Gyrobifastigium

Gyrobifastigium
Тип	Джонсон Дж 25 - Дж 26 - Дж 27
Лица	4 треугольника 4 квадрата
Края	14
Вершины	8
Конфигурация вершины	4 (3,4 2 ) 4 (3.4.3.4)
Группа симметрии	D 2d
Двойной многогранник	Удлиненный тетрагональный дисфеноид
Характеристики	выпуклый , сотовый
Сеть

3D модель гиробифастигия

В геометрии , то gyrobifastigium является 26 - Джонсон твердого вещества ( J ₂₆ ). Его можно построить, соединив две треугольные призмы с правильными гранями вдоль соответствующих квадратных граней, образуя четверть оборота одной призмы. ^[1] Это единственное твердое тело Джонсона, которое может замощить трехмерное пространство. ^{[2] [3]}

Это также вершина неоднородной дуоантипризмы pq (если p и q больше 2). Несмотря на то , что р, д = 3 даст геометрически идентичный эквивалент Джонсон твердого тела, ему не хватает описанной сферы , которая затрагивает все вершины, для случая р = 5, Q = 5/3, что представляет собой однородный , за исключением большой duoantiprism .

Его двойник, удлиненный тетрагональный дисфеноид , можно найти как клетки двойников pq дуоантипризм.

История и имя [ править ]

Тело Джонсона - это одно из 92 строго выпуклых многогранников, которые составлены из правильных граней многоугольника, но не являются однородными многогранниками (то есть они не являются платоновыми телами , архимедовыми телами , призмами или антипризмами ). Их назвал Норман Джонсон , который впервые перечислил эти многогранники в 1966 году ^[4].

Название gyrobifastigium происходит от латинского fastigium , что означает покатая крыша. ^[5] В стандартном соглашении об именах твердых тел Джонсона, би - означает два твердых тела, соединенных их основаниями, а гироскоп - означает, что две половины скручены относительно друг друга.

Место gyrobifastigium в списке твердых тел Джонсона непосредственно перед bicupolas объясняется рассмотрением его как digonal gyrobicupola . Подобно тому, как другие правильные купола имеют чередующуюся последовательность квадратов и треугольников, окружающих один многоугольник наверху ( треугольник , квадрат или пятиугольник ), каждая половина gyrobifastigium состоит только из чередующихся квадратов и треугольников, соединенных наверху только гребнем. .

Соты [ править ]

Вращались треугольной призматической соты могут быть сконструированы путем упаковки вместе большое количество идентичных gyrobifastigiums. Гиробифастигиум - один из пяти выпуклых многогранников с правильными гранями, способных заполнять пространство (другие - куб , усеченный октаэдр , треугольная призма и гексагональная призма ), и это единственное твердое тело Джонсона, способное на это. ^{[2] [3]}

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты gyrobifastigium с правильными гранями и единичной длиной ребра могут быть легко получены из формулы высоты единичной длины ребра ^[6] следующим образом:${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}},}$

${\ displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, 0 \ right), \ left (0, \ pm {\ frac {1}) {2}}, {\ frac {{\ sqrt {3}} + 1} {2}} \ right), \ left (\ pm {\ frac {1} {2}}, 0, - {\ frac { {\ sqrt {3}} + 1} {2}} \ right).}$

Чтобы вычислить формулы для площади поверхности и объема gyrobifastigium с правильными гранями и с длиной ребра a , можно просто адаптировать соответствующие формулы для треугольной призмы: ^[7]

${\ displaystyle A = \ left (4 + {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} \ приблизительно 5.73205a ^ {2},}$^[8]

${\ displaystyle V = \ left ({\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) a ^ {3} \ приблизительно 0,86603a ^ {3}.}$^[9]

Топологически эквивалентные многогранники [ править ]

Бипризма Шмитта – Конвея – Данцера [ править ]

Бипризма Шмитта-Конвей-Данцер (также называется ВСС prototile ^[10] ) представляет собой полиэдр топологически эквивалентно gyrobifastigium, но с параллелограмма и неправильного треугольника обращена вместо квадратов и равносторонних треугольников. Подобно gyrobifastigium, он может заполнять пространство, но только апериодически или с винтовой симметрией , а не с полной трехмерной группой симметрий. Таким образом, он обеспечивает частичное решение трехмерной проблемы Эйнштейна . ^{[11] [12]}

Двойной [ править ]

Двойственный многогранник из gyrobifastigium имеет 8 граней: 4 равнобедренные треугольники , соответствующие степени-трех вершин gyrobifastigium и 4 параллелограммов , соответствующих степени-четырех экваториальных вершин.

См. Также [ править ]

• Гиробифастигий удлиненный
• Удлиненный октаэдр

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн , Gyrobifastigium ( Johnson solid ) в MathWorld .