В механике сплошной среды , Уизема усредненного Лагранжа метода - или сокращенно метода Уиземы - используются для изучения Лагранжа динамики из медленно меняющихся волновых поездов в неоднородной (двигающейся) среде . Метод применим как к линейным, так и к нелинейным системам . Как прямое следствие усреднения, используемого в методе, волновое воздействие является сохраняющимся свойством волнового движения. Напротив, энергия волныне обязательно сохраняется из-за обмена энергией со средним движением. Однако полная энергия, сумма энергий волнового движения и среднего движения, будет сохраняться для лагранжиана, инвариантного во времени . Кроме того, усредненный лагранжиан имеет сильную связь с дисперсионным соотношением системы.
Этот метод принадлежит Джеральду Уизему , который разработал его в 1960-х годах. Это, например , используемые при моделировании поверхностных гравитационных волн на интерфейсах жидкости , [1] [2] и в физике плазмы . [3] [4]
Результирующие уравнения для чисто волнового движения
В случае , если лагранжева формулировка из механики сплошной системы доступна, усредненный лагранжиан методика может быть использована , чтобы найти приближения для средних динамики волнового движения - и ( в конечном счете) для взаимодействия между волновым движением и средним движением - предполагая , что конверт динамика несущих волн медленно меняется . Фазовое усреднение лагранжиана приводит к усредненному лагранжиану , который всегда не зависит от самой фазы волны (но зависит от медленно меняющихся волновых величин, таких как амплитуда , частота и волновое число волны ). По теореме Нетер , вариации усредненного лагранжианаотносительно инвариантной фазы волнытогда возникает закон сохранения : [5]
( 1 )
Это уравнение утверждает сохранение волнового воздействия - обобщение концепции адиабатического инварианта на механику сплошной среды - с [6]
- а также
будучи волновым действием и поток волнового воздействия соответственно. Способствовать а также обозначают пространство и время соответственно, а - оператор градиента . Угловая частота и волновое число определены как [7]
а также
( 2 )
и оба предполагаются медленно изменяющимися. Согласно этому определению, а также должны удовлетворять соотношениям согласованности:
а также
( 3 )
Первое уравнение согласованности известно как сохранение гребней волн , а второе утверждает, что поле волновых чиселявляется безвихревым (т.е. имеет нулевой ротор ).
Метод
Усредненный лагранжев подход применяется к волновому движению - возможно, наложенному на среднее движение - которое может быть описано в лагранжевой формулировке . Использование анзатц на виде волновой части движения, то лагранжиан является фаза в среднем . Поскольку лагранжиан связан с кинетической энергией и потенциальной энергией движения, колебания вносят вклад в лагранжиан, хотя среднее значение колебательного хода волны равно нулю (или очень мало).
Результирующий усредненный лагранжиан содержит волновые характеристики, такие как волновое число , угловую частоту и амплитуду (или, что эквивалентно, плотность энергии волны или волновое действие ). Но сама фаза волны отсутствует из-за фазового усреднения. Следовательно, благодаря теореме Нётер существует закон сохранения, называемый сохранением волнового действия.
Первоначально метод усредненного лагранжиана был разработан Уиземом для медленно меняющихся цугов дисперсионных волн. [8] Некоторые расширения были сделаны, например, для взаимодействующих волновых компонентов, [9] [10] гамильтоновой механики , [8] [11] модуляционных эффектов высшего порядка , [12] эффектов диссипации . [13]
Вариационная формулировка
Метод усредненного лагранжиана требует наличия лагранжиана, описывающего волновое движение. Например для поля , описываемый плотностью лагранжиана принцип стационарного действия является: [14]
с участием оператор градиента иоператор производной по времени . Этот принцип действия приводит к уравнению Эйлера – Лагранжа : [14]
которое является уравнением в частных производных второго порядка, описывающим динамикуУравнения с частными производными высшего порядка требуют включения в лагранжиан производных более высокого порядка, чем первый порядок. [14]
- Пример
Например, рассмотрим безразмерное и нелинейное уравнение Клейна – Гордона в одномерном пространстве.: [15]
( 4 )
Это уравнение Эйлера – Лагранжа возникает из плотности лагранжиана: [15]
( 5 )
Приближение малой амплитуды для уравнения Синуса – Гордона соответствует значению[16] Длясистема является линейной и получается классическое одномерное уравнение Клейна-Гордона.
