Неофициально в математической логике , алгебраическая теория является теорией , которая использует Аксиома формулируется исключительно в терминах уравнений между терминами с свободными переменными . Неравенства и кванторы специально запрещены. Сентенциальная логика - это подмножество логики первого порядка, включающее только алгебраические предложения.
Это понятие очень близко к понятию алгебраической структуры , которое, возможно, может быть просто синонимом.
Сказать, что теория алгебраична, - более сильное условие, чем сказать, что она элементарна .
Неформальная интерпретация
Алгебраическая теория состоит из набора n -арных функциональных терминов с дополнительными правилами (аксиомами).
Например, теория групп является алгебраической теорией, потому что в ней есть три функциональных термина: бинарная операция a × b , нулевая операция 1 ( нейтральный элемент ) и унарная операция x ↦ x −1 с правилами ассоциативности , нейтральности и обратное соответственно. Другие примеры включают:
Это противоположно геометрической теории, которая включает частичные функции (или бинарные отношения) или экзистенциальные кванты - см., Например, евклидову геометрию, где постулируется существование точек или линий.
Теоретико-модельная интерпретация на основе категорий
Алгебраическая теория T - это категория , объектами которой являются натуральные числа 0, 1, 2, ..., и которая для каждого n имеет n -набор морфизмов :
- proj i : n → 1, i = 1, ..., n
Это позволяет интерпретировать п как декартово произведение из п копий 1.
Пример: Определим алгебраическую теорию T , в которой hom ( n , m ) есть m -наборы многочленов от n свободных переменных X 1 , ..., X n с целыми коэффициентами и с подстановкой в качестве композиции. В этом случае proj i совпадает с X i . Эта теория T называется теорией коммутативных колец .
В алгебраической теории любой морфизм n → m можно описать как m морфизмов сигнатуры n → 1. Эти последние морфизмы называются n -арными операциями теории.
Если E категория с конечными продуктами , то полная подкатегория Alg ( T , E ) в категории функторов [ Т , Е ] , состоящая из функторов, сохраняющих конечные произведения называются категорией Т - модель или Т - алгебры .
Отметим, что в случае операции 2 → 1 соответствующая алгебра A будет определять морфизм
- А (2) ≈ А (1) × А (1) → А (1)
Смотрите также
Рекомендации
- Ловер, FW , 1963, Функториальная семантика алгебраических теорий, Слушания Национальной академии наук 50, № 5 (ноябрь 1963 г.), 869-872
- Адамек Дж., Росицки Дж., Витале Е. М. Алгебраические теории. Категорическое введение в общую алгебру
- Кок А., Рейес Г. Доктрины категориальной логики // Справочник по математической логике, изд. Дж. Барвайз , Северная Голландия, 1977 г.
- Алгебраическая теория в nLab