Эмануэль Лодевейк Элте

Эмануэль Лодевийк Элте (16 марта 1881 г. в Амстердаме - 9 апреля 1943 г. в Собиборе ) ^[1] был голландским математиком . Он известен открытием и классификацией полуправильных многогранников в размерности четыре и выше.

Отец Элте, Хартог Элте, был директором школы в Амстердаме. Эмануэль Элте женился на Ребекке Сторк в 1912 году в Амстердаме, когда он был учителем в средней школе в этом городе. К 1943 году семья жила в Харлеме . Когда 30 января того же года в этом городе был застрелен немецкий офицер, в отместку 100 жителей Харлема были отправлены в лагерь Вугт , включая Элте и его семью. Как евреи, он и его жена были депортированы в Собибор, где оба умерли, а двое его детей умерли в Освенциме . ^[1]

Полуправильные многогранники Элте первого рода [ править ]

Его работа вновь конечные полурегулярные многогранники из Thorold Госса , а в дальнейшем позволяет не только регулярные грани , но рекурсивен также позволяет один или два полурегулярных них. Они были перечислены в его книге 1912 года «Полурегулярные многогранники гиперпространств» . ^[2] Он назвал их полуправильными многогранниками первого рода , ограничив свой поиск одним или двумя типами регулярных или полуправильных k- граней. Эти и другие многогранники были снова открыты Кокстером и переименованы как часть более крупного класса однородных многогранников . ^[3]В процессе он обнаружил всех основных представителей исключительного семейства многогранников E _n , кроме 1 _42, которые не удовлетворяли его определению полурегулярности.

Резюме полуправильных многогранников первого рода ^[4]

