Уравнение белавкина

В квантовой вероятности , то уравнение Белавкина , также известное как уравнение Шредингера-Белавкина , квантовую фильтрацию уравнение , стохастическое управляющее уравнение , представляет собой квантовое стохастический дифференциальное уравнение , описывающая динамику квантовой системы , подвергающееся наблюдение в непрерывное время. Он был выведен и в дальнейшем изучен Вячеславом Белавкиным в 1988 году. ^[1]^[2]^[3]

Обзор [ править ]

В отличии от уравнения Шредингера , которое описывает детерминированную эволюцию волновой функции замкнутой системы (без взаимодействия), то уравнение Белавкина описывает стохастическую эволюцию случайной волновой функции в качестве открытой квантовой системы , взаимодействующей с наблюдателем: ${\ Displaystyle \ psi (т)}$ ${\ displaystyle \ psi (т, \ omega)}$

{\ displaystyle d \ psi = - \ left ({\ frac {1} {2}} L ^ {\ ast} L + {\ frac {i} {\ hbar}} H \ right) \ psi dt + L \ psi dy}

Здесь - самосопряженный оператор (или вектор-столбец операторов) системы, связанной с внешним полем, - это гамильтониан, - мнимая единица, - постоянная Планка и - стохастический процесс, представляющий шум измерения, который равен мартингал с независимыми приращениями относительно входной вероятностной меры . Обратите внимание, что этот шум имеет зависимые приращения относительно меры вероятности выхода, представляющей процесс нововведения на выходе (наблюдение). Для уравнение становится стандартным уравнением Шредингера . ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ Displaystyle у (т) = \ int _ {0} ^ {т} dy (г)}$ ${\ Displaystyle P (0, d \ omega) = \ | \ psi (0, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}$ ${\ Displaystyle P (T, d \ omega) = \ | \ psi (t, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}$ ${\ displaystyle L = 0}$

Стохастический процесс может быть смесью двух основных типов: пуассоновского (или скачкообразного ) типа , где - пуассоновский процесс, соответствующий подсчету наблюдения, и броуновского (или диффузионного ) типа , где - стандартный винеровский процесс, соответствующий непрерывному наблюдению. Уравнения диффузионного типа могут быть получены как центральный предел уравнений типа скачка с ожидаемой скоростью скачков, возрастающей до бесконечности. $y(t)$ $y(t)\simeq n(t)-t$ $n(t)$ $y(t)\simeq w(t)$ $w(t)$

Случайная волновая функция нормализуется только в среднеквадратическом смысле , но, как правило, не может быть нормализована для каждого . Нормализация для каждого дает случайный апостериорный вектор состояния , эволюция которого описывается апостериорным уравнением Белавкина, которое является нелинейным, поскольку операторы и зависят от из-за нормализации. Стохастический процесс в апостериорном уравнении имеет независимые приращения относительно меры выходной вероятности , но не относительно входной меры. Белавкин также вывел линейное уравнение для ненормированного оператора плотности $\psi (t,\omega )$ $\int \|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )=\|\psi _{0}\|=1$ $\psi (t,\omega )$ $\omega$ $\psi (t,\omega )$ $\omega$ $\varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|$ $L$ $H$ $\varphi$ $y(t)$ $P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )$ $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )$ и соответствующее нелинейное уравнение для нормированного случайного оператора апостериорной плотности . Для двух типов шума измерения это дает восемь основных квантовых стохастических дифференциальных уравнений. Общие формы уравнений включают все типы шума и их представления в пространстве Фока . ^[4]^[5] $\rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$

Нелинейное уравнение, описывающее наблюдение положения свободной частицы, которое является частным случаем апостериорного уравнения Белавкина диффузионного типа, также было получено Диози ^[6] и появилось в работах Гизина, ^[7] Жирарди, Пирла и Римини ^[8], хотя и с другой мотивацией или интерпретацией. Подобные нелинейные уравнения для операторов апостериорной плотности были постулированы (хотя и без вывода) в квантовой оптике и теории квантовых траекторий ^[9], где они называются стохастическими основными уравнениями . Усреднение уравнений для операторов случайной плотности по всем случайным траекториям приводит к уравнению Линдблада $\rho (t,\omega )$ $\omega$ , ^[10] что является детерминированным.

