5-элементный | Ранцинированный 5-клеточный |
Усеченный 5-элементный | Омнитусеченный 5-элементный (Runcantit-усеченный 5-элементный) |
Ортогональные проекции на плоскость Кокстера A 4 |
---|
В четырехмерной геометрии , A runcinated 5-клетка является выпуклым однородным 4-многогранником , будучи runcination (3 - го порядка усечение, вплоть до номинального строгания ) регулярной 5-клетки .
Есть 3 уникальных степени разбегания 5-ячеек, включая перестановки, усечения и канелляции.
Ранцинированный 5-клеточный
Ранцинированный 5-клеточный | ||
Диаграмма Шлегеля с видимой половиной тетраэдрических ячеек. | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | т 0,3 {3,3,3} | |
Диаграмма Кокстера | или же или же | |
Клетки | 30 | 10 ( 3.3.3 ) 20 ( 3.4.4 ) |
Лица | 70 | 40 {3} 30 {4} |
Края | 60 | |
Вершины | 20 | |
Фигура вершины | (Удлиненная равносторонне-треугольная антипризма) | |
Группа симметрии | Aut (A 4 ), [[3,3,3]], порядок 240 | |
Характеристики | выпуклый , изогональный изотоксальный | |
Единый индекс | 4 5 6 |
Runcinated 5-клетки или небольшая prismatodecachoron строятся путем расширения в клетки из более 5-клеток в радиальном направлении и заполнения пробелов с треугольной призмой (которые являются призмами лица и края фигура) и тетраэдры (клетки двойной 5-клетки). Он состоит из 10 тетраэдров и 20 треугольных призм. 10 тетраэдров соответствуют ячейкам 5-ячейки и ее двойника.
Топологически при высшей симметрии [[3,3,3]] существует только одна геометрическая форма, содержащая 10 тетраэдров и 20 однородных треугольных призм. Прямоугольники всегда являются квадратами, потому что две пары ребер соответствуют ребрам двух наборов из 5 правильных тетраэдров, каждый в двойной ориентации, которые становятся равными при расширенной симметрии.
EL Elte определил его в 1912 г. как полуправильный многогранник.
Альтернативные названия
- Ранцинированный 5-элементный ( Норман Джонсон )
- Рунцинированный пентахорон
- Ранцинированный 4-симплексный
- Расширенный 5-элементный / 4-элементный / пентахорон
- Малый призматодекахорон (Акроним: Спид) (Джонатан Бауэрс)
Состав
Две из десяти тетраэдрических ячеек пересекаются в каждой вершине. Между ними лежат треугольные призмы, соединенные с ними своими треугольными гранями и друг с другом квадратными гранями. Каждый треугольная призма присоединяется к его соседним треугольным призмам в анти ориентаций (то есть, если ребра А и В в общей квадратной поверхности соединены с треугольными гранями одной призмы, то остальные два ребра, соединенными с треугольными гранями другой призмы); таким образом, каждая пара соседних призм, если повернуть их в одну и ту же гиперплоскость , образует gyrobifastigium .
Расслоение
Runcinated 5-клетки могут быть расчленены центральным кубооктаэдром на два тетраэдрические купол . Это рассечение аналогично трехмерному кубооктаэдру , рассеченному центральным шестиугольником на два треугольных купола .
Изображений
К плоскости Косетер | А 4 | А 3 | А 2 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
Вид изнутри трехмерной проекции диаграммы Шлегеля с 10 тетраэдрическими ячейками | Сеть |
Координаты
В декартовы координаты вершин происхождения-центрированной runcinated 5-ячейка с длиной ребра 2 являются:
Альтернативный более простой набор координат может быть сделан в 5-пространственном пространстве, как 20 перестановок:
- (0,1,1,1,2)
Эта конструкция существует как один из 32 ортанте граней в runcinated 5-orthoplex .
Вторая конструкция в 5-пространстве из центра выпрямленного 5-ортоплекса задается перестановками координат:
- (1, -1,0,0,0)
Корневые векторы
Его 20 вершин представляют собой корневые векторы простой группы Ли A 4 . Это также вершина соты из 5 ячеек в 4-м пространстве.
Поперечные сечения
Максимальное поперечное сечение бегущей 5-ячейки с 3-мерной гиперплоскостью представляет собой кубооктаэдр . Это поперечное сечение делит 5-клеточную клетку на две тетраэдрические гиперкуполы, каждая из которых состоит из 5 тетраэдров и 10 треугольных призм.
Прогнозы
Ортографическая проекция четырехгранной 5-ячейки в 3-мерное пространство, ориентированная на первый тетраэдр, имеет кубооктаэдрическую оболочку. Структура этой проекции следующая:
- Кубооктаэдрическая оболочка внутренне разделена следующим образом:
- Четыре уплощенных тетраэдра соединяют четыре треугольных грани кубооктаэдра с центральным тетраэдром. Это изображения 5 тетраэдрических ячеек.
- Шесть квадратных граней кубооктаэдра соединены с краями центрального тетраэдра через искаженные треугольные призмы. Это изображения 6 ячеек треугольной призмы.
