Чистота (квантовая механика)

В квантовой механике , и особенно в теории квантовой информации , чистота нормализованного квантового состояния - это скаляр, определяемый как

${\ Displaystyle \ гамма \, \ эквив \, {\ mbox {tr}} (\ ро ^ {2}) \,}$

где - матрица плотности состояния. Чистота определяет меру квантовых состояний, предоставляя информацию о том, насколько состояние смешано .${\ Displaystyle \ rho \,}$

Математические свойства [ править ]

Чистота нормализованной квантового состояния удовлетворяет , ^[1] , где это измерение в гильбертовом пространстве , на котором определяется состояние. Верхняя оценка получается с помощью и (см. След ). ${\ Displaystyle {\ frac {1} {d}} \ leq \ gamma \ leq 1 \,}$${\ displaystyle d \,}$${\ Displaystyle тр (\ ро) = 1 \,}$${\ Displaystyle тр (\ ро ^ {2}) \ leq тр (\ ро) \,}$

Если - проекция, определяющая чистое состояние, то верхняя граница насыщена: (см. Проекции ). Нижняя граница получается из полностью смешанного состояния, представленного матрицей .${\ Displaystyle \ rho \,}$${\ Displaystyle тр (\ ро ^ {2}) = тр (\ ро) = 1 \,}$${\ displaystyle {\ frac {1} {d}} I_ {d} \,}$

Чистота квантового состояния сохраняется при унитарных преобразованиях, действующих на матрицу плотности в виде , где U - унитарная матрица. В частности, он сохраняется под действием оператора временной эволюции , где H - оператор Гамильтона . ^{[1] [2]}${\ displaystyle \ rho \ mapsto U \ rho U ^ {\ dagger} \,}$ ${\ Displaystyle U (т, т_ {0}) = е ^ {{\ гидроразрыва {-i} {\ hbar}} Н (т-т_ {0})} \,}$

Физический смысл [ править ]

Чистое квантовое состояние можно представить как один вектор в гильбертовом пространстве. В формулировке матрицы плотности чистое состояние представлено матрицей ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\displaystyle \rho _{\mathrm {pure} }=|\psi \rangle \langle \psi |}$.

Однако смешанное состояние не может быть представлено таким образом, а вместо этого представлено линейной комбинацией чистых состояний.

${\displaystyle \rho _{\mathrm {mixed} }=\sum p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$

пока для нормализации. Параметр чистоты связан с коэффициентами: если только один коэффициент равен 1, состояние чистое; иначе чистота измеряет, насколько их значения похожи. Действительно, чистота составляет 1 / d, когда состояние полностью перемешано, т.е. ${\displaystyle \sum p_{i}=1}$

${\displaystyle \rho _{\mathrm {completely\ mixed} }={\frac {1}{d}}\sum _{i=1}^{d}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|={\frac {1}{d}}I_{d},}$

где - d ортонормированных векторов, составляющих основу гильбертова пространства. ^[3]${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Геометрическое изображение [ править ]

На сфере Блоха чистые состояния представлены точкой на поверхности сферы, а смешанные состояния представлены внутренней точкой. Таким образом, чистоту состояния можно представить как степень приближения точки к поверхности сферы.

Например, полностью смешанное состояние отдельного кубита представлено центром сферы посредством симметрии.${\displaystyle {\frac {1}{2}}I_{2}\,}$

Графическое представление о чистоте может быть достигнуто, если посмотреть на соотношение между матрицей плотности и сферой Блоха,

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right),}$

где - вектор, представляющий квантовое состояние (на или внутри сферы), и - вектор матриц Паули .${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

Так как матрицы Паули бесследовы, то все же tr ( ρ ) = 1. Однако в силу

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }},}$

${\displaystyle \rho ^{2}={\frac {1}{2}}[{\frac {1}{2}}(1+|a|^{2})I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}],}$

следовательно, tr, что согласуется с тем фактом, что чистыми являются только состояния на поверхности самой сферы (т.е. ).${\displaystyle (\rho ^{2})={\frac {1}{2}}(1+|a|^{2}),}$${\displaystyle |a|=1}$

Отношение к другим концепциям [ править ]

Линейная энтропия [ править ]

Чистота тривиально связана с линейной энтропией состояния соотношением${\displaystyle S_{L}\,}$

${\displaystyle \gamma =1-S_{L}\,.}$

Запутанность [ править ]

