Александр рогатый шар
Рогатая сфера Александера — патологический объект в топологии , открытый Дж. В. Александером ( 1924 ).
Рогатая сфера Александера - это частное вложение сферы в трехмерное евклидово пространство , полученное с помощью следующей конструкции, начиная со стандартного тора : [ 1]
При рассмотрении только тех точек торов, которые не удалены на каком-то этапе, вложение приводит к сфере с удаленным канторовским множеством . Это вложение распространяется на всю сферу, так как точки, приближающиеся к двум различным точкам канторовского множества, будут находиться в построении как минимум на фиксированном расстоянии друг от друга.
Рогатая сфера вместе со своей внутренней частью является топологическим 3-шаром , рогатым шаром Александера и поэтому односвязна ; т. е. каждый цикл можно сжать до точки, оставаясь внутри. Внешний вид не просто связан, в отличие от внешнего вида обычного круглого шара; петля, соединяющая тор в приведенной выше конструкции, не может быть стянута в точку, не касаясь рогатой сферы. Это показывает, что теорема Жордана-Шенфлиса не выполняется в трех измерениях, как первоначально думал Александр. Александер также доказал, что теорема верна в трех измерениях для кусочно-линейных / гладкихвложения. Это один из первых примеров, когда стала очевидной необходимость различать категории топологических многообразий , дифференцируемых многообразий и кусочно-линейных многообразий .
Теперь рассмотрим рогатую сферу Александра как вложение в 3-сферу , рассматриваемую как одноточечную компактификацию 3-мерного евклидова пространства R 3 . Замыкание неодносвязной области называется твердой рогатой сферой Александера . Хотя твердая рогатая сфера не является многообразием , Р. Х. Бинг показал, что ее двойник (которое представляет собой 3-многообразие, полученное путем склеивания двух копий рогатой сферы вместе по соответствующим точкам их границ) на самом деле является 3-сферой. [2]Можно рассмотреть и другие приклеивания твердой рогатой сферы к своей копии, возникающие из различных гомеоморфизмов граничной сферы на себя. Также было показано, что это 3-сфера. Твердая рогатая сфера Александра является примером смятого куба ; т. е. замкнутая дополнительная область вложения 2-сферы в 3-сферу.
Можно обобщить конструкцию Александра для создания других рогатых сфер, увеличивая количество рогов на каждом этапе конструкции Александра или рассматривая аналогичную конструкцию в более высоких измерениях.
.jpg/440px-Alexander_horned_sphere_construction_(Alexander_1924).jpg)
.jpg){kind=link}