Нелинейные уравнения Белавкина для апостериорных состояний играют ту же роль, что и уравнение Стратоновича – Кушнера в классической вероятности, а линейные уравнения соответствуют уравнению Закая . ^[11] Уравнения Белавкина описывают декогеренцию в непрерывном времени исходного чистого состояния в смешанное апостериорное состояние, давая строгое описание динамики коллапса волновой функции в результате наблюдения или измерения. ^[12]^[13]^[14] $\rho (0)=\psi _{0}\psi _{0}^{\ast }$ $\rho (t)=\int \varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )P(t,d\omega )$

Измерение без разрушения и квантовая фильтрация [ править ]

Некоммутативность представляет собой серьезную проблему для вероятностной интерпретации квантовых стохастических дифференциальных уравнений из-за отсутствия условных ожиданий для общих пар квантовых наблюдаемых. Белавкин решил эту проблему, обнаружив связь неопределенности ошибки и возмущения и сформулировав принцип неразрушимости квантового измерения. ^[13]^[15] В частности, если случайный процесс соответствует ошибке (белый шум в диффузном случае) зашумленного наблюдения оператора с коэффициентом точности , то косвенное наблюдение возмущает динамику системы стохастической силой , называемая силой Ланжевена $dy(t)$ $e(t)dt=dw$ $Y(t)=X(t)+e(t)$ $X(t)=\lambda [L(t)+L^{\ast }(t)]$ $\lambda >0$ $f(t)$ , который представляет собой еще один белый шум интенсивности , который не коммутирует с ошибкой . Результатом такого возмущения является то, что выходной процесс коммутативен и, следовательно, соответствует классическому наблюдению, в то время как системные операторы удовлетворяют условию неразрушения: все будущие наблюдаемые должны коммутировать с прошлыми наблюдениями (но не с будущими наблюдениями) : для всех (но не ). Обратите внимание, что коммутация with и другого оператора с не подразумевает куммутации с $(\hbar \lambda )^{2}$ $e(t)$ $Y(t)$ $[Y(s),Y(t)]=0$ $\int _{0}^{t}Y(r)dr$ $X$ $[X(s),Y(t)]=0$ $s\geq t$ $s<t$ $X(s)$ $Y(t)$ $Z(s)$ $Y(t)$ $X(s)$ $Z(s)$ , так что алгебра будущих наблюдаемых остается некоммутативной. Условие неразрушимости необходимо и достаточно для существования условных ожиданий , что делает возможной квантовую фильтрацию. ^[16] $\mathbb {E} \{X(s)\mid Y(t)\}$

Уравнения апостериорного состояния [ править ]

Подсчет наблюдений [ править ]

Позвольте быть пуассоновским процессом с прямым приращением почти всюду и в противном случае и обладающим свойством . Ожидаемое количество событий , где - ожидаемая скорость прыжков. Затем замена случайного процесса дает линейное уравнение Белавкина для ненормированной случайной волновой функции, находящейся под наблюдением счета. Подставив , где - оператор коллапса, и , где - оператор энергии, это уравнение можно записать в следующем виде $n(t)$ $dn(t)=0$ $dn(t)=1$ $(dn)^{2}=dn$ $\mathbb {E} \{n(t)\}=\nu t$ $\nu$ $m(t)={\frac {n(t)-\nu t}{\sqrt {\nu }}}$ $y(t)$ $\psi (t,\omega )$ $L={\sqrt {\nu }}(C-I)$ $C$ $H=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })$ $E$

d\psi =-\left({\frac {\nu }{2}}(C^{\ast }C-I)+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\psi dt+(C-I)\psi dn

Нормализованная волновая функция называется апостериорным вектором состояния , эволюция которого описывается следующим нелинейным уравнением $\varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|$

d\varphi =-\left({\frac {\nu }{2}}(C^{\ast }C-\|C\varphi \|^{2})+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\varphi dt+\left({\frac {C}{\|C\varphi \|}}-I\right)\varphi d{\tilde {n}}

