24-элементный | Усеченный 24-элементный | 24-ячеечная с усеченной битой | |
Диаграммы Шлегеля с центром в одном [3,4] (ячейки в противоположных точках в [4,3]) |
В геометрии , A усечен 24-клеток является равномерным 4-многогранником (4-мерный равномерный многогранник ) формируются как усечения регулярной 24-клетки .
Есть две степени усечения, включая битовое усечение .
Усеченный 24-элементный
Диаграмма Шлегеля | ||
---|---|---|
Усеченный 24-элементный | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символы Шлефли | t {3,4,3} tr {3,3,4} = т {3 1,1,1 } = | |
Диаграмма Кокстера | ||
Клетки | 48 | 24 4.6.6 24 4.4.4 |
Лица | 240 | 144 {4} 96 {6} |
Края | 384 | |
Вершины | 192 | |
Фигура вершины | равносторонняя треугольная пирамида | |
Группа симметрии | F 4 [3,4,3], заказ 1152 | |
Подгруппа вращения | [3,4,3] + , заказ 576 | |
Подгруппа коммутатора | [3 + , 4,3 + ], заказ 288 | |
Характеристики | выпуклый | |
Единый индекс | 23 24 25 |
Усеченный 24-клетки или усеченная icositetrachoron представляет собой однородный 4-мерный многогранник (или равномерный 4-многогранник ), который ограничен 48 клеток : 24 кубиков , и 24 усеченного октаэдра . Каждая вершина соединяет три усеченных октаэдра и один куб в форме вершины равносторонней треугольной пирамиды .
Строительство
Усеченные 24-клетки могут быть построены из многогранников с тремя группами симметрии:
- F 4 [3,4,3]: A усечение из 24-клетки .
- В 4 [3,3,4]: A cantitruncation из 16-клетки , с двумя семействами усеченной октаэдрической клеток.
- D 4 [3 1,1,1 ]: omnitruncation из demitesseract , с тремя семействами усеченных октаэдрических клеток.
Группа Коксетера | = [3,4,3] | = [4,3,3] | = [3,3 1,1 ] |
---|---|---|---|
Символ Шлефли | т {3,4,3} | tr {3,3,4} | т {3 1,1,1 } |
Заказ | 1152 | 384 | 192 |
Полная группа симметрии | [3,4,3] | [4,3,3] | <[3,3 1,1 ]> = [4,3,3] [3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3] |
Диаграмма Кокстера | |||
Грани | 3: 1: | 2: 1: 1: | 1,1,1: 1: |
Фигура вершины |
Зонотоп
Это также зонотоп : он может быть сформирован как сумма Минковского шести отрезков прямых, соединяющих противоположные пары среди двенадцати перестановок вектора (+ 1, −1,0,0).
Декартовы координаты
Все декартовы координаты вершин усеченной 24-ячейки с длиной ребра sqrt (2) представляют собой перестановки координат и комбинации знаков:
- (0,1,2,3) [4! × 2 3 = 192 вершины]
Двойственная конфигурация имеет координаты при всех перестановках координат и знаки
- (1,1,1,5) [4 × 2 4 = 64 вершины]
- (1,3,3,3) [4 × 2 4 = 64 вершины]
- (2,2,2,4) [4 × 2 4 = 64 вершины]
Состав
24 кубических ячейки соединены своими квадратными гранями с усеченными октаэдрами; и 24 усеченных октаэдра соединены друг с другом своими шестиугольными гранями.
Прогнозы
Параллельная проекция усеченной 24-элементной ячейки в трехмерное пространство, сначала усеченный октаэдр, имеет следующую схему:
- Огибающая проекции представляет собой усеченный кубооктаэдр .
- Два усеченных октаэдра выступают на усеченный октаэдр, лежащий в центре оболочки.
- Шесть кубовидных объемов соединяют квадратные грани этого центрального усеченного октаэдра с центром восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра. Это изображения 12 кубических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.
- 12 квадратных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями остальных 12 кубов.
- Шесть восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями шести усеченных октаэдров.
- 8 (неоднородных) усеченных октаэдров, лежащих между шестиугольными гранями оболочки проекции и центральным усеченным октаэдром, являются изображениями остальных 16 усеченных октаэдров, пары ячеек для каждого изображения.
