Маломерная топология
Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии. (Изучение одномерных топологических пространств также иногда относится к маломерной топологии, хотя чаще рассматривается как часть теории континуума.)
Ряд результатов 1960-х годов подчеркнули особую значимость малых размерностей в топологии. Например, доказательство гипотезы Пуанкаре в пяти или более размерностях (Смейл, 1961) сделало размерности три и четыре самыми трудными; и, действительно, они потребовали новых методов, в то время как свобода более высоких размерностей означала, что вопросы можно было свести к вычислительным методам, доступным в теории хирургии. Гипотеза Тёрстона, в конце 1970-х годов, предложила основу, которая предполагала, что геометрия и топология тесно переплетаются в малых размерностях, а доказательство Тёрстона геометризации многообразий Хакена использовало различные инструменты из ранее лишь слабо связанных областей математики. Открытие Воаном Джонсом многочлена Джонса в начале 1980-х годов не только привело теорию узлов в новое русло, но и породило до сих пор загадочные связи между маломерной топологией и математической физикой. В 2002 году Григорий Перельман объявил о доказательстве трёхмерной гипотезы Пуанкаре, используя поток Риччи Ричарда Гамильтона — идею, принадлежащую области геометрического анализа.
Поверхность — это двумерное топологическое многообразие, наиболее известные примеры поверхностей — границы твёрдых тел в трёхмерном евклидовом пространстве — например, двумерная сфера — поверхность трёхмерного шара. С другой стороны, существуют поверхности, такие как бутылка Клейна, которые невозможно вложить в трёхмерное евклидово пространство без введения сингулярностей или самопересечений.
Классификационная теорема замкнутых поверхностей гласит, что любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна некоторому члену одного из этих трёх семейств:
Поверхности первых двух семейств ориентируемы. Удобно объединить два семейства, рассматривая сферу как связную сумму 0 торов. Число задействованных торов называется родом поверхности. Сфера и тор имеют эйлеровы характеристики 2 и 0 соответственно, и вообще эйлерова характеристика связной суммы торов равна 2 − 2.