где есть ожидание . Апостериорное уравнение можно записать в стандартной форме ${\tilde {n}}(t)$ $\mathbb {E} \{{\tilde {n}}(t)\}=\nu \|C\varphi \|^{2}t$

d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{\tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}}\varphi d{\tilde {m}}

с , и . Соответствующие уравнения для ненормализованного оператора случайной плотности и для нормированного оператора случайной апостериорной плотности следующие: ${\tilde {L}}={\sqrt {\nu }}(C-\|C\varphi \|)$ ${\tilde {H}}=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })\|C\varphi \|$ ${\tilde {m}}(t)={\frac {{\tilde {n}}(t)-\nu \|C\varphi \|^{2}t}{{\sqrt {\nu }}\|C\varphi \|}}$ $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )$ $\rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$

{\begin{aligned}d\varrho &=-[G\varrho +\varrho G^{\ast }-\nu \varrho ]dt+[C\varrho C^{\ast }-\varrho ]dn\\d\rho &=-[G\rho +\rho G^{\ast }-\nu \rho \mathrm {Tr} \left\{C\rho C^{\ast }\right\}]dt+\left({\frac {C\rho C^{\ast }}{\mathrm {Tr} \left\{C\rho C^{\ast }\right\}}}-\rho \right)d{\tilde {n}}\end{aligned}}

где . Обратите внимание, что последнее уравнение нелинейно. $G={\frac {\nu }{2}}C^{\ast }C+{\frac {i}{\hbar }}E$

Непрерывное наблюдение [ править ]

Стохастический процесс , определенный в предыдущем разделе, имеет прямые приращения , которые имеют тенденцию к как . Таким образом, становится стандартным винеровский процесс относительно входной вероятностной меры. Подставляя для дает линейное уравнение для Белавкина ненормированного случайной волновой функции , подвергающегося непрерывное наблюдение. Выходной процесс постепенно превращается в процесс распространения инноваций . Нелинейное уравнение Белавкина диффузионного типа для апостериорного вектора состояния имеет вид $m(t)$ $(dm)^{2}=\nu ^{-1/2}dm+dt$ $dt$ $\nu \to \infty$ $m(t)$ $w(t)$ $y(t)$ $\psi (t,\omega )$ ${\tilde {m}}(t)$ ${\tilde {w}}(t)$ $d{\tilde {w}}(t,\omega )=dw(t,\omega )-2\mathrm {Re} \langle \varphi (t,\omega )\mid L\varphi (t,\omega )\rangle dt$ $\varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|$

d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{\tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}}\varphi d{\tilde {w}}

с и . Соответствующие уравнения для ненормализованного оператора случайной плотности и для нормированного оператора случайной апостериорной плотности следующие: ${\tilde {L}}=L-\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle$ ${\tilde {H}}=H+i\hbar {\frac {1}{2}}(L-L^{\ast })\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle$ $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )$ $\rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$

{\begin{aligned}d\varrho &=-[K\varrho +\varrho K^{\ast }-L\varrho L^{\ast }]dt+[L\varrho +\varrho L^{\ast }]dw\\d\rho &=-[K\rho +\rho K^{\ast }-L\rho L^{\ast }]dt+[L\rho +\rho L^{\ast }-\rho \mathrm {Tr} \left\{(L+L^{\ast })\rho \right\}]d{\tilde {w}}\end{aligned}}

где . Второе уравнение нелинейно из-за нормировки. Поскольку усреднение этих стохастических уравнений по всем приводит к уравнению Линдблада $K={\frac {1}{2}}L^{\ast }L+{\frac {i}{\hbar }}H$ $\mathbb {E} \{dw(t)\}=0$ $\omega$

{\frac {d\rho }{dt}}=-[K\rho +\rho K^{\ast }]+L\rho L^{\ast }

Пример: непрерывное наблюдение за положением свободной частицы [ править ]

Рассмотрим свободную частицу массы . В позиции и импульс Наблюдаемые соответствуют соответственно операторам умножения на и . Сделав следующие замены в уравнении Белавкина $m$ ${\hat {x}}$ $x$ ${\hat {p}}=(\hbar /i)d/dx$

L={\hat {x}},\qquad H={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}

апостериорное стохастическое уравнение становится

d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )^{2}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\right)\varphi dt+{\Bigl (}{\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle {\Bigr )}\varphi [dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt]

