В теории категорий , строгая 2-категория является категорией с « морфизмами между морфизмами», то есть, где каждый рупор посаженным сам несет структуру категории. Формально ее можно определить как категорию, обогащенную над Cat ( категория категорий и функторов с моноидальной структурой, задаваемой произведением категорий ).
Концепция 2-категории была впервые введена Чарльзом Эресманном в его работе по обогащенным категориям в 1965 году. [1] Более общее понятие бикатегории (или слабой 2- категории ), где композиция морфизмов ассоциативна только с точностью до 2-й категории. изоморфизм, был открыт в 1968 году Жаном Бенабу. [2]
Определение
2-категория C состоит из:
- Класс 0- клеток (или объектов ) A , B , ....
- Для всех объектов A и B категория. Объектыэтой категории называются 1- клетками, а ее морфизмыназываются 2- ячеечными ; сочинение в этой категории обычно пишется или же и называется вертикальной композицией или композицией по 1- ячейке .
- Для любого объекта A существует функтор из категории терминала (с одним объектом и одной стрелкой) вчто выбирает в идентичности 1-клетки идентификатор A на A и его идентичность 2-клетки ID идентификатора A . На практике эти два часто обозначаются просто А .
- Для всех объектов A , B и C существует функтор, называется горизонтальной композицией или композицией вдоль 0-ячейки , которая является ассоциативной и допускает [ требуется пояснение ] идентичность 1 и 2-ячеек идентификатора A в качестве идентичностей. Здесь ассоциативность для означает, что горизонтально составляя дважды не зависит от того, какой из двух а также составляются первыми. Символ композиции часто опускается, горизонтальная композиция из двух ячеек а также написано просто как .
Понятие 2-категории отличается от более общего понятия бикатегории тем, что композиция из 1-ячеек (горизонтальная композиция) должна быть строго ассоциативной, тогда как в бикатегории она должна быть ассоциативной только с точностью до 2-изоморфизма. Аксиомы 2-категории являются следствием их определения как Cat обогащенным категории:
- Вертикальная композиция ассоциативна и унитальна, единицы - это тождественные 2-ячейки id f .
- Горизонтальная композиция также (строго) ассоциативна и унитальный, блоки тождественной 2-клетка ID ID А на идентичность 1-клетки идентификатора A .
- Закон обмена соблюдается; т.е. верно, что для составных 2-ячеек
Закон обмена следует из того, что является функтором между hom-категориями. Его можно нарисовать в виде схемы склейки следующим образом:
знак равно | знак равно | |||||
Здесь левая диаграмма обозначает вертикальную композицию горизонтальных композитов, правая диаграмма обозначает горизонтальную композицию вертикальных композитов, а диаграмма в центре является обычным представлением обоих.
Доктрины
В математике доктрина - это просто 2-категория, которая эвристически рассматривается как система теорий. Например, алгебраические теории , изобретенные Уильямом Ловером , являются примером доктрины, как и разносортированные теории , операды , категории и топосы .
Объекты 2-категории называются теориями , 1-морфизмаминазываются моделями по A в B , и 2-морфизмы называются морфизмами между моделями.
Различие между 2-категорией и доктриной на самом деле чисто эвристическое: обычно не рассматриваются 2-категории, которые должны быть заполнены теориями как объектами и моделями как морфизмами. Именно этот словарь делает теорию доктрин стоящей.
Например, « Кот с двумя категориями» категорий, функторов и естественных преобразований - это доктрина. Сразу видно, что все категории предпучков являются категориями моделей.
В качестве другого примера можно взять подкатегорию Cat, состоящую только из категорий с конечными продуктами в качестве объектов и сохраняющими продукт функторами в качестве 1-морфизмов. Это учение о многомерных алгебраических теориях. Если бы кто-то хотел только 1-отсортированные алгебраические теории, можно было бы ограничить объекты только теми категориями, которые генерируются в рамках продуктов одним объектом.
Доктрины открыл Джонатан Мок Бек .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Чарльз Эресмана , РУБРИКИ ЕТ структуры, Dunod, Париж 1965.
- ^ Жан Benabou Введение в бикатегории, в Докладах Midwest Категории семинара, Springer, Berlin, 1967, стр. 1--77.
Сноски
- Обобщенные алгебраические модели Клаудии Сентаццо.