Чистое состояние 2- кубитов может быть записано (используя разложение Шмидта ) как , где - основания соответственно, и . Его матрица плотности равна . Степень, в которой он запутан, зависит от чистоты состояний его подсистем , и аналогично для (см. Частичный след ). Если это начальное состояние разделимо (т. Е. Есть только одно ), то оба являются чистыми. В противном случае это состояние запутано и оба смешаны. Например, если это максимально запутанное состояние, то оба полностью смешаны.${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}}$${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{j}\lambda _{j}|j\rangle _{A}|j\rangle _{B}}$${\displaystyle \{|j\rangle _{A}\},\{|j\rangle _{B}\}}$${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle \sum _{j}\lambda _{j}^{2}=1,\lambda _{j}\geq 0}$${\displaystyle \rho ^{AB}=\sum _{i,j}\lambda _{i}\lambda _{j}|i\rangle _{A}\langle j|_{A}\otimes |i\rangle _{B}\langle j|_{B}}$${\displaystyle \rho ^{A}=tr_{B}(\rho _{AB})=\sum _{j}\lambda _{j}^{2}|j\rangle _{A}\langle j|_{A}}$${\displaystyle \rho ^{B}}$${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$

Для состояний 2-кубитов (чистых или смешанных) число Шмидта (число коэффициентов Шмидта) не превышает 2. Используя этот критерий и критерий Переса – Городецки (для 2-кубитов), состояние запутывается, если его частичное транспонирование имеет не менее одно отрицательное собственное значение. Используя указанные выше коэффициенты Шмидта, отрицательное собственное значение равно . ^[4] негативность этого собственного значения также используется как мера запутанности - состояние более запутанными , как это собственное значение более отрицательным (до для состояний Bell ). Для состояния подсистемы (аналогично для ) выполняется следующее:${\displaystyle -\lambda _{0}\lambda _{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=-\lambda _{0}\lambda _{1}}$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \rho ^{A}=tr_{B}(|\psi \rangle _{AB}\langle \psi |_{AB})=\lambda _{0}^{2}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+\lambda _{1}^{2}|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}}$

И чистота есть .${\displaystyle \gamma =\lambda _{0}^{4}+\lambda _{1}^{4}=(\lambda _{0}^{2}+\lambda _{1}^{2})^{2}-2(\lambda _{0}\lambda _{1})^{2}=1-2{\mathcal {N}}^{2}}$

Можно видеть, что чем более запутанным является составное состояние (т.е. более отрицательно), тем менее чистым является состояние подсистемы.

Обратный коэффициент участия (IPR) [ править ]

В контексте локализации оказывается полезной величина, тесно связанная с чистотой, так называемая обратная доля участия (IPR). Он определяется как интеграл (или сумма для конечного размера системы) по квадрату плотности в некотором пространстве, например, реальном пространстве, пространстве импульсов или даже фазовом пространстве, где плотности будут квадратом волновой функции реального пространства. , квадрат волновой функции импульсного пространства или некоторая плотность фазового пространства, такая как распределение Хусими , соответственно. ^[5]${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(k)|^{2}}$

Наименьшее значение IPR соответствует полностью делокализованному состоянию системы такого размера , в котором IPR уступает . Значения IPR, близкие к 1, соответствуют локализованным состояниям (по аналогии чистым состояниям), как можно видеть с идеально локализованным состоянием , в котором IPR дает . В одном измерении IPR прямо пропорционален обратной длине локализации, т. Е. Размеру области, в которой локализовано состояние. Локализованные и делокализованные (расширенные) состояния в рамках физики конденсированного состояния в таком случае соответствуют изолирующему и металлическому состояниям соответственно, если представить себе электрон на решетке, не способный двигаться в кристалле.${\displaystyle \psi (x)=1/{\sqrt {N}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=N/(N^{1/2})^{4}=1/N}$${\displaystyle \psi (x)=\delta _{x,x_{0}}}$${\displaystyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=1}$ (локализованная волновая функция, IPR близок к единице) или способность двигаться (расширенное состояние, IPR близко к нулю).

В контексте локализации часто нет необходимости знать саму волновую функцию; часто бывает достаточно знать свойства локализации. Вот почему в этом контексте полезен IPR. IPR в основном берет полную информацию о квантовой системе (волновая функция; для -мерного гильбертова пространства нужно было бы хранить${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$значения, компоненты волновой функции) и сжимает его в одно число, которое затем содержит только некоторую информацию о свойствах локализации состояния. Несмотря на то, что эти два примера идеально локализованного и идеально делокализованного состояний были показаны только для волновой функции реального пространства и, соответственно, для IPR реального пространства, очевидно, что можно распространить идею на импульсное пространство и даже на фазовое пространство; IPR затем дает некоторую информацию о локализации в рассматриваемом пространстве, например, плоская волна будет сильно делокализована в реальном пространстве, но ее преобразование Фурье тогда сильно локализовано, поэтому здесь IPR реального пространства будет близок к нулю, а импульс космический IPR был бы близок к единице.

Проективность измерения [ править ]

Для квантового измерения проективность ^[6] - это чистота его состояния до измерения . Это состояние, предшествующее измерению, является основным инструментом ретродиктивного подхода квантовой физики, в котором мы делаем прогнозы относительно подготовки состояний, ведущих к заданному результату измерения. Это позволяет определить, в каких состояниях измеряемая система была подготовлена ​​к достижению такого результата.

Ссылки [ править ]