В математике свойства, которые справедливы для «типичных» примеров, называются общими свойствами . Например, общее свойство класса функций — это свойство, истинное для «почти всех» этих функций, как в утверждениях «Общий многочлен не имеет корня в нуле» или «Общая квадратная матрица обратимый ». В качестве другого примера общее свойство пространства — это свойство, которое выполняется «почти во всех» точках пространства, как в утверждении «Если f : M → N — гладкая функция между гладкими многообразиями ,(Это по теореме Сарда .)
В математике существует множество различных понятий «общий» (что подразумевается под «почти все») с соответствующими двойственными понятиями «почти ничего» ( пренебрежимо малое множество ); два основных класса:
Есть несколько естественных примеров, когда эти понятия не равны. [1] Например, множество чисел Лиувилля является общим в топологическом смысле, но имеет нулевую меру Лебега. [2]
В теории меры общим свойством является свойство, которое имеет место почти везде . Двойственное понятие — это нулевое множество , то есть множество нулевой меры.
В теории вероятности общее свойство — это событие, которое происходит почти наверняка , что означает, что оно происходит с вероятностью 1. Например, закон больших чисел гласит, что среднее значение выборки почти наверняка сходится к среднему значению генеральной совокупности. Это определение в случае теории меры, специализированное для вероятностного пространства.
В дискретной математике термин « почти все » используется для обозначения коконечных (всех, кроме конечного числа), счетных (всех, кроме счетных), для достаточно больших чисел или, иногда, асимптотически почти наверняка . Эта концепция особенно важна при изучении случайных графов .