В квантовой механике , А матрица плотности представляет собой матрицу , которая описывает квантовое состояние физической системы. Он позволяет рассчитывать вероятности результатов любого измерения, выполненного в этой системе, с использованием правила Борна . Это обобщение более обычных векторов состояний или волновых функций: хотя они могут представлять только чистые состояния , матрицы плотности также могут представлять смешанные состояния . Смешанные состояния возникают в квантовой механике в двух разных ситуациях: во-первых, когда подготовка системы не полностью известна, и, следовательно, необходимо иметь дело со статистическим ансамблем.возможных приготовлений, а во-вторых, когда кто-то хочет описать физическую систему, которая связана с другой, поскольку ее состояние не может быть описано чистым состоянием.
Таким образом, матрицы плотности являются важнейшими инструментами в областях квантовой механики, которые имеют дело со смешанными состояниями, таких как квантовая статистическая механика , открытые квантовые системы , квантовая декогеренция и квантовая информация .
Определение и мотивация
Матрица плотности представляет собой представление линейного оператора, называемого оператором плотности . Матрица плотности получается из оператора плотности путем выбора базиса в нижележащем пространстве. На практике термины матрица плотности и оператор плотности часто используются как взаимозаменяемые.
В языке оператора, оператор плотности для системы является положительным полуопределенным , эрмитов оператором след одного действующих на гильбертовом пространстве системы. [1] [2] [3] Это определение может быть мотивировано рассмотрением ситуации, когда чистое состояние готовится с вероятностью , известный как ансамбль . Вероятность получения проективного результата измеренияпри использовании проекторов дается формулой [4] : 99
что делает оператор плотности , определенный как
- ,
удобное представление состояния этого ансамбля. Легко проверить, что этот оператор положительно полуопределен, эрмитов и имеет след один. Наоборот, из спектральной теоремы следует, что любой оператор с этими свойствами можно записать как для некоторых штатов и коэффициенты неотрицательные и в сумме равные единице. [5] [4] : 102 Однако это представление не будет уникальным, как показывает теорема Шредингера – HJW .
Другая причина для определения операторов плотности связана с рассмотрением локальных измерений запутанных состояний. Позволять - чистое запутанное состояние в составном гильбертовом пространстве . Вероятность получения результата измерения при измерении проекторов на гильбертовом пространстве только дается [4] : 107
где обозначает частичный след над гильбертовым пространством. Это заставляет оператора
удобный инструмент для расчета вероятностей этих локальных измерений. Это известно как редуцированная матрица плотности изна подсистеме 1. Легко проверить, что этот оператор обладает всеми свойствами оператора плотности. Наоборот, из теоремы Шредингера – HJW следует, что все операторы плотности могут быть записаны как для какого-то государства .
Чистые и смешанные состояния
Чистое квантовое состояние - это состояние, которое нельзя записать как вероятностную смесь или выпуклую комбинацию других квантовых состояний. [3] Существует несколько эквивалентных описаний чистых состояний на языке операторов плотности. [6] : 73 Оператор плотности представляет чистое состояние тогда и только тогда, когда:
- его можно записать как внешний продукт вектора состояния с собой, то есть
- это проекция , в частности, первого ранга .
- он идемпотентен , то есть
- .
- он имеет чистоту один, то есть
- .
Важно подчеркнуть разницу между вероятностной смесью квантовых состояний и их суперпозицией . Если физическая система готова быть в состоянии или же , с равной вероятностью описывается смешанным состоянием
где а также для простоты считаются ортогональными и имеют размерность 2. С другой стороны, квантовая суперпозиция этих двух состояний с равными амплитудами вероятности приводит к чистому состоянию с матрицей плотности
В отличие от вероятностной смеси эта суперпозиция может проявлять квантовую интерференцию . [4] : 81
Геометрически набор операторов плотности является выпуклым множеством , а чистые состояния являются экстремальными точками этого множества. Самый простой случай - это двумерное гильбертово пространство, известное как кубит . Произвольное состояние кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые служат основой длясамосопряженные матрицы: [7] : 126
где реальные числа - координаты точки внутри единичного шара и
Очки с представляют чистые состояния, в то время как смешанные состояния представлены точками внутри. Это известно как сфера Блоха в пространстве состояний кубита.
