| 4-х симплексные соты | |
|---|---|
| (Нет изображения) | |
| Тип | Равномерные 4-соты |
| Семья | Простые соты |
| Символ Шлефли | {3 [5] } |
| Диаграмма Кокстера |      |
| 4-гранные типы | {3,3,3} т 1 {3,3,3}  |
| Типы клеток | {3,3} т 1 {3,3}  |
| Типы лица | {3} |
| Фигура вершины |  т 0,3 {3,3,3} |
| Симметрия | × 2, {3 [5] } |
| Характеристики | вершинно-транзитивный |
В четырехмерной евклидовой геометрии , то 4-симплекс соты , 5-элементные соты или pentachoric-dispentachoric соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сотни . Он состоит из 5-ячеечных и выпрямленных 5-ячеечных граней в соотношении 1: 1.
Структура [ править ]
Ячейки вершинной фигуры - это десять тетраэдров и 20 треугольных призм , соответствующих десяти 5-ячейкам и 20 выпрямленным 5-ячейкам, которые встречаются в каждой вершине. Все вершины лежат в параллельных областях, в которых они образуют чередующиеся кубические соты , причем тетраэдры являются либо вершинами выпрямленных 5-ячеек, либо основаниями 5-ячеек, а октаэдры - основаниями выпрямленных 5-ячеек. [1]
Альтернативные имена [ править ]
- Циклопентахорический тетракомб
- Пентахорико-диспентахорический тетракомб
Проекция складыванием [ править ]
5-элементные соты могут быть спроецированы в 2-мерную квадратную плитку с помощью геометрической складной операции , которая отображает две пары зеркал друг в друг, разделяя то же расположение вершин :
| |
  |
Решетка А4 [ править ]
Расположение вершин соты из 5 ячеек называется решеткой A4 или 4-симплексной решеткой . 20 вершин его вершинной фигуры , 5-клетка с контурами, представляют 20 корней группы Кокстера. [2] [3] Это 4-мерный случай симплектических сот .
А*
4решетка [4] представляет собой объединение пяти решеток A 4 и является двойственной к усеченной 5-симплексной соте , поэтому ячейка Вороного этой решетки является полностью усеченной 5-ячейкой
∪ ∪ ∪ ∪ = двойной
Связанные многогранники и соты [ править ]
На вершинах из 5-клеток в этих сотах примыкать к основаниям из 5-клеток, и наоборот, в соседних пластинках (или слои); но чередующиеся пластинки могут быть перевернуты, так что вершины выпрямленных 5-ячеек примыкают к вершинам выпрямленных 5-ячеек, а основания 5-ячеек примыкают к основаниям других 5-ячеек. Эта инверсия приводит к еще одной неравномерно выпуклой соте, не относящейся к Витоффу. Октаэдрические призмы и тетраэдрические призмы также могут быть вставлены между чередующимися пластинами, в результате чего получатся еще две удлиненные однородные соты, не относящиеся к Витоффу. [5]
Эти соты - одна из семи уникальных однородных сот [6], построенных группой Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
| Соты формата А4 | ||||
|---|---|---|---|---|
| Пентагон симметрии | Расширенная симметрия | Расширенная диаграмма | Расширенная группа | Сотовые диаграммы |
| а1 | [3 [5] ] | | (Никто) | |
| i2 | [[3 [5] ]] |    | × 2 | 1 , 2 , 3 ,
|
| r10 | [5 [3 [5] ]] |   | × 10 | 7 |
Ректифицированные 5-ячеечные соты [ править ]
| Ректифицированные 5-ячеечные соты | |
|---|---|
| (Нет изображения) | |
| Тип | Равномерные 4-соты |
| Символ Шлефли | t 0,2 {3 [5] } или r {3 [5] } |
| Диаграмма Кокстера | |
| 4-гранные типы | т 1 {3 3 } т 0,2 {3 3 } т 0,3 {3 3 } |
| Типы клеток | Тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма |
| Фигура вершины | треугольная удлиненно-антипризматическая призма |
| Симметрия | × 2, {3 [5] } |
| Характеристики | вершинно-транзитивный |
Выпрямляется 4-симплекс соты или выпрямленной 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот .
Альтернативные имена [ править ]
- малый цикломбированный пентахорический тетракомб
- малая призматодиспентахорический четырехугольник
Циклоусеченные 5-ячеечные соты [ править ]
| Циклоусеченные 5-ячеечные соты | |
|---|---|
| (Нет изображения) | |
| Тип | Равномерные 4-соты |
| Семья | Усеченные простые соты |
| Символ Шлефли | т 0,1 {3 [5] } |
| Диаграмма Кокстера |  |
| 4-гранные типы | {3,3,3} т {3,3,3} 2т {3,3,3} |
| Типы клеток | {3,3} т {3,3} |
| Типы лица | Треугольник {3} Шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | Удлиненная тетраэдрическая антипризма [3,4,2 + ], порядок 48 |
| Симметрия | × 2, {3 [5] } |
| Характеристики | вершинно-транзитивный |
Cyclotruncated 4-симплекс соты или cyclotruncated 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно рассматривать как двухкомпонентную сотовую структуру с 5 ячейками .
Он состоит из фасетов 5 ячеек , усеченных 5 ячеек и усеченных битом 5 ячеек в соотношении 2: 2: 1. Его вершина представляет собой удлиненную тетраэдрическую антипризму с 8 равносторонними треугольниками и 24 гранями равнобедренного треугольника , определяющими 8 5-ячеечных и 24 усеченных 5-ячеечных граней вокруг вершины.
Его можно построить как пять наборов параллельных гиперплоскостей, которые делят пространство на два полупространства. Гиперплоскости с 3-мя пространствами содержат четверть кубических сот в качестве фасетов совокупности. [7]
Альтернативные имена [ править ]
- Циклоусеченный пентахорический тетракомб
- Малый усеченно-пентахорический тетракомб
Усеченные 5-ячеечные соты [ править ]
| Усеченные 4-симплексные соты | |
|---|---|
| (Нет изображения) | |
| Тип | Равномерные 4-соты |
| Символ Шлефли | t 0,1,2 {3 [5] } или t {3 [5] } |
| Диаграмма Кокстера | |
| 4-гранные типы | т 0,1 {3 3 } т 0,1,2 {3 3 } т 0,3 {3 3 } |
| Типы клеток | Тетраэдр Усеченный тетраэдр Усеченный октаэдр Треугольная призма |
| Фигура вершины | треугольная удлиненно-антипризматическая пирамида |
| Симметрия | × 2, {3 [5] } |
| Характеристики | вершинно-транзитивный |
Усечена 4-симплекс соты или усеченной 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно назвать усеченными циклокантными сотами из 5 ячеек .
Альтернативные имена [ править ]
- Большой циклоромбированный пентахорический тетракомб
- Большой усеченно-пентахорический тетракомб
Сквозные 5-ячеечные соты [ править ]
| Сквозные 5-ячеечные соты | |
|---|---|
| (Нет изображения) | |
| Тип | Равномерные 4-соты |
| Символ Шлефли | t 0,1,3 {3 [5] } или rr {3 [5] } |
| Диаграмма Кокстера | |
| 4-гранные типы | т 0,2 {3 3 } т 1,2 {3 3 } т 0,1,3 {3 3 } |
| Типы клеток | Усеченный тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма Гексагональная призма |
| Фигура вершины | треугольно-призматический антифастигиум |
| Симметрия | × 2, {3 [5] } |
| Характеристики | вершинно-транзитивный |
Cantellated 4-симплекс соты или cantellated 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно назвать циклоусеченными 5-ячеечными сотами .
Альтернативные имена [ править ]
- Циклопризматический пентахорический тетракомб
- Большой призматодиспентахорический тетракомб
Битрорезанные соты с 5 ячейками [ править ]
| Усеченные 5-ячеечные соты | |
|---|---|
| (Нет изображения) | |
| Тип | Равномерные 4-соты |
| Символ Шлефли | t 0,1,2,3 {3 [5] } или 2t {3 [5] } |
| Диаграмма Кокстера | |
| 4-гранные типы | т 0,1,3 {3 3 } т 0,1,2 {3 3 } т 0,1,2,3 {3 3 } |
| Типы клеток | Кубооктаэдр Усеченный октаэдр Усеченный тетраэдр Гексагональная призма Треугольная призма |
| Фигура вершины | наклонная прямоугольная дуопирамида |
| Симметрия | × 2, {3 [5] } |
| Характеристики | вершинно-транзитивный |
Bitruncated 4-симплекс соты или bitruncated 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно назвать циклоруксусно-усеченными 5-ячеечными сотами .
