двух индексов n и m ' в один индекс j . ^[3] Таблица этой ассоциации начинается следующим образом (последовательность A176988 в OEIS ).${\displaystyle Z_{n}^{m'}\rightarrow Z_{j}}$${\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|{m'}|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&{m'}>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&{m'}<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&{m'}\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&{m'}\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}$

Правило следующее.

• Четные многочлены Цернике Z (с четными азимутальными частями , где as - положительное число) получают четные индексы j.${\displaystyle \cos(m\varphi )}$${\displaystyle m=m'}$${\displaystyle m'}$
• Нечетный Z получает (с нечетными азимутальными частями , где as - отрицательное число) нечетные индексы j .${\displaystyle \sin(m\varphi )}$${\displaystyle m=\left\vert {m'}\right\vert }$${\displaystyle m'}$
• В пределах данного n меньшие значения | м | получить нижний  j .

Стандартные индексы OSA / ANSI [ править ]

Одноиндексные полиномы Цернике OSA ^[4] и ANSI с использованием:

${\displaystyle j={\frac {n(n+2)+{m'}}{2}}}$

Индексы Fringe / Университета Аризоны [ править ]

Схема индексации Fringe используется в коммерческом программном обеспечении для проектирования оптики и оптических испытаниях. ^{[5] [6]}

${\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|{m'}|}{2}}\right)^{2}-2|{m'}|+{\frac {1-\operatorname {sgn} {m'}}{2}}}$

где - знак или сигнум-функция . Первые 20 дополнительных номеров перечислены ниже.${\displaystyle \operatorname {sgn} m}$

Индексы Вайанта [ править ]

Джеймс С. Вайант использует схему индексации "Fringe", за исключением того, что она начинается с 0 вместо 1 (вычитая 1). ^[7] Этот метод обычно используется, включая программное обеспечение для анализа интерферограмм в интерферометрах Zygo и программное обеспечение с открытым исходным кодом DFTFringe.

Свойства [ править ]

Ортогональность [ править ]

Ортогональность в радиальной части составляет ^[8]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}}$

или же

${\displaystyle {\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}$

Ортогональность в угловой части представлена элементарным

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

где (иногда называемый фактором Неймана, потому что он часто появляется вместе с функциями Бесселя) определяется как 2, если и 1, если . Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по отношению к обоим индексам при интегрировании по единичному кругу,${\displaystyle \epsilon _{m}}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m\neq 0}$

${\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},}$

где - якобиан круговой системы координат, и где и оба четные.${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$${\displaystyle n-m}$${\displaystyle n'-m'}$

Преобразование Зернике [ править ]

Любое достаточно гладкое вещественнозначное фазовое поле над единичным кругом может быть представлено через его коэффициенты Цернике (нечетные и четные), точно так же, как периодические функции находят ортогональное представление с помощью ряда Фурье . У нас есть${\displaystyle G(\rho ,\varphi )}$

${\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}$

где коэффициенты могут быть рассчитаны с использованием внутренних произведений . В пространстве функций на единичном диске есть внутренний продукт, определяемый формулой${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}$

Тогда коэффициенты Цернике можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы, можно использовать известные значения фазовой функции G на круговой сетке для формирования системы уравнений. Фазовая функция извлекается с помощью взвешенного произведения с неизвестными коэффициентами с (известными значениями) полинома Цернике по единичной сетке. Следовательно, коэффициенты также могут быть найдены путем решения линейной системы, например, путем обращения матрицы. Быстрые алгоритмы для вычисления прямого и обратного преобразования Цернике используют свойства симметрии тригонометрических функций, разделимость радиальной и азимутальной частей полиномов Цернике и их вращательную симметрию.

Симметрии [ править ]

Четность относительно отражения по оси x равна

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,-\varphi ).}$

Четность относительно отражения точки в центре координат равна

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi +\pi ),}$

где также можно было бы написать, потому что это даже для соответствующих ненулевых значений. Радиальные полиномы также бывают четными или нечетными, в зависимости от порядка n или m :${\displaystyle (-1)^{m}}$${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle n-m}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}$

Периодичность тригонометрических функций подразумевает инвариантность при вращении вокруг центра на кратные радианы:${\displaystyle 2\pi /m}$

${\displaystyle Z_{n}^{m}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{m}}\right)=Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}$

Отношения повторения [ править ]

Многочлены Цернике удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое не зависит ни от степени, ни от азимутального порядка радиальных многочленов: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}$

Из определения видно, что и . Следующее трехчленное рекуррентное соотношение ^[10] позволяет вычислить все остальные :${\displaystyle R_{n}^{m}}$${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}$${\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