Изображений
Самолет Кокстера | П 4 | |
---|---|---|
График | ||
Двугранная симметрия | [12] | |
Самолет Кокстера | B 3 / A 2 (а) | B 3 / A 2 (б) |
График | ||
Двугранная симметрия | [6] | [6] |
Самолет Кокстера | В 4 | B 2 / A 3 |
График | ||
Двугранная симметрия | [8] | [4] |
Диаграмма Шлегеля ( видны кубические ячейки) | Диаграмма Шлегеля 8 из 24 видимых усеченных октаэдрических ячеек |
Стереографическая проекция с центром на усеченном тетраэдре |
Усеченный 24-элементный | Двойной на усеченный 24-элементный |
Связанные многогранники
Выпуклая оболочка усеченной 24-ячейки и двойственной ей (в предположении, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 480 ячеек: 48 кубов , 144 квадратных антипризмы , 288 тетраэдров (в виде тетрагональных дифеноидов) и 384 вершины. Его вершина - треугольный купол гексакиса .
Фигура вершины
24-ячеечная с усеченной битой
24-ячеечная с усеченной битой | ||
---|---|---|
Диаграмма Шлегеля с центром на усеченном кубе со скрытыми альтернативными ячейками | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | 2т {3,4,3} | |
Диаграмма Кокстера | ||
Клетки | 48 ( 3,8,8 ) | |
Лица | 336 | 192 {3} 144 {8} |
Края | 576 | |
Вершины | 288 | |
Фигурка края | 3.8.8 | |
Фигура вершины | тетрагональный дисфеноид | |
двойственный многогранник | Дисфеноидальный 288-элементный | |
Группа симметрии | Aut (F 4 ), [[3,4,3]], заказ 2304 | |
Характеристики | выпуклый , изогональный , изотоксальный , изохорный | |
Единый индекс | 26 27 28 |
Bitruncated 24-клетки . 48-клеточный , или тетраконтоктахорон - это 4-мерный однородный многогранник (или однородный 4-многогранник ), полученный из 24-клеточного .
EL Elte определил его в 1912 г. как полуправильный многогранник.
Он создается путем усечения 24-ячеек по битам (усечения на полпути до глубины, которая дает двойные 24-ячейки).
Будучи равномерным 4-многогранником, он вершинно-транзитивен . Кроме того, он является ячейко-транзитивным , состоит из 48 усеченных кубов , а также реберно-транзитивным , с 3 усеченными кубическими ячейками на ребро и с одним треугольником и двумя восьмиугольниками вокруг каждого ребра.
48 ячеек усеченной битовой ячейки 24 ячейки соответствуют 24 ячейкам и 24 вершинам 24 ячейки. Таким образом, центры 48 клеток образуют корневую систему типа F 4 .
Его вершинная фигура представляет собой тетрагональный дисфеноид , тетраэдр с двумя противоположными ребрами длиной 1 и всеми четырьмя боковыми ребрами длиной √ (2 + √2).
Альтернативные названия
- 24-ячеечная усеченная информация ( Norman W. Johnson )
- 48-клеточный как клеточно-транзитивный 4-многогранник
- Bitruncated icositetrachoron
- Битрорезанный полиоктаэдр
- Тетраконтаоктахорон (продолжение) (Джонатан Бауэрс)
Состав
Усеченные кубы соединены друг с другом восьмигранными гранями в противоположной ориентации; я. е., два смежных усеченных куба повернуты на 45 градусов относительно друг друга, так что никакие две треугольные грани не имеют общего ребра.
Последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными восьмиугольными гранями, образуют цикл из 8. Каждый усеченный куб принадлежит 3 таким циклам. С другой стороны, последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом противоположными треугольными гранями, образует цикл из 6. Каждый усеченный куб принадлежит 4 таким циклам.