где - апостериорное ожидание . Это уравнение, мотивированное теорией спонтанного коллапса, а не теорией фильтрации, было также получено Диози ^[17], показывающим, что шум измерения является приращением стандартного винеровского процесса . У этого уравнения есть решения в замкнутой форме ^[18], а также уравнения для частицы в линейном или квадратичном потенциалах. ^[1]^[3]^[19] Для гауссовского начального состояния эти решения соответствуют оптимальному квантовому линейному фильтру. ^[15] Решения уравнения Белавкина показывают, что в пределе волновая функция имеет конечную дисперсию, $\langle {\hat {x}}\rangle (t)=\mathrm {Tr} \left\{{\hat {x}}\rho (t)\right\}$ ${\hat {x}}$ $dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt$ $d\xi$ $\psi _{0}$ $t\to \infty$ ^[20], таким образом, разрешая квантовый эффект Зенона . ^[11]

Ссылки [ править ]

^ Б Белавкина, В. П. (1988). «Неразрушающие измерения, нелинейная фильтрация и динамическое программирование квантовых случайных процессов». В А. Блакьер (ред.). Материалы семинара Bellmann Continuum "Моделирование и управление системами". Конспект лекций в области управления и информатики. 121 . София-Антиполис: Спрингер-Верлаг. С. 245–265.
^ Белавкина, В. П. (1989). «Наблюдение с непрерывным счетом и апостериорная квантовая динамика». J Phys . 22 (23): L1109 – L1114. Bibcode : 1989JPhA ... 22L1109B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 22/23/006 .
^ Б Белавкина, В. П. (1989). «Новое волновое уравнение для непрерывного неразрушающего измерения». Физика Буквы A . 140 (7–8): 355–358. arXiv : квант-ph / 0512136 . Bibcode : 1989PhLA..140..355B . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (89) 90066-2 . S2CID 6083856 .
^ Белавкина, В. П. (1995). «О стохастических генераторах вполне положительных коциклов». Russ Journ of Math Phys . 3 (4): 523–528.
^ Белавкина, В. П. (1997). «Квантовая стохастическая положительная эволюция: характеристика, построение, расширение». Commun. Математика. Phys . 184 (3): 533–566. arXiv : math-ph / 0512042 . Bibcode : 1997CMaPh.184..533B . DOI : 10.1007 / s002200050072 . S2CID 17593922 .
^ Di'osi, L. (1989). «Модели универсального уменьшения макроскопических квантовых флуктуаций». Physical Review . 40 (3): 1165–1174. Bibcode : 1989PhRvA..40.1165D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.40.1165 . PMID 9902248 .
^ Гизина, N. (1989). «Стохастическая квантовая динамика и теория относительности». Helvetica Physica Acta . 62 : 363–371.
^ Гирарди, GC; Pearle, P .; Римини, А. (1990). «Марковские процессы в гильбертовом пространстве и непрерывная спонтанная локализация систем одинаковых частиц». Phys. Rev. A . 42 (1): 78–89. Bibcode : 1990PhRvA..42 ... 78G . DOI : 10.1103 / PhysRevA.42.78 . PMID 9903779 .
^ Кармайкл, HJ (1993). Подход открытых систем к квантовой оптике . Springer-Verlag.
^ Смолянов, О .; Трумэн, А. (1999). «Уравнения Шредингера-Белавкина и связанные с ними уравнения Колмогорова и Линдблада». Теоретическая и математическая физика . 120 (2): 973–984. Bibcode : 1999TMP ... 120..973S . DOI : 10.1007 / BF02557405 . S2CID 121436901 .
^ a b Холево, А.С. (1991), Прохоров, Ю.В. (ред.), Квантовая вероятность и квантовая статистика , Итоги науки и техники, 83 , ВИНИТИ, стр. 5–132.
^ Белавкин, В. П. (1990), Трумэн, А .; Дэвис, И.М. (ред.), Квантовая апостериорная стохастика и спонтанный коллапс , World Scientific, стр. 40–68.
^ а б Белавкин В.П. (1992). «Квантовые континуальные измерения и апостериорный коллапс на CCR». Comm. Математика. Phys . 146 (3): 611–635. arXiv : math-ph / 0512070 . Bibcode : 1992CMaPh.146..611B . DOI : 10.1007 / BF02097018 . S2CID 17016809 .
^ Белавкин, ВП; Melsheimer, О. (1995), "гамильтонов решение квантового коллапса, состояния диффузии и спонтанной локализации", Квант связи и измерение ., Plenum Издательство, стр 201-222, DOI : 10.1007 / 978-1-4899-1391-3_20 , ISBN 978-1-4899-1393-7
^ Б Белавкина, В. П. (1980). «Оптимальная фильтрация марковских сигналов с помощью квантового белого шума». Radio Eng Электронная физика . 25 : 1445–1453. arXiv : квант-ph / 0512091 . DOI : 10.1007 / 978-1-4899-1391-3_37 . S2CID 15021588 .
^ Бутен, L .; van Handel, R .; Джеймс, MR (2009). «Дискретное приглашение к квантовой фильтрации и управлению с обратной связью». SIAM Обзор . 51 (2): 239–316. arXiv : math / 0606118 . Bibcode : 2009SIAMR..51..239B . DOI : 10.1137 / 060671504 . S2CID 10435983 .
^ Diosi, Л. (1988). «Непрерывное квантовое измерение и формализм Ито». Phys Lett . 129 (8–9): 419–423. arXiv : 1812.11591 . Bibcode : 1988PhLA..129..419D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 90309-X . S2CID 118831121 .
^ Diosi, Л. (1988). «Локализованное решение простого нелинейного квантового уравнения Ланжевена». Phys Lett . 132 (5): 233–236. Bibcode : 1988PhLA..132..233D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 90555-5 .
^ Белавкин, ВП; Сташевский, П. (1992). «Наблюдение без разрушения свободной квантовой частицы». Phys Rev A . 45 (3): 1347–1357. arXiv : квант-ph / 0512138 . Bibcode : 1992PhRvA..45.1347B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.45.1347 . PMID 9907114 . S2CID 14637898 .
^ Kolokol'tsov1, В. Н. (1995). «Теория рассеяния для уравнения Белавкина, описывающего квантовую частицу с непрерывно наблюдаемой координатой». Журнал математической физики . 36 (6): 2741–2760. Bibcode : 1995JMP .... 36.2741K . DOI : 10.1063 / 1.531063 .