п	Обозначение Elte	Вершины	Края	Лица	Клетки	Грани	Символ Шлефли	Символ Кокстера	Диаграмма Кокстера
Многогранники ( архимедовы тела )
3	tT	12	18	4p 3 + 4p 6			т {3,3}
	tC	24	36	6п 8 + 8п 3			т {4,3}
	к	24	36	6п 4 + 8п 6			т {3,4}
	tD	60	90	20п 3 + 12п 10			т {5,3}
	tI	60	90	20п 6 + 12п 5			т {3,5}
	TT = O	6	12	(4 + 4) п 3			г {3,3} = {3 1,1 }	0 11
	CO	12	24	6п 4 + 8п 3			г {3,4}
	Я БЫ	30	60	20п 3 + 12п 5			г {3,5}
	P q	2кв.	4кв.	2п д + дп 4			т {2, q}
	AP q	2кв.	4кв.	2р д + 2QP 3			с {2,2q}
полуправильные 4-многогранники
4	tC 5	10	30	(10 + 20) п 3	5O + 5T		г {3,3,3} = {3 2,1 }	0 21
	tC 8	32	96	64p 3 + 24p 4	8CO + 16T		г {4,3,3}
	tC 16 = C 24 (*)	48	96	96p 3	(16 + 8) O		г {3,3,4}
	tC 24	96	288	96 п. 3 + 144 п. 4	24 СО + 24 ° С		г {3,4,3}
	tC 600	720	3600	(1200 + 2400) стр. 3	600O + 120 I		г {3,3,5}
	тС 120	1200	3600	2400 п. 3 + 720 п. 5	120ID + 600T		г {5,3,3}
	HM 4 = C 16 (*)	8	24	32 п. 3	(8 + 8) т		{3,3 1,1 }	1 11
	-	30	60	20 п 3 + 20 п 6	(5 + 5) tT		2 т {3,3,3}
	-	288	576	192 п 3 + 144 п 8	(24 + 24) тС		2 т {3,4,3}
	-	20	60	40 п 3 + 30 п 4	10 т + 20 ч 3		т 0,3 {3,3,3}
	-	144	576	384 с. 3 + 288 с. 4	48О + 192 П 3		т 0,3 {3,4,3}
	-	q 2	2 кв 2	q 2 p 4 + 2 qp q	( q + q ) P q		2t { q , 2, q }
полуправильные 5-многогранники
5	С 5 1	15	60	(20 + 60) п 3	30 лет + 15 лет	6C 5 + 6tC 5	г {3,3,3,3} = {3 3,1 }	0 31
	С 5 2	20	90	120p 3	30 лет + 30 лет	(6 + 6) С 5	2r {3,3,3,3} = {3 2,2 }	0 22
	HM 5	16	80	160p 3	(80 + 40) т	16C 5 + 10C 16	{3,3 2,1 }	1 21
	Кр 5 1	40	240	(80 + 320) п. 3	160T + 80O	32тС 5 + 10С 16	г {3,3,3,4}
	Cr 5 2	80	480	(320 + 320) п 3	80T + 200O	32тС 5 + 10С 24	2r {3,3,3,4}
полуправильные 6-многогранники
6	С 6 1 (*)						г {3 5 } = {3 4,1 }	0 41
	С 6 2 (*)						2r {3 5 } = {3 3,2 }	0 32
	HM 6	32	240	640p 3	(160 + 480) т	32S 5 + 12HM 5	{3,3 3,1 }	1 31
	V 27	27	216	720p 3	1080 т	72S 5 + 27HM 5	{3,3,3 2,1 }	2 21
	V 72	72	720	2160p 3	2160T	(27 + 27) HM 6	{3,3 2,2 }	1 22
полуправильные 7-многогранники
7	С 7 1 (*)						г {3 6 } = {3 5,1 }	0 51
	С 7 2 (*)						2r {3 6 } = {3 4,2 }	0 42
	С 7 3 (*)						3r {3 6 } = {3 3,3 }	0 33
	HM 7 (*)	64	672	2240p 3	(560 + 2240) т	64S 6 + 14HM 6	{3,3 4,1 }	1 41
	V 56	56	756	4032p 3	10080 т	576S 6 + 126Cr 6	{3,3,3,3 2,1 }	3 21
	V 126	126	2016 г.	10080p 3	20160T	576S 6 + 56V 27	{3,3,3 3,1 }	2 31
	V 576	576	10080	40320p 3	(30240 + 20160) т	126HM 6 + 56V 72	{3,3 3,2 }	1 32
полуправильные 8-многогранники
8	С 8 1 (*)						г {3 7 } = {3 6,1 }	0 61
	С 8 2 (*)						2r {3 7 } = {3 5,2 }	0 52
	С 8 3 (*)						3r {3 7 } = {3 4,3 }	0 43
	HM 8 (*)	128	1792	7168p 3	(1792 + 8960) т	128S 7 + 16HM 7	{3,3 5,1 }	1 51
	V 2160	2160	69120	483840p 3	1209600T	17280S 7 + 240В 126	{3,3,3 4,1 }	2 41
	V 240	240	6720	60480p 3	241920T	17280S 7 + 2160Cr 7	{3,3,3,3,3 2,1 }	4 21

(*) Добавлен в эту таблицу как последовательность, которую Elte распознала, но не перечислила явно

Семейства регулярных размеров:

• S _n = n - симплекс : S 3 , S 4 , S 5 , S 6 , S 7 , S 8 , ...
• M _n = n - куб = многогранник с мерой: M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7 , M 8 , ...
• HM _n = n - demicube = многогранник полумеры : HM 3 , HM 4 , M 5 , M 6 , HM 7 , HM 8 , ...
• Cr _n = n - ортоплекс = кросс-политоп: Cr 3 , Cr 4 , Cr 5 , Cr 6 , Cr 7 , Cr 8 , ...

Полуправильные многогранники первого порядка:

• V _n = полуправильный многогранник с n вершинами

Полигоны

• P _n = правильный n -угольник

Многогранники:

• Обычные: T , C , O , I , D
• Усечено: tT , tC , tO , tI , tD
• Квазирегулярный (исправленный): CO , ID
• Собранный: RCO , RID
• Усеченный квазирегулярный ( всенаправленный ): tCO , tID
• Призматические: P n , AP n

4-многогранники:

• C _n = Правильные 4-многогранники с n ячейками: C 5 , C 8 , C 16 , C 24 , C 120 , C 600
• Ректифицированные: tC 5 , tC 8 , tC 16 , tC 24 , tC 120 , tC 600

См. Также [ править ]

• Цифры Госсета – Элте

Заметки [ править ]