Пример: поляризация света
Примером чистого и смешанного состояний является поляризация света . Отдельный фотон можно описать как имеющий правую или левую круговую поляризацию , описываемую ортогональными квантовыми состояниями. или же суперпозиция из двух: он может находиться в любом состоянии (с участием ), соответствующий линейной , круговой или эллиптической поляризации . Рассмотрим теперь вертикально поляризованный фотон, описываемый состоянием. Если мы пропустим его через круговой поляризатор, который позволяет только поляризованный свет, или только поляризованный свет, половина фотонов поглощается в обоих случаях. Может показаться, что половина фотонов находится в состоянии а другая половина в состоянии , но это неверно: если мы пройдем хотя линейный поляризатор нет никакого поглощения, но если мы пройдем любое состояние или же половина фотонов поглощается.
Неполяризованный свет (например, свет от лампы накаливания ) нельзя описать как какое-либо состояние формы(линейная, круговая или эллиптическая поляризация). В отличие от поляризованного света, он проходит через поляризатор с потерей интенсивности на 50% независимо от ориентации поляризатора; и его нельзя сделать поляризованным, пропустив его через какую-либо волновую пластину . Однако неполяризованный свет можно описать как статистический ансамбль, например, как каждый фотон, имеющий либо поляризация или поляризация с вероятностью 1/2. Такое же поведение произошло бы, если бы каждый фотон имел вертикальную поляризацию или горизонтальная поляризация с вероятностью 1/2. Эти два ансамбля экспериментально совершенно неразличимы, поэтому они считаются одним и тем же смешанным состоянием. Для этого примера неполяризованного света оператор плотности равен [6] : 75
Есть и другие способы генерации неполяризованного света: одна из возможностей - внести неопределенность в подготовку фотона, например, пропустить его через двулучепреломляющий кристалл с шероховатой поверхностью, так что несколько разные части светового луча приобретают разную поляризацию. Другая возможность - использование запутанных состояний: радиоактивный распад может испускать два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии.. Совместное состояние двух фотонов вместе является чистым, но матрица плотности для каждого фотона в отдельности, найденная путем взятия частичного следа совместной матрицы плотности, полностью перемешана. [4] : 106
Эквивалентные ансамбли и очистки
Данный оператор плотности не определяет однозначно, какой ансамбль чистых состояний его порождает; в общем, существует бесконечно много различных ансамблей, порождающих одну и ту же матрицу плотности. [8] Их нельзя отличить никаким измерением. [9] Эквивалентные ансамбли можно полностью охарактеризовать: пустьбыть ансамблем. Тогда для любой комплексной матрицы такой, что ( частичная изометрия ) ансамбль определяется
приведет к тому же оператору плотности, и все эквивалентные ансамбли имеют эту форму.
Тесно связанный факт состоит в том, что данный оператор плотности имеет бесконечно много различных очисток , которые являются чистыми состояниями, которые порождают оператор плотности, когда берется частичный след. Позволять
- оператор плотности, порожденный ансамблем , с состояниями не обязательно ортогонально. Тогда для всех частичных изометрий у нас есть это
это очищение , где ортогональный базис, и, кроме того, все очищения от имеют эту форму.