[Belavkin88-1] Б Белавкина, В. П. (1988). «Неразрушающие измерения, нелинейная фильтрация и динамическое программирование квантовых случайных процессов». В А. Блакьер (ред.). Материалы семинара Bellmann Continuum "Моделирование и управление системами". Конспект лекций в области управления и информатики. 121 . София-Антиполис: Спрингер-Верлаг. С. 245–265.

[Belavkin89a-2] Белавкина, В. П. (1989). «Наблюдение с непрерывным счетом и апостериорная квантовая динамика». J Phys . 22 (23): L1109 – L1114. Bibcode : 1989JPhA ... 22L1109B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 22/23/006 .

[Belavkin89b-3] Б Белавкина, В. П. (1989). «Новое волновое уравнение для непрерывного неразрушающего измерения». Физика Буквы A . 140 (7–8): 355–358. arXiv : квант-ph / 0512136 . Bibcode : 1989PhLA..140..355B . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (89) 90066-2 . S2CID 6083856 .

[Belavkin95-4] Белавкина, В. П. (1995). «О стохастических генераторах вполне положительных коциклов». Russ Journ of Math Phys . 3 (4): 523–528.

[Belavkin97-5] Белавкина, В. П. (1997). «Квантовая стохастическая положительная эволюция: характеристика, построение, расширение». Commun. Математика. Phys . 184 (3): 533–566. arXiv : math-ph / 0512042 . Bibcode : 1997CMaPh.184..533B . DOI : 10.1007 / s002200050072 . S2CID 17593922 .

[Diosi89-6] Di'osi, L. (1989). «Модели универсального уменьшения макроскопических квантовых флуктуаций». Physical Review . 40 (3): 1165–1174. Bibcode : 1989PhRvA..40.1165D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.40.1165 . PMID 9902248 .

