Проблема Альгацена в , также известный как проблема бильярдного Альхазен в , это математическая задача в геометрической оптики впервые сформулирована Птолемеем в 150 году нашей эры. [1] Он назван в честь арабского математика 11 века Альхазена ( Ибн аль-Хайсама ), который представил геометрическое решение в своей « Книге оптики» . Алгебраическое решение включает уравнения четвертой степени и было найдено в 1965 году Джеком М. Элкиным.
Геометрическая формулировка
Задача состоит в том, чтобы провести линии из двух точек, которые встречаются в третьей точке на окружности круга и образуют равные углы с нормалью в этой точке ( зеркальное отражение ). Таким образом, его основное применение в оптике - решение проблемы: «Найти точку на сферическом вогнутом зеркале, в которую должен попасть луч света, исходящий из данной точки, чтобы отразиться в другую точку». Это приводит к уравнению четвертой степени . [2] [1] (Сам Альхазен никогда не использовал эту алгебраическую переписывание задачи)
Решение Альхазена
Ибн аль-Хайтам решил проблему, используя конические сечения и геометрическое доказательство.
Алгебраическое решение
Более поздние математики, такие как Христиан Гюйгенс , Джеймс Грегори , Гийом де л'Опиталь , Исаак Барроу и многие другие, пытались найти алгебраическое решение проблемы, используя различные методы, включая аналитические методы геометрии и вывод с помощью комплексных чисел . [3] [4] [5] [6] [7]
Впервые алгебраическое решение проблемы было найдено в 1965 году актуарием Джеком М. Элкиным. [8] Другие решения были заново открыты позже: в 1989 году Харальдом Ридом; [9] в 1990 г. (представлены в 1988 г.) Миллером и Вегом; [10] и в 1992 году Джоном Д. Смитом [3], а также Йоргом Вальдфогелем [11]
В 1997 году оксфордский математик Питер М. Нойман доказал теорему о том, что не существует линейки и циркуля для общего решения проблемы Альхазена [12] [13] (хотя в 1965 году Элькин уже предоставил контрпример к евклидовой конструкции) . [3]
Обобщение
Недавно исследователи Mitsubishi Electric Research Labs решили распространить проблему Альхазена на общие вращательно-симметричные квадратные зеркала, включая гиперболические, параболические и эллиптические зеркала. [14] Они показали, что точка зеркального отражения может быть вычислена путем решения уравнения восьмой степени в самом общем случае. Если камеру (глаз) поместить на оси зеркала, степень уравнения уменьшится до шести. [15] Проблема Альхазена также может быть распространена на множественное преломление от сферического шара. Учитывая источник света и сферический шар с определенным показателем преломления, ближайшую точку на сферическом шаре, где свет преломляется к глазу наблюдателя, можно получить, решив уравнение десятой степени. [15]
Рекомендации
- ^ a b Вайсштейн, Эрик. «Бильярдная задача Альхазена» . Mathworld . Проверено 24 сентября 2008 .
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайтам" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ а б в Смит, Джон Д. (1992). «Замечательный Ибн аль-Хайсам». Математический вестник . 76 (475): 189–198. DOI : 10.2307 / 3620392 . JSTOR 3620392 .
- ^ Дрекслер, Майкл; Гандер, Мартин Дж. (1998). «Круговой бильярд» . SIAM Обзор . 40 (2): 315–323. DOI : 10.1137 / S0036144596310872 . ISSN 0036-1445 .
- ^ Фудзимура, Масайо; Харири, Париса; Мокану, Марселина; Вуоринен, Матти (2018). "Проблема Птолемея – Альхазена и отражение в сферическом зеркале". Вычислительные методы и теория функций . 19 (1): 135–155. arXiv : 1706.06924 . DOI : 10.1007 / s40315-018-0257-Z . ISSN 1617-9447 . S2CID 119303124 .
- ^ Бейкер, Маркус (1881). «Проблема Альхазена». Американский журнал математики . 4 (1/4): 327–331. DOI : 10.2307 / 2369168 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2369168 .
- ^ Альперин, Роджер (18 июля 2002). «Математическое оригами: другой взгляд на оптическую проблему Альхазена». В Халле, Томас (ред.). Оригами ^ {3} . А.К. Петерс / CRC Press. DOI : 10.1201 / b15735 . ISBN 978-0-429-06490-6.
- ^ Элкин, Джек М. (1965), «Обманчиво простая задача», Учитель математики , 58 (3): 194–199, JSTOR 27968003
- ^ Риде, Харальд (1989), «Reflexion am Kugelspiegel. Oder: das Problem des Alhazen», Praxis der Mathematik (на немецком языке), 31 (2): 65–70
- ^ Miller, Allen R .; Вег, Эмануэль (1990). «Вычисление угла скольжения зеркального отражения». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 21 (2): 271–274. DOI : 10.1080 / 0020739900210213 . ISSN 0020-739X .
- ^ Вальдфогель, Йорг. "Проблема кругового бильярда." Elemente der Mathematik 47.3 (1992): 108-113. [1]
- ^ Нейман, Питер М. (1998), "Размышления о Отражение в сферическом зеркале", American Mathematical Monthly , 105 (6): 523-528, DOI : 10,1080 / 00029890.1998.12004920 , JSTOR 2589403 , MR 1626185
- ^ Хайфилд, Роджер (1 апреля 1997), «Дон решает последнюю загадку , оставленную древними греками» , Electronic Telegraph , 676 , архивированных с оригинала на 23 ноября 2004 года , восстановлена 2008-09-24
- ^ Агравал, Амит; Тагучи, Юичи; Рамалинги Шрикумар (2011), проблема Beyond Альгацена в: Аналитическая модель Проекции для нецентрального линзового камера с квадрикой зеркалами , IEEE конференцией по компьютерному зрению и распознаванием образами , архивируется с оригинала на 2012-03-07
- ^ а б Агравал, Амит; Тагучи, Юичи; Рамалинги Шрикумар (2010), Аналитические ит для осевых нецентральных Диоптрийных и линзовых камер , Европейской конференции по Computer Vision, архив с оригинала на 2012-03-07