В математике , то Артин-Рис лемма является основным результатом о модулях над нётеровым кольцом , вместе с результатами таких как теоремы Гильберта о базисе . Это было доказано в 1950-х годах в независимых работах математиков Эмиля Артина и Дэвида Риса ; [1] [2] особый случай был известен Оскару Зариски до их работы.
Одним из следствий леммы является теорема Крулля о пересечении . Результат также используется для доказательства свойства точности завершения ( Atiyah & MacDonald 1969 , стр. 107–109) . Лемма также играет ключевую роль при изучении ℓ-адических пучков .
Заявление
Пусть I - идеал в нётеровом кольце R ; пусть М быть конечно порожденный R - модуль , и пусть г N подмодуль М . Тогда существует целое число K ≥ 1 , так что при п ≥ к ,
Доказательство
Лемма немедленно следует из того, что R нётерово после того, как введены необходимые понятия и обозначения. [3]
Для любого кольца R и идеала I в R положим( B означает раздутие.) Мы говорим убывающую последовательность подмодулейявляется I -фильтрацией, если; кроме того, он стабилен, еслидля достаточно больших n . Если M задана I -фильтрация, мы полагаем; это ступенчатый модуль над.
Пусть теперь M - R -модуль с I -фильтрацией.конечно порожденными R -модулями. Мы делаем наблюдение
- является конечно порожденным модулем над тогда и только тогда, когда фильтрация I -стабильна.
Действительно, если фильтрация I -стабильна, то порождается первым термины и эти члены конечно порождаются; таким образом,конечно порожден. Наоборот, если он конечно порожден, скажем, некоторыми однородными элементами из, то для , каждый f в можно записать как
с генераторами в . Это,.
Теперь мы можем доказать лемму, предполагая, что R нётерово. Позволять. потомявляются I -стабильной фильтрацией. Таким образом, по наблюдению, конечно порожден над . Ноявляется нетерово кольцом , так как R есть. (Кольцоназывается алгеброй Риса .) Таким образом, является нётеровым модулем, и любой подмодуль конечно порожден над ; в частности,конечно порожден, когда N задана индуцированная фильтрация; т.е.. Тогда индуцированная фильтрация снова I -стабильна по наблюдению.
Теорема Крулля о пересечении
Помимо использования в пополнении кольца, типичным применением леммы является доказательство теоремы Крулля о пересечении, которая гласит: для собственного идеала I в коммутативном нётеровом кольце, которое является либо локальным кольцом, либо областью целостности . По лемме, примененной к пересечению, находим k такое, что при,
Но потом . Таким образом, если A локально,по лемме Накаямы . Если A - область целостности, то используется трюк с определителем (который является вариантом теоремы Кэли – Гамильтона и дает лемму Накаямы ):
- Теорема Пусть у быть эндоморфизм из А - модуля N , порожденной п элементами и я идеал таким образом, что . Тогда есть отношение:
В приведенной здесь настройке возьмем u как оператор идентичности на N ; что даст ненулевой элемент x в A такой, что, что означает .
И для локального кольца, и для области целостности нельзя исключить «нетерова» из предположения: для случая локального кольца см. Local ring # Коммутативный случай . Для случая области целостности возьмембыть кольцом целых алгебраических чисел (т. е. целым замыканием в ). Еслипростой идеал A , то имеем: для каждого целого числа . Действительно, если, тогда для некоторого комплексного числа . Сейчас, является целым над ; таким образом в а затем в , доказывая иск.
Рекомендации
- ^ Дэвид Рис (1956). «Две классические теоремы теории идеалов». Proc. Camb. Фил. Soc . 52 (1): 155–157. Bibcode : 1956PCPS ... 52..155R . DOI : 10.1017 / s0305004100031091 . Здесь: Лемма 1.
- ^ Шарп, Р.Й. (2015). «Дэвид Рис. 29 мая 1918 - 16 августа 2013». Биографические воспоминания членов Королевского общества . 61 : 379–401. DOI : 10,1098 / rsbm.2015.0010 . Здесь: раздел 7, лемма 7.2, стр.10.
- ^ Эйзенбуд , лемма 5.1
- Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
- Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике. 150 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8.
дальнейшее чтение
- Конрад, Брайан ; де Йонг, Айз Йохан (2002). «Аппроксимация версальных деформаций» (PDF) . Журнал алгебры . 255 (2): 489–515. DOI : 10.1016 / S0021-8693 (02) 00144-8 . MR 1935511 . дает несколько более точную версию леммы Артина – Риса.
Внешние ссылки
- «Теорема Артина-Риса» . PlanetMath .