Медленно меняющиеся волны
Медленно меняющиеся линейные волны
Уизем разработал несколько подходов к получению усредненного лагранжевого метода. [14] [17] Самый простой - для медленно меняющихся линейных волновых потоков , и этот метод будет здесь применен. [14]
Медленно изменяющийся волновой поток - без среднего движения - в линейной дисперсионной системе описывается как: [18]
- с участием а также
где - фаза действительной волны ,обозначает абсолютное значение в комплекснозначной амплитуды пока это его аргумент иобозначает его действительную часть . Действительные амплитуда и фазовый сдвиг обозначаются как а также соответственно.
Теперь, по определению , то угловая частота и волновое число векторвыражаются как производная по времени и градиент фазы волныкак: [7]
- а также
Как следствие, а также должны удовлетворять соотношениям согласованности:
- а также
Эти два соотношения согласованности обозначают «сохранение гребней волн» и безвихрение поля волновых чисел.
Из-за предположения о медленных изменениях в цуге волн, а также в возможной неоднородной среде и среднем движении величины а также все медленно меняются в пространстве и время - но фаза волны сам по себе не меняется медленно. Следовательно, производные от а также не учитываются при определении производных от для использования в усредненном лагранжиане: [14]
- а также
Далее эти предположения о и ее производные применяются к плотности лагранжиана
Медленно меняющиеся нелинейные волны
Возможны несколько подходов к медленно меняющимся нелинейным волновым цепочкам. Одним из них является путем использования Стокса разложения , [19] используется Уиземом для анализа медленно меняющиеся волн Стокса . [20] Стоксово разложение поля.можно записать как: [19]
где амплитуды и т. д. медленно меняются, как и фазы В случае линейных волн в низшем порядке (в части модуляционных эффектов) пренебрегают производными амплитуд и фаз, за исключением производных а также быстрой фазы
- а также
Эти приближения следует применять в плотности лагранжиана , и его фазовое среднее
Усредненный лагранжиан для медленно меняющихся волн
Для чисто волнового движения лагранжиан выражается через поле и его производные. [14] [17] В методе усредненного лагранжа, приведенные выше предположения о поле- и его производные - применяются для вычисления лагранжиана. После этого лагранжиан усредняется по фазе волны.[14]
В качестве последнего шага этот результат усреднения можно выразить как усредненную плотность лагранжиана - который является функцией медленно меняющихся параметров а также и не зависит от фазы волны сам. [14]
Усредненная плотность лагранжиана теперь предлагается Уизэмом следовать среднему вариационному принципу : [14]
Из вариаций следуйте динамическим уравнениям для медленно меняющихся волновых свойств.
- Пример
Продолжая пример нелинейного уравнения Клейна – Гордона, см. Уравнения 4 и 5 , и применяя указанные выше приближения для а также (для этого одномерного примера) в плотности лагранжиана, результат после усреднения по является:
где предполагалось, что в обозначении большого O , а также . Вариация относительно приводит к Итак, усредненный лагранжиан:
( 6 )
Для линейного волнового движения усредненный лагранжиан получается заданием равняется нулю.
Система уравнений, возникающая из усредненного лагранжиана
Применяя усредненный принцип Лагранжа, вариация по фазе волны приводит к сохранению волнового воздействия:
поскольку а также а фаза волны не входит в усредненную плотность лагранжиана за счет фазового усреднения. Определение волнового действия как а поток волнового воздействия как результат:
Уравнение волнового действия сопровождается уравнениями совместимости для а также которые:
- а также
Вариация по амплитуде приводит к дисперсионному соотношению
- Пример
Продолжая нелинейное уравнение Клейна – Гордона, используя вариационный принцип среднего на уравнении 6 , уравнение волнового действия изменяется в зависимости от фазы волны
а нелинейное дисперсионное соотношение следует из вариации по амплитуде
Итак, волновое действие и поток волнового воздействия Групповая скорость является
Среднее движение и псевдофаза
Сохранение волнового действия
Усредненный лагранжиан получается интегрированием лагранжиана по фазе волны . В результате в усредненный лагранжиан входят только производные от фазы волны(эти производные по определению представляют собой угловую частоту и волновое число) и не зависят от фазы самой волны. Таким образом, решения не будут зависеть от выбора нулевого уровня для фазы волны. Следовательно - по теореме Нётер - вариация усредненного лагранжианаотносительно фазы волны приводит к закону сохранения :
где
- а также
с участием действие волны ипоток волнового воздействия . Способствоватьобозначает частную производную по времени, а- оператор градиента . По определению групповая скорость дан кем-то:
Обратите внимание, что в общем случае энергия волнового движения не нуждается в сохранении, поскольку может происходить обмен энергией со средним потоком. Полная энергия - сумма энергий волнового движения и среднего потока - сохраняется (когда нет работы внешних сил и нет диссипации энергии ).
