Открытая квантовая система

В физике , открытая квантовая система является квантовой -механической системой , которая взаимодействует с внешней квантовой системой , которая известна как окружающая средой или ванны . В общем, эти взаимодействия существенно изменяют динамику системы и приводят к квантовой диссипации , так что информация, содержащаяся в системе, теряется в окружающей среде. Поскольку ни одна квантовая система не изолирована полностью от своего окружения, важно разработать теоретическую основу для рассмотрения этих взаимодействий, чтобы получить точное представление о квантовых системах.

Методы, разработанные в контексте открытых квантовых систем, доказали свою эффективность в таких областях, как квантовая оптика , квантовая теория измерения , квантовая статистическая механика , квантовая информатика, квантовая термодинамика , квантовая космология , квантовая биология и полуклассические приближения.

Квантовая система и окружающая среда [ править ]

Полное описание квантовой системы требует включения окружающей среды. Полное описание результирующей комбинированной системы требует включения ее среды, что приводит к новой системе, которую можно полностью описать только в том случае, если включена ее среда, и так далее. Конечным результатом этого процесса встраивания является состояние всей вселенной, описываемое волновой функцией . Тот факт, что каждая квантовая система имеет некоторую степень открытости, также означает, что никакое квантовое состояние никогда не может быть в чистом состоянии . Чистое состояние унитарно эквивалентно основному состоянию с нулевой температурой, запрещенному третьим законом термодинамики .${\ displaystyle \ Psi}$

Системная перегородка для ванны

Даже если комбинированная система является чистым состоянием и может быть описана волновой функцией , подсистема в целом не может быть описана волновой функцией. Это наблюдение мотивировало формализм матриц плотности или операторов плотности, введенных Джоном фон Нейманом ^[1] в 1927 году и независимо, но менее систематически, Львом Ландау в 1927 году и Феликсом Блохом в 1946 году. В общем, состояние подсистемы описывается оператором плотности, а наблюдаемая - скалярным произведением . Невозможно узнать, чиста ли объединенная система, на основе знания наблюдаемых подсистемы. В частности, если комбинированная система имеет квантовую запутанность${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle A}$${\displaystyle (\rho \cdot A)={\rm {{tr}\{\rho A\}}}}$, состояние системы не является чистым.

Динамика [ править ]

В общем, временная эволюция замкнутых квантовых систем описывается унитарными операторами, действующими на систему. Для открытых систем, однако, взаимодействия между системой и ее окружением делают так, что динамика системы не может быть точно описана с использованием одних унитарных операторов.

Временная эволюция квантовых систем может быть определена путем решения эффективных уравнений движения, также известных как основные уравнения , которые определяют, как матрица плотности, описывающая систему, изменяется во времени, и динамику наблюдаемых, связанных с системой. В целом, однако, среда, которую мы хотим смоделировать как часть нашей системы, очень большая и сложная, что делает поиск точных решений основных уравнений трудным, а то и невозможным. Таким образом, теория открытых квантовых систем стремится к экономному рассмотрению динамики системы и ее наблюдаемых. Типичные наблюдаемые, представляющие интерес, включают такие вещи, как энергия и устойчивость квантовой когерентности.(т.е. мера согласованности государства). Потеря энергии в окружающую среду называется квантовой диссипацией , а потеря когерентности - квантовой декогеренцией .

Из-за сложности определения решений основных уравнений для конкретной системы и среды было разработано множество методов и подходов. Общая цель состоит в том, чтобы получить сокращенное описание, в котором динамика системы рассматривается явно, а динамика ванны описывается неявно. Основное предположение состоит в том, что вся комбинация система-среда представляет собой большую закрытую систему. Следовательно, его эволюция во времени управляется унитарным преобразованием, порожденным глобальным гамильтонианом . Для сценария комбинированной системы с термостатом глобальный гамильтониан можно разложить на:

${\displaystyle H=H_{\rm {S}}+H_{\rm {B}}+H_{\rm {SB}}}$

где - гамильтониан системы, - гамильтониан ванны и - взаимодействие системы и ванны. Состояние системы , то может быть получено из частичного следа по комбинированной системе и ванной: . ^[2]${\displaystyle H_{\rm {S}}}$${\displaystyle H_{\rm {B}}}$${\displaystyle H_{\rm {SB}}}$${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)={\rm {{tr}_{\rm {B}}\{\rho _{SB}(t)\}}}}$

Другое распространенное предположение, которое используется для упрощения решения систем, - это предположение, что состояние системы в следующий момент зависит только от текущего состояния системы. Другими словами, система не запоминает свои предыдущие состояния. Системы, обладающие этим свойством, называются марковскими системами. Это приближение оправдано, когда рассматриваемая система имеет достаточно времени, чтобы система релаксировала до состояния равновесия, прежде чем снова будет возмущена взаимодействием с окружающей средой. Для систем, которые имеют очень быстрые или очень частые возмущения из-за их взаимодействия с окружающей средой, это приближение становится гораздо менее точным.