Измерение
Позволять быть наблюдаемым системы, и предположим, что ансамбль находится в смешанном состоянии, так что каждое из чистых состояний происходит с вероятностью . Тогда соответствующий оператор плотности равен
Среднее значение из измерений может быть рассчитано путем расширения от случая чистых состояний:
где обозначает след . Итак, знакомое выражение для чистых состояний заменяется на
для смешанных состояний. [6] : 73
Более того, если имеет спектральное разрешение
где - оператор проекции в собственное подпространство, соответствующее собственному значению, оператор плотности после измерения дается формулой [10] [11]
когда получен результат i . В случае, когда результат измерения неизвестен, ансамбль описывается следующим образом:
Если предположить, что вероятности результатов измерений являются линейными функциями проекторов , то они должны быть заданы следом проектора с оператором плотности. Теорема Глисона показывает, что в гильбертовых пространствах размерности 3 или более предположение линейности может быть заменено предположением неконтекстуальности . [12] Это ограничение на размерность можно снять, допустив неконтекстуальность и для POVM , [13] [14], но это критиковалось как физически немотивированное. [15]
Энтропия
Фон Нейман энтропия смеси можно выразить через собственные значения или в терминах следа и логарифма оператора плотности. Сявляется положительно полуопределенным оператором, он имеет спектральное разложение такое, что, где ортонормированные векторы, , а также . Тогда энтропия квантовой системы с матрицей плотности является
Из этого определения следует, что энтропия фон Неймана любого чистого состояния равна нулю. [16] : 217 Если состояния, которые имеют носитель на ортогональных подпространствах, то энтропия фон Неймана выпуклой комбинации этих состояний,
дается энтропиями фон Неймана состояний и энтропия Шеннона вероятностного распределения:
Когда государства не имеют ортогональных носителей, сумма в правой части строго больше энтропии фон Неймана выпуклой комбинации . [4] : 518
Учитывая оператор плотности и проективное измерение, как в предыдущем разделе, состояние определяется выпуклой комбинацией
которое можно интерпретировать как состояние, полученное при выполнении измерения, но без записи того, какой результат произошел, [7] : 159 имеет энтропию фон Неймана больше, чем энтропия, кроме случаев, когда . Однако возможнопроизведенный обобщенным измерением, или POVM , чтобы иметь более низкую энтропию фон Неймана, чем. [4] : 514
Уравнение фон Неймана для эволюции во времени
Так же, как уравнение Шредингера описывает эволюцию чистых состояний во времени, уравнение фон Неймана (также известное как уравнение Лиувилля – фон Неймана ) описывает эволюцию оператора плотности во времени. Уравнение фон Неймана гласит, что [17] [18] [19]
где скобки обозначают коммутатор .
Обратите внимание, что это уравнение справедливо только в том случае, если оператор плотности взят за изображение Шредингера , даже несмотря на то, что на первый взгляд кажется, что это уравнение имитирует уравнение движения Гейзенберга из изображения Гейзенберга , с решающей разницей знаков:
где некоторый оператор изображения Гейзенберга ; но на этом рисунке матрица плотности не зависит от времени , а относительный знак гарантирует, что производная по времени от ожидаемого значениявыходит так же, как на картине Шредингера . [3]
Если гамильтониан не зависит от времени, уравнение фон Неймана можно легко решить, чтобы получить
Для более общего гамильтониана, если является пропагатором волновой функции на некотором интервале, то временная эволюция матрицы плотности на том же интервале определяется выражением
Функции Вигнера и классические аналогии
Оператор матрицы плотности также может быть реализован в фазовом пространстве . При отображении Вигнера матрица плотности преобразуется в эквивалентную функцию Вигнера :
Уравнение для временной эволюции функции Вигнера, известное как уравнение Мойала , тогда является преобразованием Вигнера вышеупомянутого уравнения фон Неймана,
где - гамильтониан, а - скобка Мойала , преобразование квантового коммутатора .
Уравнение эволюции для функции Вигнера затем аналогично его классического предела уравнения Лиувилля в классической физике . В пределе исчезающей постоянной Планка, сводится к классической функции плотности вероятности Лиувилля в фазовом пространстве .
Примеры приложений
Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики и появляются, по крайней мере, время от времени практически в любом типе квантово-механических расчетов. Вот некоторые конкретные примеры, в которых матрицы плотности особенно полезны и распространены:
- Статистическая механика использует матрицы плотности, в первую очередь, чтобы выразить идею о том, что система подготовлена при ненулевой температуре. Построение матрицы плотности с использованием канонического ансамбля дает результат вида, где обратная температура а также - гамильтониан системы. Условие нормировки, что следбыть равным 1, определяет статистическую сумму как. Если количество частиц, участвующих в системе, само по себе неизвестно, то можно применить большой канонический ансамбль , в котором состояния, суммированные для создания матрицы плотности, взяты из пространства Фока . [20] : 174
- Теория квантовой декогеренции обычно включает неизолированные квантовые системы, развивающие сцепление с другими системами, включая измерительные устройства. Матрицы плотности значительно упрощают описание процесса и расчет его последствий. Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние, некогерентное сочетание классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку объединенное состояние системы и окружающей среды все еще остается чистым, но для всех практических целей необратимым, поскольку окружающая среда является очень большой и сложной квантовой системой, и обратить их взаимодействие невозможно. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического предела квантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них. [21]
- Точно так же в квантовых вычислениях , квантовой теории информации , открытых квантовых системах и других областях, где подготовка состояний зашумлена и может происходить декогеренция, часто используются матрицы плотности. Шум часто моделируется через канал деполяризации или канал демпфирования амплитуды . Квантовая томография - это процесс, с помощью которого на основе набора данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется матрица плотности, согласующаяся с этими результатами измерений. [22] [23]
- При анализе системы с большим количеством электронов, такой как атом или молекула , несовершенное, но полезное первое приближение состоит в том, чтобы рассматривать электроны как некоррелированные или каждый из которых имеет независимую одночастичную волновую функцию. Это обычная отправная точка при построении определителя Слейтера в методе Хартри – Фока . Если есть электроны заполняют одночастичные волновые функции , то набор электроны вместе можно охарактеризовать матрицей плотности .