Приведенное выше соотношение особенно полезно, поскольку производная от может быть вычислена из двух радиальных многочленов Цернике смежной степени: ^[10]${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}$

Примеры [ править ]

Радиальные многочлены [ править ]

Первые несколько радиальных многочленов:

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}$

Полиномы Цернике [ править ]

Первые несколько режимов Цернике с одноиндексными OSA / ANSI и Noll показаны ниже. Они нормированы так , что: .${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi }$

	Индекс OSA / ANSI ( )${\displaystyle j}$	Индекс Нолля ( )${\displaystyle j}$	Индекс Вайанта ( )${\displaystyle j}$	Индекс Fringe / UA ( )${\displaystyle j}$	Радиальная степень ( )${\displaystyle n}$	Азимутальная степень ( )${\displaystyle m}$	${\displaystyle Z_{j}}$	Классическое название
${\displaystyle Z_{0}^{0}}$	0 0	0 1	0 0	0 1	0	0 0	${\displaystyle 1}$	Поршень (см. Распределение полукругов Вигнера )
${\displaystyle Z_{1}^{-1}}$	0 1	0 3	0 2	0 3	1	−1	${\displaystyle 2\rho \sin \phi }$	Наклон (Y-наклон, вертикальный наклон)
${\displaystyle Z_{1}^{1}}$	0 2	0 2	0 1	0 2	1	+1	${\displaystyle 2\rho \cos \phi }$	Наконечник (X-Tilt, горизонтальный наклон)
${\displaystyle Z_{2}^{-2}}$	0 3	0 5	0 5	0 6	2	−2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\phi }$	Косой астигматизм
${\displaystyle Z_{2}^{0}}$	0 4	0 4	0 3	0 4	2	0 0	${\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}$	Расфокусировка (продольное положение)
${\displaystyle Z_{2}^{2}}$	0 5	0 6	0 4	0 5	2	+2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\phi }$	Вертикальный астигматизм
${\displaystyle Z_{3}^{-3}}$	0 6	0 9	10	11	3	−3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\phi }$	Вертикальный трилистник
${\displaystyle Z_{3}^{-1}}$	0 7	0 7	0 7	0 8	3	−1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi }$	Вертикальная кома
${\displaystyle Z_{3}^{1}}$	0 8	0 8	0 6	0 7	3	+1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi }$	Горизонтальная кома
${\displaystyle Z_{3}^{3}}$	0 9	10	0 9	10	3	+3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\phi }$	Косой трилистник
${\displaystyle Z_{4}^{-4}}$	10	15	17	18	4	−4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\phi }$	Наклонный четырехлистник
${\displaystyle Z_{4}^{-2}}$	11	13	12	13	4	−2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\phi }$	Косой вторичный астигматизм
${\displaystyle Z_{4}^{0}}$	12	11	0 8	0 9	4	0 0	${\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}$	Первичная сферическая
${\displaystyle Z_{4}^{2}}$	13	12	11	12	4	+2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\phi }$	Вертикальный вторичный астигматизм
${\displaystyle Z_{4}^{4}}$	14	14	16	17	4	+4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\phi }$	Вертикальный четырехлистник

Приложения [ править ]

Функции являются основой определяется по области круговой поддержки, обычно в плоскости зрачка классической оптической визуализации при видимых и инфракрасных диапазонах длин волн через систему линз и зеркала конечного диаметра. Их преимущества - это простые аналитические свойства, унаследованные от простоты радиальных функций и факторизации радиальных и азимутальных функций; это приводит, например, к выражениям в замкнутой форме двумерного преобразования Фурье через функции Бесселя. ^{[11] [12]} Их недостатком, в частности, если задействовано большое значение n , является неравномерное распределение узловых линий по единичному диску, что приводит к эффектам звона у периметра.${\displaystyle \rho \approx 1}$, что часто приводит к попыткам определить другие ортогональные функции над круговым диском. ^{[13] [14] [15]}

В прецизионном оптическом производстве полиномы Цернике используются для характеристики ошибок более высокого порядка, наблюдаемых при интерферометрическом анализе. В датчиках наклона волнового фронта, таких как Shack-Hartmann , коэффициенты Цернике волнового фронта могут быть получены путем подгонки измеренных наклонов с помощью полиномиальных производных Цернике, усредненных по субапертурам выборки. ^[16] В оптометрии и офтальмологии , полиномы Цернике используются для описания аберраций волнового фронта на роговице или линзы от идеальной сферической формы, что приводит к ошибкам рефракции . Они также широко используются в адаптивной оптике., где они могут быть использованы для характеристики атмосферных искажений . Очевидные применения для этого - инфракрасная или визуальная астрономия и спутниковые изображения .