Сохранение волнового воздействия также достигается путем применения метода обобщенного лагранжевого среднего (GLM) к уравнениям комбинированного потока волн и среднего движения с использованием ньютоновской механики вместо вариационного подхода. [21]
Сохранение энергии и импульса
Связь с дисперсионным соотношением
Чистое волновое движение по линейным моделям всегда приводит к усредненной плотности лагранжиана вида: [14]
Следовательно, вариация по амплитуде: дает
Таким образом, это оказывается дисперсионным соотношением для линейных волн, а усредненный лагранжиан для линейных волн всегда является дисперсионной функцией умножить на квадрат амплитуды.
В более общем плане, для слабонелинейных и медленно модулированных волн, распространяющихся в одном пространственном измерении и включающих эффекты дисперсии более высокого порядка - не пренебрегая производными по времени и пространству а также амплитуды при взятии производных, где - малый параметр модуляции - усредненная плотность лагранжиана имеет вид: [22]
с медленными переменными а также
Рекомендации
Заметки
- ↑ Гримшоу (1984)
- ↑ Janssen (2004 , стр. 16–24)
- ^ Дьюар (1970)
- ^ Крейк (1988 , р. 17)
- ^ Уиземовский (1974 , стр. 395-397)
- ^ Бретертон и Гарретт (1968)
- ^ а б Уизем (1974 , стр. 382)
- ^ а б Уизэм (1965)
- ↑ Симмонс (1969)
- ^ Виллебранд (1975)
- ^ Хейс (1973)
- ↑ Yuen & Lake (1975).
- ^ Jimenez & Уиземовские (1976)
- ^ a b c d e f g h i j k Whitham (1974 , стр. 390–397)
- ^ Б Уиземовские (1974 , стр. 522-523)
- ^ Уиземовский (1974 , стр. 487)
- ^ Б Уиземовские (1974 , стр. 491-510)
- ^ Уиземовский (1974 , стр. 385)
- ^ а б Уизэм (1974 , стр. 498)
- ^ Уиземовские (1974 , §§16.6-16.13)
- ↑ Эндрюс и Макинтайр (1978)
- ^ Уиземовский (1974 , стр. 522-526)
Публикации Уизема о методе
Обзор можно найти в книге:
- Whitham, GB (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-94090-9
Некоторые публикации Уизема по этому методу:
- Whitham, GB (1965), "Общий подход к линейным и нелинейным дисперсионным волнам с использованием лагранжиана", Journal of Fluid Mechanics , 22 (2): 273–283, Bibcode : 1965JFM .... 22..273W , DOI : 10.1017 / S0022112065000745
- —— (1967a). «Нелинейная дисперсия водных волн». Журнал гидромеханики . 27 (2): 399–412. Bibcode : 1967JFM .... 27..399W . DOI : 10.1017 / S0022112067000424 .