C * -алгебраическая формулировка состояний
Сейчас общепринято, что описание квантовой механики, в котором все самосопряженные операторы представляют наблюдаемые, несостоятельно. [24] [25] По этой причине, наблюдаемые идентифицируется с элементами абстрактного C * -алгебра (то есть один без представления отмеченного как алгебры операторов) и состояния являются положительными линейными функционалами на А . Однако, используя конструкцию GNS , мы можем восстановить гильбертовы пространства, которые реализуют A как подалгебру операторов.
Геометрический чистое состояние на C * -алгебра A является состоянием , которое является крайней точкой множества всех состояний на A . По свойствам конструкции ГНС эти состояния соответствуют неприводимым представлениям о А .
Состояния C * -алгебры компактных операторов K ( H ) в точности соответствуют операторам плотности, и поэтому чистые состояния K ( H ) являются в точности чистыми состояниями в смысле квантовой механики.
Можно увидеть, что C * -алгебраическая формулировка включает как классические, так и квантовые системы. Когда система является классической, алгебра наблюдаемых становится абелевой C * -алгеброй. В этом случае состояния становятся вероятностными мерами, как отмечалось во введении.
История
Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом [26] и независимо, но менее систематически, Львом Ландау [27], а затем в 1946 году Феликсом Блохом . [28] Фон Нейман ввел матрицу плотности с целью развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Сама матрица плотности названий связана с ее классическим соответствием вероятностной мере в фазовом пространстве (распределению вероятностей положения и импульса) в классической статистической механике , которая была введена Вигнером в 1932 году [1].
Напротив, мотивация, которая вдохновляла Ландау, заключалась в невозможности описать подсистему составной квантовой системы вектором состояния. [27]
Смотрите также
- Атомный электронный переход
- Теория функций плотности
- Отношения Грина – Кубо
- Функция Грина (теория многих тел)
- Уравнение Линдблада
- Квазивероятностное распределение Вигнера
Примечания и ссылки
- ^ а б Фано, У. (1957). "Описание состояний в квантовой механике матрицами плотности и операторными методами". Обзоры современной физики . 29 (1): 74–93. Bibcode : 1957RvMP ... 29 ... 74F . DOI : 10.1103 / RevModPhys.29.74 .
- ^ Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Springer. ISBN 3-540-42082-7. OCLC 318268606 .
- ^ а б в Холл, Брайан К. (2013). «Системы и подсистемы, множественные частицы». Квантовая теория для математиков . Тексты для выпускников по математике. 267 . С. 419–440. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-7116-5_19 . ISBN 978-1-4614-7115-8.
- ^ Б с д е е г Нильсен, Майкл; Чуанг, Исаак (2000), квантовые вычисления и квантовая информация , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5.
- ^ Дэвидсон, Эрнест Рой (1976). Матрицы приведенной плотности в квантовой химии . Academic Press , Лондон.
- ^ а б в Перес, Ашер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer. ISBN 978-0-7923-3632-7. OCLC 901395752 .
- ^ а б Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1106.1445 . DOI : 10.1017 / 9781316809976.001 . ISBN 978-1-107-17616-4. OCLC 973404322 .
- ^ Киркпатрик, КА (февраль 2006 г.). "Теорема Шредингера-HJW". Основы физики . 19 (1): 95–102. arXiv : квант-ph / 0305068 . Bibcode : 2006FoPhL..19 ... 95K . DOI : 10.1007 / s10702-006-1852-1 . ISSN 0894-9875 .