[Gisin89-7] Гизина, N. (1989). «Стохастическая квантовая динамика и теория относительности». Helvetica Physica Acta . 62 : 363–371.

[Ghirardi_etal1990-8] Гирарди, GC; Pearle, P .; Римини, А. (1990). «Марковские процессы в гильбертовом пространстве и непрерывная спонтанная локализация систем одинаковых частиц». Phys. Rev. A . 42 (1): 78–89. Bibcode : 1990PhRvA..42 ... 78G . DOI : 10.1103 / PhysRevA.42.78 . PMID 9903779 .

[Carmichael93-9] Кармайкл, HJ (1993). Подход открытых систем к квантовой оптике . Springer-Verlag.

[Smolyanov-Truman99-10] Смолянов, О .; Трумэн, А. (1999). «Уравнения Шредингера-Белавкина и связанные с ними уравнения Колмогорова и Линдблада». Теоретическая и математическая физика . 120 (2): 973–984. Bibcode : 1999TMP ... 120..973S . DOI : 10.1007 / BF02557405 . S2CID 121436901 .

[Holevo91-11] Холево, А.С. (1991), Прохоров, Ю.В. (ред.), Квантовая вероятность и квантовая статистика , Итоги науки и техники, 83 , ВИНИТИ, стр. 5–132.

[Belavkin90-12] Белавкин, В. П. (1990), Трумэн, А .; Дэвис, И.М. (ред.), Квантовая апостериорная стохастика и спонтанный коллапс , World Scientific, стр. 40–68.

[Belavkin92-13] а б Белавкин В.П. (1992). «Квантовые континуальные измерения и апостериорный коллапс на CCR». Comm. Математика. Phys . 146 (3): 611–635. arXiv : math-ph / 0512070 . Bibcode : 1992CMaPh.146..611B . DOI : 10.1007 / BF02097018 . S2CID 17016809 .

[Belavkin_Melsheimer95-14] Белавкин, ВП; Melsheimer, О. (1995), "гамильтонов решение квантового коллапса, состояния диффузии и спонтанной локализации", Квант связи и измерение ., Plenum Издательство, стр 201-222, DOI : 10.1007 / 978-1-4899-1391-3_20 , ISBN 978-1-4899-1393-7

[Belavkin80-15] Б Белавкина, В. П. (1980). «Оптимальная фильтрация марковских сигналов с помощью квантового белого шума». Radio Eng Электронная физика . 25 : 1445–1453. arXiv : квант-ph / 0512091 . DOI : 10.1007 / 978-1-4899-1391-3_37 . S2CID 15021588 .

[Bouten_etal09-16] Бутен, L .; van Handel, R .; Джеймс, MR (2009). «Дискретное приглашение к квантовой фильтрации и управлению с обратной связью». SIAM Обзор . 51 (2): 239–316. arXiv : math / 0606118 . Bibcode : 2009SIAMR..51..239B . DOI : 10.1137 / 060671504 . S2CID 10435983 .

[Diosi88a-17] Diosi, Л. (1988). «Непрерывное квантовое измерение и формализм Ито». Phys Lett . 129 (8–9): 419–423. arXiv : 1812.11591 . Bibcode : 1988PhLA..129..419D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 90309-X . S2CID 118831121 .

[Diosi88b-18] Diosi, Л. (1988). «Локализованное решение простого нелинейного квантового уравнения Ланжевена». Phys Lett . 132 (5): 233–236. Bibcode : 1988PhLA..132..233D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 90555-5 .

[Belavkin_Staszewski92-19] Белавкин, ВП; Сташевский, П. (1992). «Наблюдение без разрушения свободной квантовой частицы». Phys Rev A . 45 (3): 1347–1357. arXiv : квант-ph / 0512138 . Bibcode : 1992PhRvA..45.1347B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.45.1347 . PMID 9907114 . S2CID 14637898 .

[Kolokoltsov95-20] Kolokol'tsov1, В. Н. (1995). «Теория рассеяния для уравнения Белавкина, описывающего квантовую частицу с непрерывно наблюдаемой координатой». Журнал математической физики . 36 (6): 2741–2760. Bibcode : 1995JMP .... 36.2741K . DOI : 10.1063 / 1.531063 .

[1]