В матрице конфигурации показаны все числа инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью конструкции Wythoff , деля полного порядка группы в порядке подгруппы, удаляя по одному зеркалу за раз. Края существуют в 4 положениях симметрии. Квадраты существуют в трех положениях, шестиугольники - в двух, а восьмиугольники - в одном. Наконец, существуют 4 типа ячеек с центрами в 4 углах основного симплекса. [1]
П 4 | k -face | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | k -фигура | Заметки | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 1 А 1 | () | f 0 | 288 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | с {2,4} | F 4 / A 1 A 1 = 288 | |
{} | f 1 | 2 | 288 | * | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | {} v () | |||
2 | * | 288 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | ||||||
А 2 А 1 | {3} | ж 2 | 3 | 3 | 0 | 96 | * | * | 2 | 0 | {} | F 4 / A 2 A 1 = 1152/6/2 = 96 | |
В 2 | т {4} | 8 | 4 | 4 | * | 144 | * | 1 | 1 | F 4 / B 2 = 1152/8 = 144 | |||
А 2 А 1 | {3} | 3 | 0 | 3 | * | * | 96 | 0 | 2 | F 4 / A 2 A 1 = 1152/6/2 = 96 | |||
В 3 | т {4,3} | ж 3 | 24 | 24 | 12 | 8 | 6 | 0 | 24 | * | () | F 4 / B 3 = 1152/48 = 24 | |
24 | 12 | 24 | 0 | 6 | 8 | * | 24 |
Координаты
Все декартовы координаты усеченной битом 24-ячейки с длиной ребра 2 представляют собой перестановки координат и знака:
- (0, 2 + √2, 2 + √2, 2 + 2√2)
- (1, 1 + √2, 1 + √2, 3 + 2√2)
Прогнозы
Проецирование в 2 измерения
Самолет Кокстера | П 4 | В 4 |
---|---|---|
График | ||
Двугранная симметрия | [[12]] = [24] | [8] |
Самолет Кокстера | B 3 / A 2 | B 2 / A 3 |
График | ||
Двугранная симметрия | [6] | [[4]] = [8] |
Проекция в 3-х измерениях
Орфографический | Перспектива |
---|---|
Следующая анимация показывает ортогональную проекцию усеченных битом 24-ячеек в 3-х измерениях. Сама анимация представляет собой перспективную проекцию из статического 3D-изображения в 2D, с добавленным вращением, чтобы сделать его структуру более очевидной. Образы 48 усеченных кубиков выложены следующим образом:
| Следующая анимация показывает перспективную проекцию усеченных битом 24-ячеек в 3-х измерениях. Его структура такая же, как и у предыдущей анимации, за исключением некоторого ракурса из-за перспективной проекции.
|
Связанный правильный косой многогранник
Регулярно перекос полиэдр , {8,4 | 3}, существует в 4-пространстве с 4 восьмиугольной вокруг каждой вершины, в зигзагами неплоской вершины фигуры. Эти восьмиугольные грани можно увидеть на усеченных битами 24 ячейках, использующих все 576 ребер и 288 вершин. 192 треугольных грани усеченных битом 24-ячеек можно увидеть как удаленные. Двойной правильный косой многогранник, {4,8 | 3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями круглой 24-ячейки .
Дисфеноидальный 288-элементный
Дисфеноидальный 288-элементный | ||
---|---|---|
Тип | идеальный [2] полихорон | |
Символ | f 1,2 F 4 [2] (1,0,0,0) F 4 ⊕ (0,0,0,1) F 4 [3] | |
Coxeter | ||
Клетки | 288 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов | |
Лица | 576 равнобедренных конгруэнтных (2 коротких) ребра | |
Края | 336 | 192 длины 144 длины |
Вершины | 48 | |
Фигура вершины | ( Октаэдр Триаки ) | |
Двойной | 24-ячеечная с усеченной битой | |
Группа Коксетера | Aut (F 4 ), [[3,4,3]], заказ 2304 | |
Вектор орбиты | (1, 2, 1, 1) | |
Характеристики | выпуклый , изохорный |
Disphenoidal 288-клеток является двойным из bitruncated 24-клетки . Это 4-мерный многогранник (или полихорон ), полученный из 24-ячеек . Он создается путем удвоения и поворота 24-ячейки, а затем построения выпуклой оболочки .