- ^ Охс, Вильгельм (1981-11-01). «Некоторые комментарии к концепции состояния в квантовой механике» . Erkenntnis . 16 (3): 339–356. DOI : 10.1007 / BF00211375 . ISSN 1572-8420 .
- ^ Людерс, Герхарт (1950). "Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß". Annalen der Physik . 443 : 322. DOI : 10.1002 / andp.19504430510 . В переводе К.А. Киркпатрика Людерс, Герхарт (2006-04-03). «Относительно изменения состояния из-за процесса измерения». Annalen der Physik . 15 (9): 663–670. arXiv : квант-ph / 0403007 . Bibcode : 2006AnP ... 518..663L . DOI : 10.1002 / andp.200610207 . S2CID 119103479 .
- ^ Буш, Пол ; Лахти, Пекка (2009), Гринбергер, Даниэль; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.), «Правило Людерса», Сборник квантовой физики , Springer Berlin Heidelberg, стр. 356–358, DOI : 10.1007 / 978-3-540-70626-7_110 , ISBN 978-3-540-70622-9
- ^ Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. DOI : 10.1512 / iumj.1957.6.56050 . Руководство по ремонту 0096113 .
- ^ Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Письма с физическим обзором . 91 (12): 120403. Arxiv : колич-фот / 9909073 . Bibcode : 2003PhRvL..91l0403B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.91.120403 . PMID 14525351 . S2CID 2168715 .
- ^ Пещеры, Карлтон М .; Fuchs, Christopher A .; Манн, Киран К .; Ренес, Джозеф М. (2004). "Выводы типа Глисона правила квантовой вероятности для обобщенных измерений". Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : квант-ph / 0306179 . Bibcode : 2004FoPh ... 34..193C . DOI : 10,1023 / Б: FOOP.0000019581.00318.a5 . S2CID 18132256 .
- ^ Анджей Грудка; Павел Курзинский (2008). «Есть ли контекстность для одного кубита?». Письма с физическим обзором . 100 (16): 160401. arXiv : 0705.0181 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.100.160401 . PMID 18518167 . S2CID 13251108 .
- ^ Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (2011-03-04). Квантовые вычисления: мягкое введение . MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
- ^ Брейер, Хайнц; Петруччоне, Франческо (2002), Теория открытых квантовых систем , стр. 110, ISBN 978-0-19-852063-4
- ^ Швабль, Франц (2002), Статистическая механика , стр. 16, ISBN 978-3-540-43163-3
- ^ Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2008), Классическая механика и теория относительности , World Scientific, стр. 175–179, ISBN 978-981-283-251-1
- ^ Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC 860391091 .
- ^ Шлосхауэр, М. (2019). «Квантовая декогеренция». Отчеты по физике . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Bibcode : 2019PhR ... 831 .... 1S . DOI : 10.1016 / j.physrep.2019.10.001 . S2CID 208006050 .
- ^ Гранад, Кристофер; Комб, Джошуа; Кори, генеральный директор (01.01.2016). «Практическая байесовская томография». Новый журнал физики . 18 (3): 033024. arXiv : 1509.03770 . Bibcode : 2016NJPh ... 18c3024G . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 18/3/033024 . ISSN 1367-2630 . S2CID 88521187 .
- ^ Ардила, Луис; Хейл, Маркус; Эккардт, Андре (28 декабря 2018 г.). "Измерение одночастичной матрицы плотности фермионов и жестких бозонов в оптической решетке". Письма с физическим обзором . 121 (260401): 6. arXiv : 1806.08171 . Bibcode : 2018PhRvL.121z0401P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.121.260401 . PMID 30636128 . S2CID 51684413 .
- ^ См. Приложение, Макки, Джордж Уайтлоу (1963), Математические основы квантовой механики , Dover Books on Mathematics, New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
- ^ Эмч, Джерард Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
- ^ фон Нейман, Джон (1927), "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik" , Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272
- ^ а б «Проблема затухания в волновой механике (1927)». Собрание статей Л. Д. Ландау . 1965. С. 8–18. DOI : 10.1016 / B978-0-08-010586-4.50007-9 . ISBN 978-0-08-010586-4.
- ^ Фано, Уго (1995). «Матрицы плотности как векторы поляризации». Rendiconti Lincei . 6 (2): 123–130. DOI : 10.1007 / BF03001661 . S2CID 128081459 .