Другое применение полиномов Цернике можно найти в расширенной теории дифракции и аберраций Ниджбора – Цернике .

Многочлены Цернике широко используются в качестве базисных функций моментов изображения . Поскольку многочлены Цернике ортогональны друг другу, моменты Цернике могут представлять свойства изображения без избыточности или перекрытия информации между моментами. Хотя моменты Цернике в значительной степени зависят от масштабирования и перемещения объекта в интересующей области (ROI), их величины не зависят от угла поворота объекта. ^[17] Таким образом, их можно использовать для извлечения признаковиз изображений, описывающих характеристики формы объекта. Например, моменты Цернике используются в качестве дескрипторов формы для классификации доброкачественных и злокачественных новообразований груди ^[18] или поверхности вибрирующих дисков. ^[19] Моменты Цернике также использовались для количественной оценки формы линий раковых клеток остеосаркомы на уровне отдельных клеток. ^[20]

Высшие измерения [ править ]

Концепция переводит на высшие размерности D , если многочлены в декартовых координатах преобразуются в гиперсферических координат , , умноженной на произведение многочленов Якоби угловых переменных. В размерах угловые переменные представляют собой , например, сферические гармоники . Линейные комбинации степеней определяют ортогональный базис, удовлетворяющий${\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}$${\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}$${\displaystyle D=3}$${\displaystyle \rho ^{s}}$${\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}$.

(Обратите внимание, что здесь коэффициент поглощается в определении R , тогда как в нормировке выбирается несколько иначе. Это в значительной степени дело вкуса, в зависимости от того, желаете ли вы сохранить целочисленный набор коэффициентов или предпочитаете более точные формулы, если ортогонализация участвует.) Явное представление${\displaystyle {\sqrt {2n+D}}}$${\displaystyle D=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

для даже , остальное равно нулю.${\displaystyle n-l\geq 0}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с полиномами Зернике .

