В алгебраической геометрии , этальна морфизм ( французский: [идр] ) морфизм схем , который формально этальна и локально конечной презентации. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в комплексной аналитической топологии. Они удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции , но поскольку открытые множества в топологии Зарисского настолько велики, они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, этальные отображения сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны при определении алгебраической фундаментальной группы и этальной топологии .
Слово étale - это французское прилагательное , которое означает «слабый», как в «слабом приливе», или, образно говоря, спокойный, неподвижный, что-то, что нужно уладить. [1]
Определение
Позволять - гомоморфизм колец . Это делает ан -алгебра. Выберите монический многочлен в и многочлен в такая, что производная из единица в . Мы говорим чтоявляется стандартной этальна если а также можно выбрать так, чтобы изоморфен как -алгебра к а также каноническое отображение.
Позволять быть морфизмом схем . Мы говорим чтоявляется эталоном тогда и только тогда, когда он обладает одним из следующих эквивалентных свойств:
- является плоским и неразветвленным . [2]
- является гладким морфизмом и неразветвлен. [2]
- плоская, локально конечного представления и для каждого в , волокно представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых является спектром конечного сепарабельного полевого расширения поля вычетов . [2]
- плоская, локально конечного представления и для каждого в и каждое алгебраическое замыкание поля вычетов геометрическое волокно - несвязное объединение точек, каждая из которых изоморфна . [2]
- является гладким морфизмом относительной размерности нуль. [3]
- является гладким морфизмом и локально квазиконечным морфизмом . [4]
- локально конечного представления и локально является стандартным этальным морфизмом, т. е.
- Для каждого в , позволять . Тогда существует открытая аффинная окрестность Spec R из и открытая аффинная окрестность Spec S области такой, что f (Spec S ) содержится в Spec R и такой, что гомоморфизм колец R → S, индуцированный стандартная эталь. [5]
- локально конечного представления и формально этальна . [2]
- локально конечного представления и формально этальна для отображений из локальных колец, то есть:
- Пусть A - локальное кольцо и J - идеал кольца A такой, что J 2 = 0 . Установите Z = Spec A и Z 0 = Spec A / J , и пусть i : Z 0 → Z будет каноническим замкнутым погружением. Обозначим через z замкнутую точку Z 0 . Пусть h : Z → Y и g 0 : Z 0 → X - морфизмы такие, что f ( g 0 ( z )) = h ( i ( z )) . Тогда существует единственный Y -морфизм g : Z → X такой, что gi = g 0 . [6]
Предположить, что локально нетерово, а f локально конечного типа. Для в , позволять и разреши - индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах. Тогда следующие эквиваленты:
- эталь.
- Для каждого в индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах формально является этальным для адической топологии. [7]
- Для каждого в , это бесплатный -модуль и волокно - поле, которое является конечным сепарабельным расширением поля вычетов . [7] (Здесь максимальный идеал .)
- f формально этальна для отображений локальных колец со следующими дополнительными свойствами. Локальное кольцо A можно считать артиновым. Если m - максимальный идеал A , то можно предположить , что J удовлетворяет mJ = 0 . Наконец, морфизм полей вычетов κ ( y ) → A / m можно считать изоморфизмом. [8]
Если, кроме того, все отображения на полях вычетов являются изоморфизмами, или если сепарабельно замкнуто, то этальна тогда и только тогда, когда для каждого в , индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах является изоморфизмом. [7]
Примеры
Любое открытое погружение является этальным, поскольку является локальным изоморфизмом.
Накрывающие пространства образуют примеры этальных морфизмов. Например, если является целым обратимым в кольце тогда
это степень этальный морфизм.
Любое разветвленное покрытие имеет неразветвленный локус
который является эталоном.
Морфизмы
индуцированные конечными сепарабельными расширениями полей являются этальными - они образуют арифметические накрывающие пространства с группой преобразований колод.
Любой гомоморфизм колец вида , где все являются полиномами, а определитель якобиана единица в , является эталоном. Например морфизм этале и соответствует степени покрывающая площадь с группой преобразований колоды.
Продолжая предыдущий пример, предположим, что у нас есть морфизм гладких комплексных алгебраических многообразий. Сзадается уравнениями, мы можем интерпретировать его как карту комплексных многообразий. Когда бы якобиан не равно нулю, является локальным изоморфизмом комплексных многообразий по теореме о неявной функции . В предыдущем примере наличие ненулевого якобиана равносильно этальному.
