Дуопризма

Набор форменных pq дуопризм
Тип	Призматические однородные 4-многогранники
Символ Шлефли	{p} × {q}
Диаграмма Кокстера-Дынкина
Клетки	p q-угольные призмы , q p-угольные призмы
Лица	pq квадратов , p q-угольников, q p-угольников
Края	2pq
Вершины	pq
Фигура вершины	дисфеноид
Симметрия	[p, 2, q], порядок 4pq
Двойной	дуопирамида pq
Характеристики	выпуклый , однородный по вершинам
Комплект форменных пп дуопризмов
Тип	Призматический однородный 4-многогранник
Символ Шлефли	{p} × {p}
Диаграмма Кокстера-Дынкина
Клетки	2p p-угольные призмы
Лица	п 2 квадрата , 2 п п-угольника
Края	2п 2
Вершины	п 2
Симметрия	[[p, 2, p]] = [2p, 2 + , 2p], порядок 8p 2
Двойной	пп дуопирамида
Характеристики	выпуклый , однородный по вершинам , переходный по граням

Крупный план внутри дуопризмы 23-29, спроецированный на 3-сферу, и перспектива, спроецированная на 3-пространство. Когда m и n становятся большими, дуопризма приближается к геометрии дуоцилиндра так же, как p-угольная призма приближается к цилиндру .

В геометрии с четырьмя или более измерениями дуопризма - это многогранник, полученный в результате декартова произведения двух многогранников, каждый из которых имеет два измерения или более. Декартово произведение n- многогранника и m- многогранника представляет собой ( n + m ) -многогранник, где n и m равны 2 ( многоугольник ) или выше.

Дуопризмы наименьшей размерности существуют в 4-мерном пространстве как 4-многогранники, являющиеся декартовым произведением двух многоугольников в 2-мерном евклидовом пространстве . Точнее, это набор точек:

${\ Displaystyle P_ {1} \ раз P_ {2} = \ {(x, y, z, w) | (x, y) \ in P_ {1}, (z, w) \ in P_ {2} \ }}$

где P ₁ и P ₂ - множества точек, содержащихся в соответствующих многоугольниках. Такая дуопризма является выпуклой, если оба основания выпуклы, и ограничена призматическими ячейками .

Номенклатура [ править ]

Четырехмерные дуопризмы считаются призматическими 4-многогранниками. Дуопризма, построенная из двух правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, является однородной дуопризмой .

Дуопризма, состоящая из n -полигонов и m -полигонов, называется префиксом «дуопризма» с именами базовых многоугольников, например: треугольно-пятиугольная дуопризма - это декартово произведение треугольника и пятиугольника.

Альтернативный, более краткий способ указания конкретной дуопризмы - это префикс цифрами, обозначающими базовые многоугольники, например: 3,5-дуопризма для треугольно-пятиугольной дуопризмы.

Другие альтернативные имена:

• q -угольная- p -угольная призма
• q -угольная- p -угольная двойная призма
• q -гональная- p -гональная гиперпризма

Термин дуопризма был введен Георгием Ольшевским, сокращенно от двойной призмы . Джон Хортон Конвей предложил подобное название « пропризма» для призмы произведения , декартова произведения двух или более многогранников размерности не менее двух. Дуопризма - это пропризмы, образованные ровно из двух многогранников.

Пример 16-16 дуопризма [ править ]

Геометрия 4-х мерных дуопризм [ править ]

4-мерная равномерная duoprism создается произведением регулярного п односторонний многоугольника и регулярным м односторонний многоугольника с одной и той же длиной кромки. Он ограничен n m -угольными призмами и m n -угольными призмами. Например, декартово произведение треугольника и шестиугольника - это дуопризма, ограниченная 6 треугольными призмами и 3 шестиугольными призмами.

• Когда m и n идентичны, результирующая дуопризма ограничена 2 n идентичными n -угольными призмами. Например, декартово произведение двух треугольников - это дуопризма, ограниченная 6 треугольными призмами.
• Когда m и n равны 4, результирующая дуопризма ограничена 8 квадратными призмами ( кубами ) и идентична тессеракту .

В м -gonal призмы соединены друг с другом через их м -gonal граней, и образуют замкнутую петлю. Точно так же n -угольные призмы прикреплены друг к другу своими n- угольными гранями и образуют вторую петлю, перпендикулярную первой. Эти две петли прикреплены друг к другу квадратными гранями и взаимно перпендикулярны.

Когда m и n приближаются к бесконечности, соответствующие дуопризмы приближаются к дуоцилиндру . Таким образом, дуопризмы полезны как неквадрические аппроксимации дуоцилиндра.

Сети [ править ]

Перспективные проекции [ править ]

Перспективная проекция с центром в ячейках делает дуопризму похожей на тор с двумя наборами ортогональных ячеек, p-угольными и q-угольными призмами.

Дуопризма pq идентичны дуопризмам qp, но выглядят по-разному в этих проекциях, потому что они проецируются в центре разных клеток.

