Фуксова группа

---

Фуксова группа — дискретная подгруппа группы PSL(2,R). Группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ может рассматриваться как группа движений гиперболической плоскости или конформные отображения единичного диска, или конформные отображения верхней полуплоскости. Соответственно, фуксову группу, можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. В других трактовках фуксова группа определяется как группа с конечным числом генераторов^[англ.], либо как подгруппа ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )}$, содержащая сохраняющие ориентацию элементы. Также приемлемо определение фуксовой группы как клейновой (дискретная группа of PSL(2,C)), которая сопряжена с подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$.

Фуксовы группы используются для создания фуксовой модели римановых поверхностей. В этом случае группа может быть названа фуксовой группой поверхности. В некотором смысле, фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то же, что и кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии. Некоторые рисунки Эшера построены на основе фуксовых групп (для дисковой модели геометрии Лобачевского).

Общие фуксовы группы первым изучал Анри Пуанкаре^[1], заинтересованный статьей Лазаруса Фукса^[2], от имени которого и происходит это название.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0}$ будет верхней полуплоскостью. Тогда ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является моделью гиперболической плоскости, которая снабжена метрикой

Группа PSL(2,R) действует на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ дробно-линейным преобразованием (которое известно как преобразования Мёбиуса):

Это действие эффективно и фактически ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ изоморфно группе всех сохраняющих ориентацию движений of ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

---