Марковские уравнения [ править ]

Когда взаимодействие между системой и окружающей средой слабое, теория возмущений, зависящая от времени, кажется подходящей для рассмотрения эволюции системы. Другими словами, если взаимодействие между системой и ее окружающей средой является слабым, то любые изменения в объединенной системе с течением времени можно приблизительно оценить как происходящие только от рассматриваемой системы. Другое типичное предположение состоит в том, что система и ванна изначально некоррелированы . Эта идея возникла у Феликса Блоха и была развита Альфредом Редфилдом при выводе уравнения Редфилда.${\displaystyle \rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$. Уравнение Редфилда - это основное марковское уравнение, которое описывает временную эволюцию матрицы плотности объединенной системы. Недостатком уравнения Редфилда является то, что оно не сохраняет положительность оператора плотности.

Формальное построение локального уравнения движения с марковским свойством является альтернативой сокращенному выводу. Теория основана на аксиоматическом подходе. Основная отправная точка - это полностью позитивная карта . Предполагается, что начальное состояние системы и среды некоррелировано, а комбинированная динамика генерируется унитарным оператором . Такое отображение подпадает под категорию оператора Крауса . Наиболее общим типом однородного по времени основного уравнения с марковским свойством, описывающего неунитарную эволюцию матрицы плотности ρ, сохраняющей след и полностью положительной для любого начального условия, является уравнение Горини – Косаковского – Сударшана – Линдблада.${\displaystyle \rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$ или уравнение GKSL:

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}=-{i \over \hbar }[H_{\rm {S}},\rho _{\rm {S}}]+{\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})}$

${\displaystyle H_{\rm {S}}}$является ( эрмитовой ) гамильтоновой частью и :${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{\rm {S}}\right)\right)}$

представляет собой диссипативную часть, неявно описывающую через системные операторы влияние ванны на систему. Свойство Маркова требует, чтобы система и ванна всегда не коррелировали . Уравнение GKSL является однонаправленным и приводит любое начальное состояние к стационарному решению, которое является инвариантом уравнения движения . Семейство отображений, порожденное уравнением GKSL, образует квантовую динамическую полугруппу . В некоторых областях, таких как квантовая оптика , термин супероператор Линдблада часто используется для выражения основного квантового уравнения для диссипативной системы. Э. Б. Дэвис вывел GKSL с основными уравнениями марковских свойств, используя${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle \rho _{\rm {SB}}=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$${\displaystyle \rho _{\rm {S}}}$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}(t\rightarrow \infty )=0}$теория возмущений и дополнительные приближения, такие как вращающаяся волна или секулярная, таким образом исправляя недостатки уравнения Редфилда . Конструкция Дэвиса согласуется с критерием устойчивости Кубо-Мартина-Швингера для теплового равновесия, то есть состояния KMS ^[3] . Альтернативный подход к исправлению Redfield был предложен J. Thingna, J.-S. Ванга и П. Хангги ^[4], что позволяет взаимодействию системы и ванны играть роль в равновесии, отличную от состояния KMS.

В 1981 году Амир Калдейра и Энтони Дж. Леггетт предложили упрощающее предположение, в котором ванна разлагается на нормальные моды, представленные в виде гармонических осцилляторов, линейно связанных с системой. ^[5] В результате влияние ванны можно суммировать с помощью спектральной функции ванны. Этот метод известен как модель Кальдейры – Леггетта или модель гармонической ванны. Чтобы продолжить и получить явные решения, описание формулировки интеграла по путям квантовой механикиобычно используется. Большая часть силы, лежащей в основе этого метода, заключается в том, что гармонические осцилляторы относительно хорошо изучены по сравнению с истинной связью, которая существует между системой и ванной. К сожалению, хотя модель Калдейры-Леггетта приводит к физически непротиворечивой картине квантовой диссипации, ее эргодические свойства слишком слабы, и поэтому динамика модели не порождает крупномасштабную квантовую запутанность между модами ванны.

Альтернативная модель ванны - это центробежная ванна. ^[6] При низких температурах и слабой связи система-ванна модели Кальдейры-Леггетта и центрифуги эквивалентны. Но для более высоких температур или сильной связи система-ванна модель прядильной ванны имеет сильные эргодические свойства. После подключения системы между всеми режимами возникает значительная запутанность. Другими словами, модель спиновой ванны может имитировать модель Кальдейры-Леггетта, но обратное неверно.

Примером естественной системы, связанной с центрифугой, является азотно-вакансионный (NV) центр в алмазах. В этом примере центр окраски - это система, а ванна состоит из примесей углерода-13 ( ¹³ C), которые взаимодействуют с системой через магнитное диполь-дипольное взаимодействие .