Будучи двойником однородного полихорона, он клеточно-транзитивный , состоящий из 288 конгруэнтных тетрагональных дифеноидов . Кроме того, он вершинно-транзитивен относительно группы Aut (F 4 ). [3]
Изображений
Самолеты Кокстера | В 2 | В 3 | П 4 |
---|---|---|---|
Дисфеноидальный 288-элементный | |||
24- ячеечная с обрезкой битов |
Геометрия
Вершины 288-ячейки - это в точности 24 единичных кватерниона Гурвица с квадратом нормы 1, объединенные с 24 вершинами двойственной 24-ячейки с квадратом нормы 2, спроецированной на единичную 3-сферу . Эти 48 вершин соответствуют бинарной группе октаэдра <2,3,4> порядка 48.
Таким образом, 288-ячейка является единственным нерегулярным 4-многогранником, который является выпуклой оболочкой кватернионной группы, не говоря уже о бесконечном числе дициклических (таких же, как бинарные диэдральные) группы; обычные - это 24-элементный (≘ 2T , <2,3,3>, порядок 24) и 600-элементный (≘ 2I , <2,3,5>, порядок 120). ( 16-ячейка соответствует бинарной диэдральной группе 2D 2 , <2,2,2>, порядок 16.)
Вписано 3-сфера имеет радиус 1/2 + √ 2 /4 ≈ 0.853553 и касается 288-клеток в центрах 288 тетраэдров , которые являются вершинами двойственной bitruncated 24-клетки.
Вершины могут быть окрашены в 2 цвета , например красный и желтый, при этом 24 единицы Гурвица - красным, а 24 двойных - желтым, причем желтые 24 ячейки соответствуют красному. Таким образом, продукт двух одинаково окрашенных кватернионов является красным, а продукт двух смешанных цветов - желтым.
Имеется 192 длинных ребра длиной 1, соединяющих одинаковые цвета, и 144 коротких ребра длиной √ 2– √ 2 ≈ 0,765367, соединяющих смешанные цвета. 192 * 2/48 = 8 длинных и 144 * 2/48 = 6 коротких, то есть вместе 14 ребер пересекаются в любой вершине.
576 граней равнобедренные, с одной длинной и двумя короткими сторонами , все они совпадают. Углы у основания являются агссоз ( √ 4 + √ 8 /4) ≈ 49,210 °. 576 * 3/48 = 36 граней встречаются в вершине, 576 * 1/192 = 3 на длинном крае и 576 * 2/144 = 8 на коротком.
288 ячеек представляют собой тетраэдры с 4 короткими ребрами и 2 противоположными и перпендикулярными длинными ребрами, одна из которых соединяет 2 красные, а другие 2 желтые вершины. Все клетки совпадают. 288 * 4/48 = 24 клетки пересекаются в вершине. 288 * 2/192 = 3 ячейки встречаются на длинном крае, 288 * 4/144 = 8 - на коротком. 288 * 4/576 = 2 ячейки встречаются в треугольнике.
Область, край | Слой | Широта | красный | желтый |
---|---|---|---|---|
Северное полушарие | 3 | 1 | 1 | 0 |
2 | √ 2 /2 | 0 | 6 | |
1 | 1/2 | 8 | 0 | |
Экватор | 0 | 0 | 6 | 12 |
Южное полушарие | –1 | –1/2 | 8 | 0 |
–2 | - √ 2 /2 | 0 | 6 | |
–3 | –1 | 1 | 0 | |
Общее | 24 | 24 |
Размещение фиксированной красной вершины на северном полюсе (1,0,0,0), есть 6 желтые вершин в следующей глубже «широта» в точке ( √ 2 /2, х, у, г), а затем 8 красных вершин на широте (1/2, x, y, z). Следующая более глубокая широта - это гиперплоскость экватора, пересекающая 3-сферу в 2-сфере, которая населена 6 красными и 12 желтыми вершинами.
Слой 2 - это 2-сфера, описывающая правильный октаэдр, ребра которого имеют длину 1. Тетраэдр с вершинным северным полюсом имеет одно из этих ребер как длинное ребро, две вершины которого соединены короткими ребрами с северным полюсом. Другой длинный край идет от северного полюса в слой 1 и короткие края оттуда в слой 2 .