- —— (1967b), «Вариационные методы и приложения к водным волнам», Труды Лондонского королевского общества A: математические и физические науки , 299 (1456): 6–25, Bibcode : 1967RSPSA.299 .... 6W , DOI : 10.1098 / rspa.1967.0119
- —— (1970), «Двучастие, вариационные принципы и волны» (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 44 (2): 373–395, Bibcode : 1970JFM .... 44..373W , doi : 10.1017 / S002211207000188X
- Jimenez, J .; Whitham, GB (1976), "Усредненный лагранжев метод для диссипативных волновых цепей", Труды Лондонского королевского общества A: математические и физические науки , 349 (1658): 277–287, Bibcode : 1976RSPSA.349..277J , doi : 10.1098 / rspa.1976.0073
дальнейшее чтение
- Andrews, DG; Макинтайр, ME (1978), «О волновом действии и его родственниках» (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 89 (4): 647–664, Bibcode : 1978JFM .... 89..647A , doi : 10.1017 / S0022112078002785
- Бадин, Г .; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения - . Springer. п. 218. DOI : 10.1007 / 978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
- Бретертон, ФП ; Гаррет, CJR (1968), "Цепи волн в неоднородных движущихся средах", Труды Лондонского королевского общества A: математические и физические науки , 302 (1471): 529–554, Bibcode : 1968RSPSA.302..529B , doi : 10.1098 /rspa.1968.0034
- Крейк, ADD (1988), Волновые взаимодействия и потоки жидкости , Cambridge University Press, ISBN 9780521368292
- Дьюара, Р. Л. (1970), "Взаимодействие между гидромагнитных волнами и зависящей от времени, неоднородной среды", Физика жидкостей , 13 (11): 2710-2720, Bibcode : 1970PhFl ... 13.2710D , DOI : 10,1063 / 1,1692854 , ISSN 0031-9171
- Гримшоу, Р. (1984), «Волновое воздействие и взаимодействие средневолнового потока с применением к стратифицированным сдвиговым потокам», Annual Review of Fluid Mechanics , 16 : 11–44, Bibcode : 1984AnRFM..16 ... 11G , doi : 10.1146 / annurev.fl.16.010184.000303
- Hayes, WD (1970), «Сохранение действия и модальное волновое действие», Труды Лондонского королевского общества A: математические и физические науки , 320 (1541): 187–208, Bibcode : 1970RSPSA.320..187H , doi : 10.1098 / rspa.1970.0205
- Hayes, WD (1973), "Групповая скорость и распространение нелинейных дисперсионных волн", Труды Лондонского королевского общества A: математические и физические науки , 332 (1589): 199–221, Bibcode : 1973RSPSA.332..199H , doi : 10.1098 / rspa.1973.0021
- Holm, DD (2002), «Средние лагранжианы, усредненные лагранжианы и средние эффекты флуктуаций гидродинамики», Chaos , 12 (2): 518–530, Bibcode : 2002Chaos..12..518H , doi : 10.1063 / 1.1460941 , PMID 12779582
- Янссен, PAEM (2004), Взаимодействие океанских волн и ветра , Cambridge University Press, ISBN 9780521465403
- Раддер, AC (1999), "Гамильтонова динамика водных волн", Лю, PL-F. (ред.), Достижения в прибрежной и океанской инженерии , 4 , World Scientific, стр. 21–59, ISBN 9789810233105
- Седлецкий Ю.В. (2012), «Добавление дисперсионных членов к методу усредненного лагранжиана», Физика жидкостей , 24 (6): 062105 (15 стр.), Bibcode : 2012PhFl ... 24f2105S , doi : 10.1063 / 1.4729612
- Симмонс, У. Ф. (1969), "Вариационный метод для слабых резонансных волновых взаимодействий", Труды Лондонского королевского общества A: математические и физические науки , 309 (1499): 551–577, Bibcode : 1969RSPSA.309..551S , DOI : 10.1098 / rspa.1969.0056
- Виллебранд, Дж. (1975), "Перенос энергии в нелинейном и неоднородном поле случайных гравитационных волн", Journal of Fluid Mechanics , 70 (1): 113–126, Bibcode : 1975JFM .... 70..113W , doi : 10.1017 / S0022112075001929
- Yuen, HC; Lake, BM (1975), "Нелинейные глубоководные волны: теория и эксперимент", Physics of Fluids , 18 (8): 956–960, Bibcode : 1975PhFl ... 18..956Y , doi : 10.1063 / 1.861268
- Yuen, HC; Lake, BM (1980), «Неустойчивость волн на глубокой воде», Annual Review of Fluid Mechanics , 12 : 303–334, Bibcode : 1980AnRFM..12..303Y , doi : 10.1146 / annurev.fl.12.010180.001511