В математической логике , абстрактной алгебраической логики является изучение алгебраизации дедуктивных систем , возникающих в абстракции хорошо известной алгебры Lindenbaum-Тарского , и как результирующие алгебры связаны с логическими системами. [1]
История [ править ]
Архетипическая ассоциация такого рода, фундаментальная для исторических истоков алгебраической логики и лежащая в основе всех впоследствии разработанных подтеорий, представляет собой ассоциацию между классом булевых алгебр и классическим исчислением высказываний . Эта ассоциация была обнаружена Джорджем Бульем в 1850-х годах, а затем доработана и уточнена другими, особенно К. С. Пирсом и Эрнстом Шредером , с 1870-х по 1890-е годы. Эта работа завершилась разработкой алгебр Линденбаума – Тарского Альфредом Тарским и его учеником Адольфом Линденбаумом.в 1930-е гг. Позже Тарский и его американские студенты (в число которых входит Дон Пигоцци) продолжили открытие цилиндрической алгебры , которая алгебраизирует всю классическую логику первого порядка , и возродили алгебру отношений , модели которой включают в себя все известные аксиоматические теории множеств .
Классическая алгебраическая логика, которая включала в себя все работы по алгебраической логике примерно до 1960 г., изучала свойства конкретных классов алгебр, используемых для «алгебраизации» конкретных логических систем, представляющих особый интерес для конкретных логических исследований. Обычно было обнаружено, что алгебра, связанная с логической системой, представляет собой тип решетки , возможно, обогащенной одной или несколькими унарными операциями, отличными от дополнения решетки .
Абстрактная алгебраическая логика - это современная область алгебраической логики, которая возникла в Польше в 1950-1960-х годах благодаря работам Елены Рашевой , Романа Сикорского , Ежи Лоша и Романа Сушко (и это лишь некоторые из них). Она достигла своей зрелости в 1980-х годах с плодотворными публикациями польского логика Януша Челаковского , голландского логика Вима Блока и американского логика Дона Пигоцци . Фокус абстрактной алгебраической логики сместился с изучения конкретных классов алгебр, связанных с конкретными логическими системами (в центре внимания классической алгебраической логики), к изучению:
- Классы алгебр, связанные с классами логических систем, все члены которых удовлетворяют определенным абстрактным логическим свойствам;
- Процесс, посредством которого класс алгебр становится «алгебраическим аналогом» данной логической системы;
- Связь между металогическими свойствами, которым удовлетворяет класс логических систем, и соответствующими алгебраическими свойствами, которым удовлетворяют их алгебраические аналоги.
Переход от классической алгебраической логики к абстрактной алгебраической логике можно сравнить с переходом от «современной» или абстрактной алгебры (т. Е. Изучение групп , колец , модулей , полей и т. Д.) К универсальной алгебре (изучение классов алгебр произвольных типов подобия (алгебраических сигнатур ), удовлетворяющих определенным абстрактным свойствам).
Две основные причины развития абстрактной алгебраической логики тесно связаны с пунктами (1) и (3) выше. Что касается (1), критический шаг в переходе был инициирован работой Расиова. Ее цель состояла в том, чтобы абстрактные результаты и методы , известные трюм для классического исчисления высказываний и булевых алгебр и некоторых других тесно связанных с логическими систем, таким образом , что эти результаты и методы могут быть применены к гораздо более широкому кругу пропозициональных логик.
(3) во многом обязана совместной работе Блока и Пигоцци по исследованию различных форм, которые хорошо известная теорема дедукции классического исчисления высказываний и логики первого порядка принимает в большом разнообразии логических систем. Они связали эти различные формы теоремы дедукции со свойствами алгебраических аналогов этих логических систем.