Альтернативные имена [ править ]
- Большой циклопризматический пентахорический тетракомб
- Большой призматодиспентахорический тетракомб
Усеченные 5-ячеечные соты [ править ]
| Омнитусеченные 4-симплексные соты | |
|---|---|
| (Нет изображения) | |
| Тип | Равномерные 4-соты |
| Семья | Усеченные простые соты |
| Символ Шлефли | t 0,1,2,3,4 {3 [5] } или tr {3 [5] } |
| Диаграмма Кокстера | |
| 4-гранные типы | т 0,1,2,3 {3,3,3} |
| Типы клеток | т 0,1,2 {3,3} {6} x {} |
| Типы лица | {4} {6} |
| Фигура вершины | Irr. 5-элементный |
| Симметрия | × 10, [5 [3 [5] } |
| Характеристики | вершинно-транзитивный , клеточно-транзитивный |
Полностью усеченные соты с 4 симплексами или полностью усеченные соты из 5 ячеек представляют собой тесселяционные соты, заполняющие пространство . Его также можно рассматривать как усеченные 5-ячеечные соты и циклостерин-усеченные 5-ячеечные соты . .
Он полностью состоит из усеченных 5- ячеечных (полностью усеченных 4-симплексных) фасетов.
Кокстер назвал эти соты Хинтона в честь Ч. Хинтона , который описал их в своей книге "Четвертое измерение" в 1906 году. [8]
Грани всех усеченных простых сот называются пермутоэдрами и могут быть расположены в n + 1 пространстве с целыми координатами, перестановками целых чисел (0,1, .., n).
Альтернативные имена [ править ]
- Омнитусеченный циклопентахорический тетракомб
- Большой призматодекахорический тетракомб
4 * решетка [ править ]
А*
4решетка является объединением пяти решеток A 4 и является двойственной к усеченной 5-симплексной соте , поэтому ячейка Вороного этой решетки является полностью усеченной 5-ячейкой . [9]
- ∪ ∪ ∪ ∪ = двойной
Альтернативная форма [ править ]
Это соты можно чередовать , создавая omnisnub 5-клеток с нерегулярными 5-клеток , созданных на удаленных вершин. Хотя это не однородно, 5-ячеек имеет симметрию порядка 10.
См. Также [ править ]
Регулярные и однородные соты в 4-м пространстве:
- Тессерактические соты
- 16-ячеечные соты
- 24-ячеечные соты
- Усеченный 24-элементный сотовый
- Сота с 24-ячеечным курносом
Заметки [ править ]
- ↑ Ольшевский (2006), Модель 134
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A4.html
- ^ https://m.wolframalpha.com/input/?i=A4+root+lattice&lk=3
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/As4.html
- ^ Ольшевский (2006), Клитцинг, удлиненный (x3o3o3o3o3 * a) - ecypit - O141, schmo (x3o3o3o3o3 * a) - zucypit - O142, elongschmo (x3o3o3o3o3 * a) - ezucypit - O143
- ^ mathworld: Ожерелье , последовательность OEIS A000029 8-1 случаев, пропуская один с нулевыми отметками
- ↑ Ольшевский, (2006) Модель 135
- ^ Красота геометрии: двенадцать очерков . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 . (Классификация Зонохедедры, стр. 73)
- ^ Решетка A4 *
Ссылки [ править ]
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Однородные заполнители пространств)
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов) Модель 134
- Клитцинг, Ричард. «4D евклидова мозаика» ., x3o3o3o3o3 * a - cypit - O134, x3x3x3x3x3 * a - отцыпит - 135, x3x3x3o3o3 * a - gocyropit - O137, x3x3o3x3o3 * a - cypropit - O138, x3x3x3x3o3 * a - gocy9x3x3 - O13cypapit - 140x3
- Аффинная группа Кокстера Wa (A4), кватернионы и декагональные квазикристаллы, Мехмет Коджа, Назифе О. Коджа, Рамазан Коц (2013) arXiv : 1209.1878
| Космос | Семья | / / | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| E 2 | Равномерная черепица | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Шестиугольный |
| E 3 | Равномерно выпуклые соты | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
| E 4 | Равномерные 4-соты | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеечные соты |
| E 5 | Равномерные 5-соты | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
| E 6 | Равномерные 6-соты | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
| E 7 | Равномерные 7-соты | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
| E 8 | Равномерные 8-соты | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
| E 9 | Равномерные 9-соты | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
| E n -1 | Uniform ( n -1) - соты | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 к2 • 2 к1 • к 21 |