Для открытых квантовых систем, в которых ванна имеет особенно быстрые колебания, их можно усреднить, глядя на достаточно большие изменения во времени. Это возможно, потому что средняя амплитуда быстрых колебаний в большом масштабе времени равна центральному значению, которое всегда можно выбрать равным нулю с небольшим сдвигом по вертикальной оси. Этот метод упрощения задач известен как секулярное приближение.

Немарковские уравнения [ править ]

Открытые квантовые системы, не обладающие марковским свойством, как правило, решать гораздо сложнее. Это во многом связано с тем, что следующее состояние немарковской системы определяется каждым из ее предыдущих состояний, что быстро увеличивает требования к памяти для вычисления эволюции системы. В настоящее время методы лечения этих систем используют так называемые методы оператора проекции . В этих методах используется оператор проекции , который эффективно применяет трассировку к окружающей среде, как описано ранее. Результат применения к (т.е. вычисления ) называется соответствующую часть из . Для полноты картины определен другой оператор так, чтобы где${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}={\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$- единичная матрица. Результат применения к (т.е. вычисления ) называется ненужную часть из . Основная цель этих методов состоит в том, чтобы затем вывести основное уравнение, определяющее эволюцию .${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}\rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho }$

Один из таких выводов с использованием техники проекционного оператора приводит к так называемому уравнению Накадзимы – Цванцига . Этот вывод подчеркивает проблему нелокальности приведенной динамики во времени:

${\displaystyle \partial _{t}{\rho }_{\mathrm {S} }={\mathcal {P}}{\cal {L}}{{\rho }_{\mathrm {S} }}+\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{\mathrm {S} }}(t-{t}')}.}$

Здесь эффект бани на протяжении всей эволюции системы скрыт в ядре памяти . Хотя уравнение Накадзимы-Цванцига является точным уравнением, которое справедливо почти для всех открытых квантовых систем и сред, его может быть очень сложно решить. Это означает, что обычно необходимо вводить приближения, чтобы уменьшить сложность проблемы до чего-то более управляемого. В качестве примера, предположение о быстрой ванне требуется , чтобы привести к местному времени уравнения: . Другие примеры допустимых приближений включают приближение слабой связи и приближение одинарной связи.${\displaystyle \kappa (\tau )}$${\displaystyle \partial _{t}\rho _{S}={\cal {L}}\rho _{S}}$

В некоторых случаях техника оператора проекции может использоваться для уменьшения зависимости следующего состояния системы от всех ее предыдущих состояний. Этот метод приближения к открытым квантовым системам известен как метод проекционного оператора без временной свертки, и он используется для генерации основных уравнений, которые по своей природе локальны во времени. Поскольку в этих уравнениях можно пренебречь большей частью истории системы, их часто легче решить, чем такие вещи, как уравнение Накадзима-Цванцига.

Другой подход возникает как аналог классической теории диссипации, развитой Рёго Кубо и Ю. Танимурой. Этот подход связан с иерархическими уравнениями движения, которые включают оператор плотности в большее пространство вспомогательных операторов, так что локальное уравнение времени получается для всего набора, а их память содержится во вспомогательных операторах.

См. Также [ править ]

• Уравнение Линдблада
• Марковская собственность
• Главное уравнение
• Квантовая термодинамика

Ссылки [ править ]

Неклассифицированные ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Аккарди, Луиджи; Лу, Юнь Ган; Волович, И.В. (2002). Квантовая теория и ее стохастический предел . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41928-0.
• Алики, Роберт; Ленди, Карл (1987). Квантовые динамические полугруппы и приложения . Берлин: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-18276-6.
• Атталь, Стефан; Джой, Ален; Пилле, Клод-Ален (2006). Открытые квантовые системы II: марковский подход . Springer. ISBN 978-3-540-30992-5.
• Дэвис, Эдвард Брайан (1976). Квантовая теория открытых систем . Лондон: Academic Press. ISBN 978-0-12-206150-9.
• Ингарден, Роман С .; Косаковский, А .; Охя, М. (1997). Информационная динамика и открытые системы: классический и квантовый подход . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.
• Линдблад, Г. (1983). Неравновесная энтропия и необратимость . Дордрехт: Дельта Рейдел. ISBN 978-1-4020-0320-2.
• Okolowicz, J .; Płoszajczak, M .; Назаревич, В. (2012). «О происхождении ядерной кластеризации». Приложение "Прогресс теоретической физики" . 196 : 230–243. arXiv : 1202,6290 . Bibcode : 2012PThPS.196..230O . DOI : 10.1143 / PTPS.196.230 .
• Тарасов, Василий Е. (2008). Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем . Амстердам, Бостон, Лондон, Нью-Йорк: Elsevier Science. ISBN 978-0-08-055971-1.
• Вайс, Ульрих (2012). Квантовые диссипативные системы (4-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4374-91-0.
• Wiseman, Howard M .; Милберн, Джерард Дж. (2010). Квантовые измерения и контроль . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-80442-4.

Внешние ссылки [ править ]

• Учебные материалы по открытым квантовым системам в Викиверситете