В математике , ациклическое пространство является топологическим пространством X , в котором циклы всегда границы, в смысле теории гомологии . Отсюда следует, что целые группы гомологий во всех измерениях X изоморфны соответствующим группам гомологий точки.
Другими словами, используя идею редуцированной гомологии ,
Такое пространство принято рассматривать как пространство без «дыр», например, круг или сфера не ацикличны, а диск или шар ацикличны. Это условие, однако, слабее, чем требовать, чтобы каждая замкнутая петля в пространстве ограничивала диск в пространстве. Все, что мы просим, - это чтобы любая замкнутая петля - и ее аналог в более высоком измерении - ограничивала нечто вроде «двумерной поверхности». Условие ацикличности пространства X означает, например, что для хороших пространств - скажем, симплициальных комплексов - любое непрерывное отображение X в окружность или в высшие сферы гомотопно нулю.
Если пространство X является сжимаемым , то она также ациклические по гомотопической инвариантности гомологии. Обратное, в общем, неверно. Тем не менее, если X представляет собой ациклический CW комплекс , и если фундаментальная группа из X тривиальна, то X является сжимаемым пространством , как следует из теоремы Уайтхеда и теоремы Гуревича .
Примеры
Ациклические пространства встречаются в топологии , где их можно использовать для построения других, более интересных топологических пространств.
Например, если удалить одну точку из многообразия M, которое является гомологической сферой , то получится такое пространство. В гомотопические группы ациклического пространства X не обращается в нуль в целом, так как фундаментальная группане обязательно быть тривиальным. Например, проколотая сфера гомологии Пуанкаре является ациклическим трехмерным многообразием, которое не стягивается.
Это дает репертуар примеров, поскольку первая группа гомологий является абелианизацией фундаментальной группы. С каждой совершенной группой G можно связать (канонический, терминал) ациклическое пространство, фундаментальной группа которого является центральным расширением данной группы G .
Гомотопические группы этих ассоциированных ациклических пространств тесно связаны с плюсовой конструкцией Квиллена на классифицирующем пространстве BG .
Ациклические группы
Ациклическая группа представляет собой группу G , чьи классификации пространства BG ациклический; другими словами, все его (редуцированные) группы гомологий обращаются в нуль, т. е., для всех . Таким образом, каждая ациклическая группа является совершенной группой , что означает, что ее первая группа гомологий равна нулю:, и на самом деле суперсовершенная группа , то есть первые две группы гомологий исчезают:. Обратное неверно: бинарная группа икосаэдра суперсовершенная (следовательно, совершенная), но не ациклическая.
Рекомендации
- Эммануэль Дрор, "Ациклические пространства", Топология 11 (1972), 339–348. Руководство по ремонту 0315713
- Эммануэль Дрор, «Сферы гомологии», Израильский математический журнал 15 (1973), 115–129. МИСТЕР0328926
- А. Джон Беррик и Джонатан А. Хиллман, "Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп", Журнал Лондонского математического общества (2) 68 (2003), вып. 3, 683–698. МИСТЕР2009444
Смотрите также
Внешние ссылки
- "Ациклические группы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]