- Остальные 4 треугольные грани присоединены к центральному тетраэдру через 4 треугольные призмы (искаженные выступом). Это изображения еще 4 ячеек треугольной призмы.
- Это составляет половину из пяти ячеек (5 тетраэдров и 10 треугольных призм), которые можно рассматривать как «северное полушарие».
- Другая половина, «южное полушарие», соответствует изоморфному делению кубооктаэдра в двойной ориентации, в котором центральный тетраэдр двойственен тетраэдру в первой половине. Треугольные грани кубооктаэдра соединяют треугольные призмы в одном полушарии со сплющенными тетраэдрами в другом полушарии и наоборот. Таким образом, южное полушарие содержит еще 5 тетраэдров и еще 10 треугольных призм, что в сумме составляет 10 тетраэдров и 20 треугольных призм.
Связанный косой многогранник
Регулярно перекос полиэдр , {4,6 | 3}, существует в 4-пространстве с 6 квадратов вокруг каждой вершины, в зигзагами неплоской вершины фигуры. Эти квадратные грани можно увидеть на 5-ячейке, использующей все 60 ребер и 20 вершин. Видно, что 40 треугольных граней 5-ячеечной клетки удалены. Двойной правильный косой многогранник, {6,4 | 3}, аналогичным образом связан с шестиугольными гранями усеченной битом 5-ячейки .
Усеченный 5-элементный
Усеченный 5-элементный | ||
Диаграмма Шлегеля с кубооктаэдрическими ячейками | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | т 0,1,3 {3,3,3} | |
Диаграмма Кокстера | ||
Клетки | 30 | 5 (3.6.6) 10(4.4.6) 10(3.4.4) 5(3.4.3.4) |
Лица | 120 | 40 {3} 60 {4} 20 {6} |
Края | 150 | |
Вершины | 60 | |
Фигура вершины | (Прямоугольная пирамида) | |
Группа Коксетера | А 4 , [3,3,3], порядок 120 | |
Характеристики | выпуклый , изогональный | |
Единый индекс | 7 8 9 |
Runcitruncated 5-клеток или prismatorhombated pentachoron состоит из 60 вершин, 150, 120 ребер граней, и 30 клеток. Ячейки: 5 усеченных тетраэдров , 10 гексагональных призм , 10 треугольных призм и 5 кубооктаэдров . Каждая вершина окружена пятью ячейками: одним усеченным тетраэдром, двумя шестиугольными призмами, одной треугольной призмой и одним кубооктаэдром; фигура вершина представляет собой прямоугольную пирамиду.
Альтернативные названия
- Усеченный пентахорон
- Runcitruncated 4-симплекс
- Дипризматодиспентахорон
- Пентахорон с призматической головкой (аббревиатура: prip) (Джонатан Бауэрс)
Изображений
К плоскости Косетер | А 4 | А 3 | А 2 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [5] | [4] | [3] |
Диаграмма Шлегеля с 40 синими треугольными гранями и 60 зелеными четырехугольными гранями. | Центральная часть диаграммы Шлегеля. |
Координаты
В декартовы координаты из происхождения в центре runcitruncated 5-клеток , имеющей длину ребра 2 , являются:
Координаты | ||
---|---|---|
Вершины могут быть проще построить на гиперплоскости в 5-пространстве, как перестановки :
- (0,1,1,2,3)
Эта конструкция с положительной ортант фаски из runcitruncated 5-orthoplex .
Омнитусеченный 5-элементный
Омнитусеченный 5-элементный | ||
Диаграмма Шлегеля с половиной усеченных октаэдрических ячеек. | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {3,3,3} | |
Диаграмма Кокстера | или же или же | |
Клетки | 30 | 10 (4.6.6) 20(4.4.6) |
Лица | 150 | 90 {4} 60 {6} |
Края | 240 | |
Вершины | 120 | |
Фигура вершины | Филлический дисфеноид | |
Группа Коксетера | Aut (A 4 ), [[3,3,3]], порядок 240 | |
Характеристики | выпуклый , изогональный , зонотопный | |
Единый индекс | 8 9 10 |
Omnitruncated 5-клеток или большой prismatodecachoron состоит из 120 вершин, 240, 150 ребер граней (90 квадратов и 60 шестиугольников ), и 30 клеток. Ячейки: 10 усеченных октаэдров и 20 гексагональных призм . Каждая вершина окружена четырьмя ячейками: двумя усеченными октаэдрами и двумя шестиугольными призмами, расположенными в виде двух филлических дисфеноидальных вершинных фигур .
Коксетер назвал этот многогранник Хинтона в честь Ч. Хинтона , который описал его в своей книге "Четвертое измерение" в 1906 году. Он образует однородные соты, которые Кокстер называет сотами Хинтона . [1]
Альтернативные названия
- Омнитусеченный 5-элементный
- Омнитусеченный пентахорон
- Омнитусеченный 4-симплексный
- Большой призматодекахорон (аббревиатура: гиппид) (Джонатан Бауэрс)
- Многогранник Хинтона ( Кокстера )
Изображений
К плоскости Косетер | А 4 | А 3 | А 2 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
Омнитусеченный 5-элементный | Двойной на полностью усеченный 5-элементный |
Перспективные прогнозы
Перспективная диаграмма Шлегеля с центром на усеченном октаэдре | Стереографическая проекция |
Пермутоэдр
Так же, как усеченный октаэдр является пермутоэдром 4-го порядка, полностью усеченная 5-ячейка является пермутоэдром 5-го порядка. [2] Полностью усеченная 5-ячейка - это зонотоп , сумма Минковского пяти отрезков прямых, параллельных пяти линиям, проходящим через линию. origin и пять вершин 5-ячейки.
