Идеальная теория

В математике , теории идеальной является теория идеалов в коммутативных колец ; и является предшественником современного предмета коммутативной алгебры . Название выросло из основных соображений, таких как теорема Ласкера – Нётер в алгебраической геометрии и группа классов идеалов в алгебраической теории чисел , коммутативной алгебры первой четверти двадцатого века. Он использовался во влиятельном тексте ван дер Вардена по абстрактной алгебре примерно с 1930 года.

Рассматриваемая идеальная теория была основана на теории исключения , но в соответствии со вкусом Дэвида Гильберта отошел от алгоритмических методов. Теория базиса Грёбнера изменила тенденцию компьютерной алгебры .

Важность идеи модуля , более общего, чем идеального , вероятно, привела к мнению, что идеальная теория - это слишком узкое описание. Теория оценки также была важным техническим расширением и использовалась Хельмутом Хассе и Оскаром Зариски . Бурбаки использовал коммутативную алгебру ; иногда к теории локальных колец применяют локальную алгебру . Идеальная теория Кембриджского тракта Дугласа Норткотта 1953 года (переизданная в 2004 году под тем же названием) была одним из последних появлений этого имени.

Топология определяется идеалом [ править ]

Пусть R - кольцо, M - R -модуль. Тогда каждый идеал из R определяет топологию на М называется -адический топологию таким образом, что подмножество U из M является открытым тогда и только тогда , когда для каждого х в U существует натуральное число п такое , что${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle x+{\mathfrak {a}}^{n}M\subset U.}$

По отношению к этой -адической топологии, является базисом окрестностей и делает операции модуля непрерывными; в частности, является, возможно, нехаусдорфовой топологической группой . Кроме того, M является хаусдорфовым топологическим пространством тогда и только тогда , когда. Более того, когда является хаусдорфовым, топология такая же, как топология метрического пространства, заданная определением функции расстояния: для , где - такое целое число, что .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle \{x+{\mathfrak {a}}^{n}M\}_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\textstyle \bigcap _{n>0}{\mathfrak {a}}^{n}M=0.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(x,y)=2^{-n}}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x-y\in {\mathfrak {a}}^{n}M-{\mathfrak {a}}^{n+1}M}$

Учитывая , подмодуль N из M , то -замыкание N в M равно , как показано на рисунке легко.${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\textstyle \bigcap _{n>0}(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}$

Теперь, априорно , на подмодуль N из M , есть два естественные -топология: топология подпространства , индуцированная -адическая топология на М и -адической топологией на N . Однако, когда она нетерова и конечна над ней, эти две топологии совпадают как следствие леммы Артина – Риса .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

Когда есть Хаусдорф, может быть завершено как метрическое пространство; результирующее пространство обозначается символом и имеет модульную структуру, полученную продолжением операций модуля по непрерывности. Он также совпадает с (или канонически изоморфен):${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\widehat {M}}}$

${\displaystyle {\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M}$

где правая часть - это пополнение модуля по .${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Пример : Позвольте быть полиномиальное кольцо над полем и максимальный идеал. Тогда - кольцо формальных степенных рядов .${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle {\widehat {R}}=k[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]}$

R называется кольцом Зарисского относительно если каждый идеал в R является -замкнутым. Есть характеристика:${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

R представляет собой кольцо Зарисского относительно тогда и только тогда , когда содержатся в Jacobson радикал из R .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

В частности, нетерово локальное кольцо является кольцом Зарисского относительно максимального идеала.

Система параметров [ править ]

Система параметров для локального нётерова кольца из Krull размерности г с максимальным идеалом т представляет собой набор элементов х ₁ , ..., х _д , который удовлетворяет любой из следующих эквивалентных условий:

1. m - минимальное простое число над ( x ₁ , ..., x _d ).
2. Радикал из ( х ₁ , ..., х _д ) является м .
3. Некоторая степень m содержится в ( x ₁ , ..., x _d ).
4. ( x ₁ , ..., x _d ) является m -первичным .

Каждое локальное нётерово кольцо допускает систему параметров.

Невозможно, чтобы число элементов, меньшее чем d, могло порождать идеал с радикалом m, потому что тогда размерность R была бы меньше d .

Если М является к - мерный модуль над локальным кольцом, то х ₁ , ..., х _к является система параметров для M , если длина из М / ( х ₁ , ..., х _к ) М конечна .

Теория редукции [ править ]

Теория редукции восходит к влиятельной статье 1954 года Норткотта и Риса, в которой были введены основные понятия. В алгебраической геометрии теория является одним из важнейших инструментов для извлечения подробной информации о поведении взрывов .

Указанные идеалы J ⊂ I в кольце R , идеал J , как говорят, является сокращение от I , если существует некоторое целое число т > 0, что . ^[1] Для таких идеалов непосредственно из определения имеет место следующее:${\displaystyle JI^{m}=I^{m+1}}$

• Для любого к , .${\displaystyle J^{k}I^{m}=J^{k-1}I^{m+1}=\cdots =I^{m+k}}$
• У J и у меня один и тот же радикал и один и тот же набор минимальных простых идеалов над ними ^[2] (обратное неверно).

Если R - нётерово кольцо, то J является редукцией I тогда и только тогда, когда алгебра Риса R [ It ] конечна над R [ Jt ]. ^[3] (Это причина отношения к взрыву.)

Близкое к этому понятие - понятие аналитического распространения . По определению кольцо слоистых конусов нётерова локального кольца ( R , · ) вдоль идеала I есть${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {m}})\simeq \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/{\mathfrak {m}}I^{n}}$.

Размерность Крулля из называется аналитическим распространение в I . Учитывая сокращение , минимальное число образующих J , по крайней мере аналитическое распространение I . ^[4] Кроме того, частичное обратное верно для бесконечных полей: если оно бесконечно и если целое число является аналитическим разбросом I , то каждая редукция I содержит редукцию, порожденную элементами. ^[5]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

Локальные когомологии в теории идеалов [ править ]

Иногда для получения информации об идеале можно использовать локальные когомологии. Этот раздел предполагает некоторое знакомство с теорией пучков и теорией схем.

Позвольте быть модулем над кольцом и идеалом. Затем определяет пучок на (ограничение на Y связанного с M пучка ). Разматывая определение, видишь:${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

Здесь, называется идеальным преобразование из относительно . ^[6]${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$

Ссылки [ править ]

• Атия, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, 336 , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, Руководство по ремонту  2266432