Абстрактная алгебраическая логика стала хорошо известным разделом алгебраической логики со многими глубокими и интересными результатами. Эти результаты объясняют многие свойства различных классов логических систем, ранее объясненные только в индивидуальном порядке или окутанные тайной. Возможно, самым важным достижением абстрактной алгебраической логики была классификация логик высказываний в иерархии , называемой абстрактной алгебраической иерархией.или иерархия Лейбница, разные уровни которой примерно отражают силу связей между логикой на определенном уровне и связанным с ней классом алгебр. Положение логики в этой иерархии определяет степень, в которой эта логика может быть изучена с использованием известных алгебраических методов и приемов. Как только логика назначена на уровень этой иерархии, можно использовать мощный арсенал результатов, накопленных за последние 30 с лишним лет, управляющих алгебрами, расположенными на том же уровне иерархии.
Приведенная выше терминология может вводить в заблуждение. «Абстрактная алгебраическая логика» часто используется для обозначения подхода венгерской школы, включая Хайнала Андрека , Иштвана Немети и других. То, что в предыдущих абзацах называется «абстрактной алгебраической логикой», должно называться «алгебраической логикой». Алгебраизация систем Генцена Рамоном Янсана, Дж. Фонтом и другими является значительным улучшением по сравнению с «алгебраической логикой».
Примеры [ править ]
| Логическая система | Алгебраический аналог |
|---|---|
| Логика высказываний | Булевы алгебры |
| Интуиционистская логика высказываний | Гейтинговые алгебры |
| Пропозициональная модальная логика | Булевы алгебры с операторами Модальная алгебра |
| Логика первого порядка | Цилиндрические алгебры Полиадическая алгебра Функторная логика предикатов |
| Теория множеств | Комбинаторная логика Алгебра отношений Булева алгебра |
См. Также [ править ]
- Абстрактная алгебра
- Алгебраическая логика
- Абстрактная теория моделей
- Иерархия (математика)
- Теория моделей
- Разнообразие (универсальная алгебра)
- Универсальная логика
Заметки [ править ]
- ^ Шрифт, 2003.
Ссылки [ править ]
- Блок, В., Пигоцци, Д., 1989. Алгебраизируемые логики . Воспоминания АМН, 77 (396). Также доступно для загрузки с домашней страницы Pigozzi
- Czelakowski, J., 2001. Протоалгебраическая логика . Kluwer. ISBN 0-7923-6940-8 . Считается "отличным и очень читаемым введением в область абстрактной алгебраической логики" по версии Mathematical Reviews.
- Челаковски, Дж. (Редактор), 2018, Дон Пигоцци об абстрактной алгебраической логике, универсальной алгебре и информатике , выдающийся вклад в логику, том 16, Springer International Publishing, ISBN 978-3-319-74772-9
- Шрифт, JM, 2003. Абстрактная алгебраическая логика некоторых многозначных логик . В М. Фиттинг и Э. Орловска (ред.), Помимо двух: теория и приложения многозначной логики , Springer-Verlag, стр. 25–57.
- Шрифт, Дж. М., Янсана, Р., 1996. Общая алгебраическая семантика для сентенциальной логики . Конспект лекций по логике 7, Springer-Verlag. (2-е издание, опубликованное ASL в 2009 г.) Также открытый доступ в Project Euclid
- --------, и Пигоцци, Д., 2003, Обзор абстрактной алгебраической логики , Studia Logica 74 : 13-79.
- Ryszard Wójcicki (1988). Теория логических исчислений: основы теории операций следствия . Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
- Андрека, Х., Немети, И .: Общая алгебраическая логика: взгляд на «что такое логика» , в Д. Габбее (ред.): Что такое логическая система? , Clarendon Press, 1994, стр. 485–569.
- Д. Пигоцци (2001). «Абстрактная алгебраическая логика». В М. Хазевинкель (ред.). Энциклопедия математики: Дополнение к тому III . Springer. С. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3.онлайн в "Абстрактной алгебраической логике" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Внешние ссылки [ править ]
- Стэнфордская энциклопедия философии : « Алгебраическая логика высказываний» - Рамон Янсана.