Позволять - доминантный морфизм конечного типа с X , Y локально нётеровым, неприводимым и Y нормальным. Если f не разветвлен , то он этален. [9]
Для поля K любая K -алгебра A обязательно плоская. Следовательно, A является этальной алгеброй тогда и только тогда, когда она неразветвлена, что также эквивалентно
где является сепарабельным замыканием поля K, а правая часть представляет собой конечную прямую сумму, все слагаемые которой равны. Эта характеристика этальных K -алгебр является ступенькой в переосмыслении классической теории Галуа (см . Теорию Галуа Гротендика ).
Характеристики
- Этальные морфизмы сохраняются при изменении состава и основы.
- Этальные морфизмы локальны на источнике и на основании. Другими словами, этальна тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами ограничение каждой из открытых подсхем покрытия этальна, а также тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами индуцированные морфизмы является эталоном для каждой подсхемы покрытия. В частности, можно проверить свойство быть этальным на открытых аффинах..
- Продукт конечного семейства этальных морфизмов этален.
- Для конечного семейства морфизмов , несвязное объединение этален тогда и только тогда, когда каждый эталь.
- Позволять а также , и предположим, что неразветвленный и эталь. потомэталь. В частности, если а также эталонные , то любой -морфизм между а также эталь.
- Квазикомпактные этальные морфизмы квазиконечны .
- Морфизм является открытым погружением тогда и только тогда, когда оно этальное и радиальное . [10]
- Если этальна и сюръективна, то (конечно или иначе).
Теорема об обратной функции
Этальные морфизмы
- е : X → Y
являются алгебраическим аналогом локальных диффеоморфизмов . Более точно, морфизм между гладкими многообразиями этален в точке тогда и только тогда, когда дифференциал между соответствующими касательными пространствами является изоморфизмом. Это , в свою очередь , именно условие , необходимое для того , чтобы карта между многообразием является локальным диффеоморфизмом, т.е. для любой точки у ∈ Y , существует открытая окрестность U от х , таких , что сужение F на U является диффеоморфизмом. Этот вывод неверен в алгебраической геометрии, потому что топология слишком грубая. Например, рассмотрим проекцию п о параболы
- у = х 2
к оси Y. Этот морфизм этален во всех точках, кроме начала координат (0, 0), потому что дифференциал задается как 2 x , которое не обращается в нуль в этих точках.
Однако не существует (по Зарисскому ) локальной обратной функции f просто потому, что квадратный корень не является алгебраическим отображением и не задается полиномами. Однако есть выход из этой ситуации, используя этальную топологию. Точное утверждение выглядит следующим образом: еслиэтальна и конечна, то для любой точки y, лежащей в Y , существует этальный морфизм V → Y, содержащий y в своем образе ( V можно рассматривать как этальную открытую окрестность y ), такой что, когда мы базируем замену f на V , тогда(первый член будет вполне прообраз V по F , если V были Зарискому открытая окрестность) является конечным объединением непересекающихся открытых подмножеств изоморфно V . Другими словами, эталокально в Y морфизм f является топологическим конечным покрытием.
Для гладкого морфизма относительной размерности n , эталокально в X и Y , f - открытое погружение в аффинное пространство. Это эталонный аналог структурной теоремы о субмерсиях .
Смотрите также
- Чистота (алгебраическая геометрия)
Рекомендации
- ^ fr: Trésor de la langue française informatisé , "этальная" статья
- ^ а б в г д EGA IV 4 , Corollaire 17.6.2.
- ^ EGA IV 4 , Corollaire 17.10.2.
- ^ EGA IV 4 , Corollaire 17.6.2 и Corollaire 17.10.2.
- ^ Милн, Этальные когомологии , теорема 3.14.
- ^ EGA IV 4 , Corollaire 17.14.1.
- ^ a b c EGA IV 4 , Предложение 17.6.3
- ^ EGA IV 4 , Предложение 17.14.2
- ^ SGA1, Exposé I, 9,11
- ↑ EGA IV 4 , Теорема 17.9.1.
Библиография
- Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Гротендик, Александр ; Жан Дьедонна (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрический подход algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна). IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première партии Специального " , Публикации Mathématiques де l'IHES , 20 : 5-259, DOI : 10.1007 / bf02684747 , S2CID 118147570
- Гротендик, Александр ; Dieudonné, Жан (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 20 : 5-259 , DOI : 10.1007 / bf02684747 , S2CID 118147570
- Гротендик, Александр; Dieudonné, Жан (1967), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Quatrième PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 32 : 5-333 , DOI : 10.1007 / BF02732123 , S2CID 189794756
- Гротендик, Александр ; Рейно, Michèle (2003) [1971], семинария Geometrie Algébrique Дюбуа Мари - 1960-61 - Revêtements étales и др GROUPE fondamental - (SGA 1) (Документы Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathematique - де - Франс, XVIII + 327, Arxiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
- Дж. С. Милн (1980), Étale cohomology , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3
- Дж. С. Милн (2008). Лекции по этальным когомологиям