Мозаики
Полностью усеченные соты из 5 ячеек могут тесселировать 4-мерное пространство с помощью трансляционных копий этой ячейки, каждая из которых имеет по 3 гиперячейки вокруг каждой грани. Диаграмма Кокстера этой соты такова:. [3] В отличие от аналогичной соты в трех измерениях, усеченной кубической соты, которая имеет три различных конструкции Wythoff группы Кокстера , эта сота имеет только одну такую конструкцию. [1]
Симметрия
Omnitruncated 5-элементного расширила pentachoric симметрии, [[3,3,3]], порядок 240. вершина фигура из omnitruncated 5-клетки представляет собой Гурс тетраэдр из [3,3,3] групп Кокстера . Расширенная симметрия происходит от двукратного поворота по ветви среднего порядка 3 и более явно представлена как [2 + [3,3,3]].
Координаты
В декартовы координаты вершин происхождения в центре omnitruncated 5-клеток , имеющей длину ребра 2 , являются:
Эти вершины могут быть более просто получены в 5-пространстве как 120 перестановок (0,1,2,3,4). Эта конструкция из положительного ортанта фаски на runcicantitruncated 5-orthoplex , т 0,1,2,3 {3,3,3,4},.
Связанные многогранники
Неоднородные варианты с симметрией [3,3,3] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров друг на друга, чтобы получить неоднородный полихорон с 10 усеченными октаэдрами , два типа 40 гексагональных призм (20 дитригональных призм). призмы и 20 дитригональных трапеций), два вида из 90 прямоугольных трапеций (30 с симметрией D 2d и 60 с симметрией C 2v ) и 240 вершин. Его вершина представляет собой неправильную треугольную бипирамиду .
Фигура вершины
Затем этот полихорон может быть чередован с образованием другого неоднородного полихорона с 10 икосаэдрами , двумя типами 40 октаэдров (20 с симметрией S 6 и 20 с симметрией D 3 ), тремя видами из 210 тетраэдров (30 тетрагональных дифеноидов, 60 филлических дифеноидов и 120 неправильные тетраэдры) и 120 вершин. Он имеет симметрию [[3,3,3] + ], порядок 120.
Фигура вершины
Полный курносый 5-элементный
Полные вздернутые 5-клетки или omnisnub 5-клетки , определяются как чередование в omnitruncated 5-клетки, не могут быть сделаны одинаковым, но это может быть дан Кокстером диаграмма, и симметрия [[3,3,3]] + , порядка 120, и построена из 90 ячеек: 10 икосаэдров , 20 октаэдров и 60 тетраэдров, заполняющих промежутки в удаленных вершинах. У него 300 граней (треугольников), 270 ребер и 60 вершин.
Топологически, при высшей симметрии [[3,3,3]] + , 10 икосаэдров имеют симметрию T (киральный тетраэдр), в то время как 20 октаэдров имеют симметрию D 3, а 60 тетраэдров имеют симметрию C 2 . [4]
Связанные многогранники
Эти многогранники являются частью семейства из 9 однородных 4-многогранников, построенных из группы [3,3,3] Кокстера .
Имя | 5-элементный | усеченный 5-элементный | выпрямленный 5-элементный | скошенный 5-элементный | усеченный по битам 5-элементный | усеченный 5-элементный | 5-клеточный | усеченный 5-элементный | омниусеченный 5-элементный |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Символ Шлефли | {3,3,3} 3r {3,3,3} | т {3,3,3} 2т {3,3,3} | r {3,3,3} 2r {3,3,3} | rr {3,3,3} r2r {3,3,3} | 2т {3,3,3} | tr {3,3,3} t2r {3,3,3} | т 0,3 {3,3,3} | т 0,1,3 {3,3,3} т 0,2,3 {3,3,3} | т 0,1,2,3 {3,3,3} |
Диаграмма Кокстера | |||||||||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||
4 Косетер плоскость графика | |||||||||
3 Косетер плоскость графика | |||||||||
2 Косетер плоскость графика |
Заметки
- ^ a b Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Классификация Zonohededra, стр. 73)
- ^ Пермутаэдр порядка 5
- ^ Джордж Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , рукопись (2006): Перечисляет мозаику как [140 из 143] Great-prismatodecachoric tetracomb ( омнитусеченные пентахорические 4d соты)
- ^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s3s.htm
Рекомендации
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии.
- 1. Выпуклая однородная полихора на основе пентахорон - Модель 5, 8, 9 , Георгий Ольшевский.
- Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры)» . o3x3x3o - spid, x3x3o3x - prip, x3x3x3x - gippid
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |