SL(2,R)

---

Группа является простой вещественной группой Ли с приложениями в геометрии, топологии, теории представлений и физике.

SL(2,R) действует на комплексную верхнюю полуплоскость^[англ.] дробно-линейными преобразованиями. Действие группы факторизуется на факторгруппу PSL(2,R) (${\displaystyle 2\times 2}$ проективная специальная линейная группа над R). Точнее,

где E обозначает ${\displaystyle 2\times 2}$ единичную матрицу. SL(2,R) содержит модулярную группу PSL(2,Z).

Также группа SL(2,R) тесно связана с 2-кратно накрывающей группой^[англ.] Mp(2,R), метаплектической группой^[англ.] (если рассматривать SL(2,R) как симплектическую группу).

Другая связанная группа — ${\displaystyle \mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )}$, группа вещественных ${\displaystyle 2\times 2}$ матриц с определителем ${\displaystyle \pm 1}$. Однако эта группа наиболее часто используется в контексте модулярной группы.

SL(2,R) — это группа всех линейных преобразований пространства R², сохраняющиеориентированную площадь. Группа изоморфна симплектической группе Sp(2,R) и обобщённой специальной унитарной группе SU(1,1). Группа изоморфна также группе кокватернионов^[англ.] единичной длины. Группа ${\displaystyle \mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )}$ сохраняет неориентированную площадь — она может сохранять ориентацию.

---