Связанные многогранники
D 4 однородная полихора | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,3 1,1 } ч {4,3,3} | 2r {3,3 1,1 } ч 3 {4,3,3} | т {3,3 1,1 } ч 2 {4,3,3} | 2т {3,3 1,1 } ч 2,3 {4,3,3} | г {3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3} | rr {3,3 1,1 } r {3 1,1,1 } = r {3,4,3} | tr {3,3 1,1 } t {3 1,1,1 } = t {3,4,3} | sr {3,3 1,1 } s {3 1,1,1 } = s {3,4,3} |
B 4 семейство однородных многогранников:
Многогранники симметрии B4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | тессеракт | исправленный тессеракт | усеченный тессеракт | скошенный тессеракт | беглый тессеракт | усеченный битовый тессеракт | усеченный тессеракт | runcitурезанный тессеракт | полностью усеченный тессеракт | ||
Диаграмма Кокстера | знак равно | знак равно | |||||||||
Символ Шлефли | {4,3,3} | т 1 {4,3,3} r {4,3,3} | т 0,1 {4,3,3} т {4,3,3} | т 0,2 {4,3,3} рр {4,3,3} | т 0,3 {4,3,3} | т 1,2 {4,3,3} 2 т {4,3,3} | t 0,1,2 {4,3,3} tr {4,3,3} | т 0,1,3 { 4,3,3 } | т 0,1,2,3 { 4,3,3 } | ||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
В 4 | |||||||||||
Имя | 16 ячеек | выпрямленный 16-элементный | усеченный 16-элементный | скошенный 16-элементный | беглый 16-ти клеточный | усеченный битами 16 ячеек | усеченный 16-элементный | усеченный 16-элементный | усеченная 16-ячеечная | ||
Диаграмма Кокстера | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | |||||
Символ Шлефли | {3,3,4} | т 1 {3,3,4} r {3,3,4} | т 0,1 {3,3,4} т {3,3,4} | т 0,2 {3,3,4} рр {3,3,4} | т 0,3 {3,3,4} | т 1,2 {3,3,4} 2 т {3,3,4} | t 0,1,2 {3,3,4} tr {3,3,4} | т 0,1,3 {3,3,4} | т 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
В 4 |
Семейство однородных многогранников F 4 :
24-элементные семейные многогранники | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | 24-элементный | усеченный 24-элементный | курносый 24-элементный | выпрямленный 24-элементный | наклонный 24-элементный | усеченный битами 24 ячейки | усеченный 24-элементный | беглый 24-элементный | усеченный 24-элементный | омниусеченный 24-элементный | |
Символ Шлефли | {3,4,3} | т 0,1 {3,4,3} т {3,4,3} | с {3,4,3} | т 1 {3,4,3} r {3,4,3} | т 0,2 {3,4,3} рр {3,4,3} | т 1,2 {3,4,3} 2 т {3,4,3} | t 0,1,2 {3,4,3} tr {3,4,3} | т 0,3 {3,4,3} | т 0,1,3 {3,4,3} | т 0,1,2,3 {3,4,3} | |
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
П 4 | |||||||||||
В 4 | |||||||||||
В 3 (а) | |||||||||||
В 3 (б) | |||||||||||
В 2 |
Рекомендации
- ^ Клитцинг, Ричард. «o3x4x3o - продолжение» .
- ^ a b О совершенных 4-многогранниках. Вклад Габора Жеве в алгебру и геометрию Том 43 (2002), № 1, 243–259] Таблица 2, стр. 252
- ^ a b Кватернионное построение многогранников W (F4) с их двойственными многогранниками и ветвлением по подгруппам W (B4) и W (B3) × W (A1) Мехмет Коджа 1, Мудхахир Аль-Аджми 2 и Назифе Оздес Коджа 3 Департамент физики, Колледж наук, Университет Султана Кабуса, а / я 36, Аль-Худ 123, Маскат, Султанат Оман, стр.18. 5.7 Двойственный многогранник многогранника (0, 1, 1, 0) F 4 = W (F 4 ) (ω 2 + ω 3 )
- HSM Coxeter :
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
- Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры)» . x3x4o3o = x3x3x4o - тико, o3x4x3o - продолжение
- 3. Выпуклая однородная полихора на основе икоситетрахорона (24-ячеечная) - Модель 24, 27 , Георгий Ольшевский.