Ортогональные проекции [ править ]

Вершинно-центрированные ортогональные проекции pp-дуопризм проецируются в симметрию [2n] для нечетных степеней и [n] для четных степеней. В центр проецируются n вершин. Для 4,4 он представляет собой плоскость Кокстера A ³ тессеракта . Проекция 5,5 идентична трехмерному ромбическому триаконтаэдру .

Связанные многогранники [ править ]

Регулярно перекос полиэдр , {4,4 | п}, существует в 4-пространстве, что и п ² квадратных граней яя duoprism , используя все 2n ² ребер и п ² вершин. 2 n n -угольные грани можно увидеть как удаленные. (косые многогранники можно увидеть точно так же с помощью дуопризмы нм, но они не правильные .)

Дуоантипризма [ править ]

Подобно антипризмам как чередующимся призмам , существует набор 4-мерных дуоантипризм: 4-многогранников, которые могут быть созданы операцией чередования, примененной к дуопризме. Чередующиеся вершины создают нерегулярные тетраэдрические ячейки, за исключением особого случая, 4-4 дуопризмы ( тессеракт ), которая создает однородные (и регулярные) 16-ячеечные ячейки . 16-ячеечная - единственная выпуклая однородная дуоантипризма.

Дуопризма , t _0,1,2,3 {p, 2, q}, можно преобразовать в, ht _0,1,2,3 {p, 2, q}, «дуоантипризмы», которые в общем случае нельзя сделать единообразными. Единственное выпуклое равномерное решение - это тривиальный случай p = q = 2, который представляет собой конструкцию тессеракта с более низкой симметрией. , t _0,1,2,3 {2,2,2}, с его чередованием как 16- _{ячеечный} ,, с {2} с {2}.

Единственное невыпуклое равномерное решение - это p = 5, q = _5/3 , ht _0,1,2,3 {5,2,5 / 3},, построенный из 10 пятиугольных антипризм , 10 пентаграмматических скрещенных антипризм и 50 тетраэдров, известных как большая дуоантипризма (гудап). ^{[1] [2]}

Ditetragoltriates [ править ]

Также связаны дитетрагольтриаты или октагольтриаты, образованные преобразованием восьмиугольника (считающегося двуугольником или усеченным квадратом) в p-угольник. Восьмиугольник из п-угольник может быть четко определенно , если предположить , что восьмиугольника является выпуклой оболочкой из двух перпендикулярных прямоугольников ; тогда p-угольный дитетрагольтриат представляет собой выпуклую оболочку двух pp-дуопризм (где p-угольники подобны, но не конгруэнтны, имеют разные размеры) в перпендикулярных ориентациях. Полученный полихорон изогонален и имеет 2p p-угольные призмы и p ² прямоугольные трапеции ( куб с симметрией D _2d ), но не может быть однородным. Фигура вершины - треугольная бипирамида..

Двойные антипризмоиды [ править ]

Как дуоантипризмы как чередующиеся дуопризмы, существует набор p-угольных двойных антипризмоидов, созданных чередованием 2p-угольных дитетраголтриатов, созданием p-гональных антипризм и тетраэдров, одновременно интерпретируя некореальмические треугольные бипирамидные пространства как два тетраэдра. Результирующая фигура, как правило, неоднородна, за исключением двух случаев: большая антипризма и ее сопряженная, пентаграмматическая двойная антипризмоида (с p = 5 и 5/3 соответственно), представленная как чередование декагональной или декаграмматической дитетрагольтриата. Вершинная фигура - вариант сфенокорона .

k_22 многогранники [ править ]

3-3 duoprism , -1 ₂₂ , является первым в размерном ряде однородных многогранников, выраженный Кокстер при к ₂₂ серии. Дуопризма 3-3 является вершиной второго, двунаправленного 5-симплекса . Четвертая цифра является евклидов сотовой, 2 22 , и последний является паракомпактной гиперболической сотовым, 3 ₂₂ , с группой Кокстера [3 ^2,2,3 ] . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершина .${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {7}}$

k ₂₂ фигур в размерах n

Космос	Конечный			Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8
Группа Коксетера	А 2 А 2	E 6	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$= E 6 +	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {7}}$= E 6 ++
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[[3 2,2, -1 ]]	[[3 2,2,0 ]]	[[3 2,2,1 ]]	[[3 2,2,2 ]]	[[3 2,2,3 ]]
Заказ	72	1440	103 680	∞
График				∞	∞
Имя	−1 22	0 22	1 22	2 22	3 22

См. Также [ править ]

• Многогранник и 4-многогранник
• Выпуклый правильный 4-многогранник
• Дуоцилиндр
• Тессеракт

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Регулярные многогранники , HSM Coxeter , Dover Publications, Inc., 1973, Нью-Йорк, стр. 124.
• Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN  0-486-40919-8 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги)
  • Кокстер, Правильные косые многогранники HSM в трех и четырех измерениях. Proc. Лондонская математика. Soc. 43, 33-62, 1937.
• Простое объяснение четвертого измерения , Генри П. Мэннинг, Munn & Company, 1910, Нью-Йорк. Доступно в библиотеке Университета Вирджинии. Также доступно в Интернете: «Простое объяснение четвертого измерения» - содержит описание дуопризм (двойных призм) и дуоцилиндров (двойных цилиндров). Googlebook
• Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26) 
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.