• Многочлены Якоби
• Теория Нейбура – ​​Зернике
• Псевдо-полиномы Цернике

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Цернике» . MathWorld .
• Андерсен, Торбен Б. (2018). «Эффективные и надежные рекуррентные соотношения для многочленов окружности Цернике и их производных в декартовых координатах» . Опт. Экспресс . 26 (15): 18878–18896. Bibcode : 2018OExpr..2618878A . DOI : 10,1364 / OE.26.018878 . PMID  30114148 .
• Bhatia, AB; Вольф, Э. (1952). «Многочлены круга Цернике, встречающиеся в теории дифракции». Proc. Phys. Soc. B . 65 (11): 909–910. Bibcode : 1952PPSB ... 65..909B . DOI : 10.1088 / 0370-1301 / 65/11/112 .
• Каллахан, PG; Де Грэф, М. (2012). «Подгонка и реконструкция формы преципитата с помощью функций 3D Цернике». Модель. Simul. Мат. Sci. Engin . 20 (1): 015003. Bibcode : 2012MSMSE..20a5003C . DOI : 10.1088 / 0965-0393 / 20/1/015003 .
• Кэмпбелл, CE (2003). «Матричный метод для нахождения нового набора коэффициентов Цернике формирует исходный набор при изменении радиуса апертуры». J. Opt. Soc. Являюсь. . 20 (2): 209. Bibcode : 2003JOSAA..20..209C . DOI : 10.1364 / JOSAA.20.000209 . PMID  12570287 .
• Cerjan, C. (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его приложение к преобразованиям Ганкеля» . J. Opt. Soc. Являюсь. . 24 (6): 1609–16. Bibcode : 2007JOSAA..24.1609C . DOI : 10.1364 / JOSAA.24.001609 . PMID  17491628 .
• Комастри, SA; Perez, LI; Perez, GD; Martin, G .; Бастида Цержан, К. (2007). «Коэффициенты расширения Цернике: изменение масштаба и децентрализация для разных учеников и оценка аберраций роговицы». J. Opt. Soc. Являюсь. . 9 (3): 209–221. Bibcode : 2007JOptA ... 9..209C . DOI : 10.1088 / 1464-4258 / 9/3/001 .
• Конфорти, Г. (1983). «Коэффициенты аберрации Цернике от Зейделя и коэффициенты степенного ряда более высокого порядка». Опт. Lett . 8 (7): 407–408. Bibcode : 1983OptL .... 8..407C . DOI : 10.1364 / OL.8.000407 . PMID  19718130 .
• Dai, Gm .; Махаджан, В.Н. (2007). «Кольцевые многочлены Цернике и атмосферная турбулентность». J. Opt. Soc. Являюсь. . 24 (1): 139. Bibcode : 2007JOSAA..24..139D . DOI : 10.1364 / JOSAA.24.000139 . PMID  17164852 .
• Дай, Гм. (2006). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике для меньших размеров зрачка: более простая формула». J. Opt. Soc. Являюсь. . 23 (3): 539. Bibcode : 2006JOSAA..23..539D . DOI : 10.1364 / JOSAA.23.000539 . PMID  16539048 .
• Díaz, JA; Fernández-Dorado, J .; Pizarro, C .; Араса, Дж. (2009). «Коэффициенты Цернике для концентрических, круговых, масштабных учеников: эквивалентное выражение». Журнал современной оптики . 56 (1): 149–155. Bibcode : 2009JMOp ... 56..149D . DOI : 10.1080 / 09500340802531224 . S2CID  122620015 .
• Díaz, JA; Фернандес-Дорадо, Дж. «Коэффициенты Цернике для концентрических, круговых, масштабных учеников» . из Демонстрационного проекта Вольфрама.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Flusser, Ян; Шейх, UU; Хансари, Мохаммад; Джафари-Хузани, Курош (2013). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне с инвариантным вращением и шумом с помощью моментов Цернике и спектрального регрессионного дискриминантного анализа» Журнал электронного изображения . 22 (1): 013030. Bibcode : 2013JEI .... 22a3030F . DOI : 10.1117 / 1.JEI.22.1.013030 . S2CID  16758261 .
• Gu, J .; Шу, ХЗ; Toumoulin, C .; Луо, LM (2002). «Новый алгоритм для быстрого вычисления моментов Зернике». Распознавание образов . 35 (12): 2905–2911. DOI : 10.1016 / S0031-3203 (01) 00194-7 .
• Херрманн Дж. (1981). «Перекрестная связь и наложение спектров при оценке модального волнового фронта». J. Opt. Soc. Am . 71 (8): 989. Bibcode : 1981JOSA ... 71..989H . DOI : 10.1364 / JOSA.71.000989 .
• Ху, PH; Stone, J .; Стэнли, Т. (1989). «Применение полиномов Цернике к задачам распространения в атмосфере». J. Opt. Soc. Являюсь. . 6 (10): 1595. Bibcode : 1989JOSAA ... 6.1595H . DOI : 10.1364 / JOSAA.6.001595 .
• Кинтнер, EC (1976). «О математических свойствах многочленов Цернике». Опт. Acta . 23 (8): 679–680. Bibcode : 1976AcOpt..23..679K . DOI : 10.1080 / 713819334 .
• Лоуренс, штат Джорджия; Чоу, WW (1984). "Томография волнового фронта методом разложения полиномов Цернике". Опт. Lett . 9 (7): 267. Bibcode : 1984OptL .... 9..267L . DOI : 10.1364 / OL.9.000267 . PMID  19721566 .
• Лю, Хайгуан; Моррис, Ричард Дж .; Hexemer, A .; Грандисон, Скотт; Зварт, Питер Х. (2012). «Расчет профилей малоуглового рассеяния с трехмерными полиномами Цернике». Acta Crystallogr. . 68 (2): 278–285. DOI : 10.1107 / S010876731104788X . PMID  22338662 .
• Lundström, L .; Унсбо, П. (2007). «Преобразование коэффициентов Цернике: масштабированные, сдвинутые и повернутые волновые фронты с круглыми и эллиптическими зрачками». J. Opt. Soc. Являюсь. . 24 (3): 569–77. Bibcode : 2007JOSAA..24..569L . DOI : 10.1364 / JOSAA.24.000569 . PMID  17301846 .
• Махаджан, В.Н. (1981). «Кольцевые многочлены Цернике для систем визуализации с кольцевыми зрачками». J. Opt. Soc. Am . 71 : 75. Bibcode : 1981JOSA ... 71 ... 75M . DOI : 10.1364 / JOSA.71.000075 .
• Матар, RJ (2007). "Метод Ньютона третьего порядка для полиномиальных нулей Цернике". arXiv : 0705.1329 [ math.NA ].
• Матар, RJ (2009). «Основание Зернике декартовых преобразований». Сербский астрономический журнал . 179 (179): 107–120. arXiv : 0809.2368 . Bibcode : 2009SerAJ.179..107M . DOI : 10,2298 / SAJ0979107M . S2CID  115159231 .
• Prata Jr, A .; Руш, WVT (1989). «Алгоритм вычисления коэффициентов разложения многочленов Цернике». Appl. Опт . 28 (4): 749–54. Bibcode : 1989ApOpt..28..749P . DOI : 10,1364 / AO.28.000749 . PMID  20548554 .
• Швигерлинг, Дж. (2002). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике для разных размеров зрачка». J. Opt. Soc. Являюсь. . 19 (10): 1937–45. Bibcode : 2002JOSAA..19.1937S . DOI : 10.1364 / JOSAA.19.001937 . PMID  12365613 .
• Шеппард, CJR ; Кэмпбелл, S .; Хиршхорн, доктор медицины (2004). «Разложение Цернике разделимых функций в декартовых координатах». Appl. Опт . 43 (20): 3963–6. Bibcode : 2004ApOpt..43.3963S . DOI : 10,1364 / AO.43.003963 . PMID  15285082 .
• Shu, H .; Luo, L .; Вешать.; Коатрие, Ж.-Л. (2006). «Общий метод получения взаимосвязи между двумя наборами коэффициентов Цернике, соответствующих разным размерам апертуры» . J. Opt. Soc. Являюсь. . 23 (8): 1960–1966. Bibcode : 2006JOSAA..23.1960S . DOI : 10.1364 / JOSAA.23.001960 . PMC  1961626 . PMID  16835654 .
• Swantner, W .; Чоу, WW (1994). «Ортогонализация по Граму-Шмидту полиномов Цернике для общей формы апертуры». Appl. Опт . 33 (10): 1832–7. Bibcode : 1994ApOpt..33.1832S . DOI : 10,1364 / AO.33.001832 . PMID  20885515 .
• Танго, WJ (1977). «Круговые многочлены Зернике и их применение в оптике». Appl. Phys. . 13 (4): 327–332. Bibcode : 1977ApPhy..13..327T . DOI : 10.1007 / BF00882606 . S2CID  120469275 .
• Тайсон, РК (1982). «Преобразование коэффициентов аберрации Цернике в коэффициенты аберрации Зейделя и степенных рядов более высокого порядка». Опт. Lett . 7 (6): 262. Bibcode : 1982OptL .... 7..262T . DOI : 10.1364 / OL.7.000262 . PMID  19710893 .
• Ван, JY; Сильва, Д.Е. (1980). «Интерпретация волнового фронта с помощью полиномов Цернике». Appl. Опт . 19 (9): 1510–8. Bibcode : 1980ApOpt..19.1510W . DOI : 10,1364 / AO.19.001510 . PMID  20221066 .
• Баракат, Р. (1980). "Оптимальные сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуды: Обобщения полиномов Цернике". J. Opt. Soc. Am . 70 (6): 739. Bibcode : 1980JOSA ... 70..739B . DOI : 10.1364 / JOSA.70.000739 .
• ten Brummelaar, TA (1996). «Моделирование атмосферных волновых аберраций и астрономических приборов с использованием полиномов Зернике». Опт. Commun . 132 (3–4): 329–342. Bibcode : 1996OptCo.132..329T . DOI : 10.1016 / 0030-4018 (96) 00407-5 .
• Новотни, М .; Кляйн, Р. (2003). Дескрипторы Зернике 3D для извлечения формы на основе содержимого (PDF) . Материалы 8-го симпозиума ACM по твердотельному моделированию и приложениям . п. 216. CiteSeerX  10.1.1.14.4970 . DOI : 10.1145 / 781606.781639 . ISBN 978-1581137064. S2CID  10514681 .
• Новотни, М .; Кляйн, Р. (2004). «Поиск формы с использованием 3D-дескрипторов Цернике» (PDF) . Компьютерный дизайн . 36 (11): 1047–1062. CiteSeerX  10.1.1.71.8238 . DOI : 10.1016 / j.cad.2004.01.005 .
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Шейх, UU; Флюссер, янв (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне: сравнение подходов на основе моментов» . Конспект лекций по электротехнике . 291 (1): 129–135. DOI : 10.1007 / 978-981-4585-42-2_15 .
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Flusser, Ян; Шейх, UU; Хансари, Мохаммад; Джафари-Хузани, Курош (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне путем комбинирования моментов Зернике и недецимации дискретного вейвлет-преобразования». Цифровая обработка сигналов . 31 (1): 13–27. DOI : 10.1016 / j.dsp.2014.04.008 .

Внешние ссылки [ править ]

• Расширенный веб-сайт Nijboer-Zernike
• Код MATLAB для быстрого вычисления моментов Цернике
• Библиотека Python / NumPy для вычисления полиномов Цернике
• Аберрации Цернике в Telescope Optics
• Пример: использование WolframAlpha для построения полиномов Цернике
• orthopy, пакет Python, вычисляющий ортогональные многочлены (включая многочлены Цернике)