В геометрии , расширение является многогранник операция , при которой грани разделены и перемещается в радиальном направлении друг от друга, и новые грани образованы на отделенных элементов (вершины, ребра и т.д.). Точно так же эту операцию можно представить, сохраняя фасеты в одном и том же положении, но уменьшая их размер.
Расширение правильного многогранника создает однородный многогранник , но эту операцию можно применить к любому выпуклому многограннику, как показано для многогранников в нотации многогранников Конвея . Для многогранников расширенный многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойного многогранника и новые квадратные грани вместо исходных ребер.
Расширение правильных многогранников [ править ]
Согласно Кокстеру , этот многомерный термин был определен Алисией Буль Стотт [1] для создания новых многогранников, в частности, начиная с правильных многогранников для построения новых однородных многогранников .
Операция разложения симметрична относительно правильного многогранника и двойственного к нему . Результирующая фигура содержит грани как обычного, так и двойного, а также различные призматические грани, заполняющие промежутки между промежуточными размерными элементами.
Он имеет несколько иное значение по размеру . В конструкции Wythoff расширение создается за счет отражений от первого и последнего зеркал. В более высоких измерениях расширения более низких измерений могут быть записаны с нижним индексом, поэтому e 2 совпадает с t 0,2 в любом измерении.
По размеру:
- Правильный многоугольник {p} расширяется до правильного 2n-угольника.
- Операция идентична усечению для многоугольников, e {p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t {p}, и имеет диаграмму Кокстера-Дынкина.
.
- Операция идентична усечению для многоугольников, e {p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t {p}, и имеет диаграмму Кокстера-Дынкина.
- Правильный многогранник {p, q} (3-многогранник) расширяется в многогранник с вершиной фигуры p.4.q.4 .
- Эта операция для многогранников также называется раскладкой , e {p, q} = e 2 {p, q} = t 0,2 {p, q} = rr {p, q}, и имеет диаграмму Кокстера.
- Например, ромбокубооктаэдр можно назвать расширенным кубом , расширенным октаэдром , а также скошенным кубом или скошенным октаэдром .
- Эта операция для многогранников также называется раскладкой , e {p, q} = e 2 {p, q} = t 0,2 {p, q} = rr {p, q}, и имеет диаграмму Кокстера
- Правильный 4-многогранник {p, q, r} (4-многогранник) расширяется в новый 4-многогранник с исходными ячейками {p, q}, новыми ячейками {r, q} вместо старых вершин, p- угольные призмы вместо старых граней и r-угольные призмы вместо старых граней.
- Эта операция для 4-многогранников также называется runcination , e {p, q, r} = e 3 {p, q, r} = t 0,3 {p, q, r}, и имеет диаграмму Кокстера.
- Эта операция для 4-многогранников также называется runcination , e {p, q, r} = e 3 {p, q, r} = t 0,3 {p, q, r}, и имеет диаграмму Кокстера
- Точно так же регулярный 5-многогранник {p, q, r, s} расширяется в новый 5-многогранник с гранями {p, q, r}, {s, r, q}, {p, q} × {} призмами , Призмы {s, r} × {} и дуопризмы {p} × {s} .
- Эта операция называется стеризацией , e {p, q, r, s} = e 4 {p, q, r, s} = t 0,4 {p, q, r, s} = 2r2r {p, q, r , s} и имеет диаграмму Кокстера.
- Эта операция называется стеризацией , e {p, q, r, s} = e 4 {p, q, r, s} = t 0,4 {p, q, r, s} = 2r2r {p, q, r , s} и имеет диаграмму Кокстера
Общий оператор расширения правильного n-многогранника - это t 0, n-1 {p, q, r, ...}. Новые правильные грани добавляются к каждой вершине, а новые призматические многогранники добавляются к каждому разделенному ребру, грани, ... гребню и т. Д.
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ Кокстер, Правильные многогранники (1973), стр. 123. с.210.
Ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Расширение» . MathWorld .
- Кокстер, HSM , Правильные многогранники . 3-е издание, Довер, (1973) ISBN 0-486-61480-8 .
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
| Семя | Усечение | Исправление | Bitruncation | Двойной | Расширение | Омнитуркация | Чередования | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
     |  | | | | | |  | | |
| т 0 {p, q} {p, q} | t 01 {p, q} t {p, q} | т 1 {p, q} r {p, q} | t 12 {p, q} 2t {p, q} | t 2 {p, q} 2r {p, q} | t 02 {p, q} rr {p, q} | t 012 {p, q} tr {p, q} | ht 0 {p, q} h {q, p} | ht 12 {p, q} s {q, p} | ht 012 {p, q} sr {p, q} |