Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Квантовая вероятность была разработана в 1980-х годах как некоммутативный аналог колмогоровской теории случайных процессов . [1] [2] [3] [4] [5] Одна из его целей - прояснить математические основы квантовой теории и ее статистическую интерпретацию. [6] [7]

Значительное недавнее применение в физику является динамическим решением проблемы квантового измерения , [8] [9] , давая конструктивные модели процессов квантового наблюдения , которые разрешают многие известные парадоксы из квантовой механики .

Некоторые недавние достижения основаны на квантовой фильтрации [10] и теории управления с обратной связью как приложениях квантового стохастического исчисления .

Ортодоксальная квантовая механика [ править ]

У ортодоксальной квантовой механики есть два, казалось бы, противоречивых математических описания:

  1. детерминированная унитарная временная эволюция (регулируемая уравнением Шредингера ) и
  2. стохастический (случайный) коллапс волновой функции .

Большинство физиков не озабочены этой очевидной проблемой. Физическая интуиция обычно дает ответ, и только в нефизических системах (например, кот Шредингера , изолированный атом) парадоксы, кажется, возникают.

Ортодоксальную квантовую механику можно переформулировать в квантово-вероятностных рамках, где теория квантовой фильтрации (см. Введение в Бутен и др. [11] [12] или в Белавкин , 1970-е годы [13] [14] [15] ) дает естественное описание процесс измерения. Эта новая структура инкапсулирует стандартные постулаты квантовой механики и, следовательно, всю науку, участвующую в ортодоксальных постулатах.

Мотивация [ править ]

В классической теории вероятностей информация суммируется сигма-алгеброй событий F в классическом вероятностном пространстве (Ω, F , P ). Например, Р может быть σ-алгебра σ ( Х ) , порожденной случайной величиной X , который содержит всю информацию о значениях , принимаемых X . Мы хотим описать квантовую информацию в аналогичных алгебраических терминах таким образом, чтобы уловить некоммутативные особенности и информацию, доступную в эксперименте. Подходящей алгебраической структурой для наблюдаемых или, в более общем смысле, операторов является * -алгебра. А (унитальная) * - алгебра - это комплексное векторное пространство A операторов в гильбертовом пространстве H, которое

  • содержит тождество I и
  • замкнут относительно композиции (умножение) и сопряженного (инволюция * ): ∈ подразумевает собой * ∈ A .

Состояние P на A - это линейный функционал P  : A → C (где C - поле комплексных чисел ) такой, что 0 ≤ P ( a * a ) для всех a ∈ A (положительность) и P ( I ) = 1 ( нормализация). Проекция - это элемент p ∈ A такой, что p 2 = p = p * .

Математическое определение [ править ]

Основное определение квантовой вероятности - это определение квантового вероятностного пространства, иногда также называемого алгебраическим или некоммутативным вероятностным пространством.

Определение: квантовое вероятностное пространство.

Квантовое вероятностное пространство - это пара ( A , P ), где A - * -алгебра, а P - состояние.

Это определение является обобщением определения вероятностного пространства в колмогоровской теории вероятностей в том смысле, что каждое (классическое) вероятностное пространство порождает квантовое вероятностное пространство, если A выбрана в качестве * -алгебры почти всюду ограниченных комплекснозначных измеримые функции [ необходима цитата ] .

Идемпотенты p ∈ A - это события в A , а P ( p ) дает вероятность события p .

См. Также [ править ]

  • Теорема Глисона
  • Амплитуда вероятности

Ссылки [ править ]

  1. ^ Л. Аккарди; А. Фриджерио и Дж. Т. Льюис (1982). «Квантовые случайные процессы» (PDF) . Publ. Res. Inst. Математика. Sci . 18 (1): 97–133. DOI : 10.2977 / Призмы / 1195184017 .
  2. ^ RL Хадсон, KR Parthasarathy; Партасарати (1984). «Формула квантовой Ито и стохастические эволюции». Comm. Математика. Phys . 93 (3): 301–323. Bibcode : 1984CMaPh..93..301H . DOI : 10.1007 / BF01258530 .
  3. ^ KR Parthasarathy (1992). Введение в квантовое стохастическое исчисление . Монографии по математике. 85 . Базель: Birkhäuser Verlag.
  4. ^ Д. Войкулеску; К. Дикема; А. Ница (1992). Бесплатные случайные величины. Некоммутативный вероятностный подход к свободным произведениям с приложениями к случайным матрицам, операторным алгебрам и гармоническому анализу на свободных группах . Серия монографий CRM. 1 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
  5. ^ П.-А. Мейер (1993). Квантовая вероятность для вероятностников . Конспект лекций по математике. 1538 .
  6. ^ Джон фон Нейман (1929). "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren". Mathematische Annalen . 102 : 49–131. DOI : 10.1007 / BF01782338 .
  7. ^ Джон фон Нейман (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 38. Берлин: Springer.
  8. ^ В. П. Белавкина (1995). «Динамическая теория квантовых измерений и спонтанной локализации». Российский журнал математической физики . 3 (1): 3–24. arXiv : math-ph / 0512069 . Bibcode : 2005math.ph..12069B .
  9. ^ В.П. Белавкин (2000). «Динамическое решение проблемы квантовых измерений, причинности и парадоксов квантового века». Открытые системы и информационная динамика . 7 (2): 101–129. arXiv : квант-ph / 0512187 . DOI : 10,1023 / A: 1009663822827 .
  10. ^ В. П. Белавкина (1999). «Измерение, фильтрация и управление в квантовых открытых динамических системах». Доклады по математической физике . 43 (3): A405 – A425. arXiv : квант-ph / 0208108 . Bibcode : 1999RpMP ... 43A.405B . CiteSeerX 10.1.1.252.701 . DOI : 10.1016 / S0034-4877 (00) 86386-7 . 
  11. ^ Бутен, Люк; Ван Гендель, Рамон; Джеймс, Мэтью Р. (2007). «Введение в квантовую фильтрацию». SIAM Journal по управлению и оптимизации . 46 (6): 2199–2241. arXiv : math / 0601741 . DOI : 10.1137 / 060651239 . ISSN 0363-0129 . 
  12. ^ Люк Bouten; Рамон ван Гендель; Мэтью Р. Джеймс (2009). «Дискретное приглашение к квантовой фильтрации и управлению с обратной связью». SIAM Обзор . 51 (2): 239–316. arXiv : math / 0606118 . Bibcode : 2009SIAMR..51..239B . DOI : 10.1137 / 060671504 .
  13. ^ В. П. Белавкина (1972-1974). «Оптимальная линейная рандомизированная фильтрация сигналов квантовых бозонов». Проблемы теории управления и информации . 3 (1): 47–62.
  14. ^ В. П. Белавкина (1975). «Оптимальная множественная квантово-статистическая проверка гипотез». Стохастик . 1 (1–4): 315–345. DOI : 10.1080 / 17442507508833114 .
  15. ^ В. П. Белавкина (1978). «Оптимальная квантовая фильтрация маковских сигналов». Проблемы теории управления и информации . 7 (5): 345–360.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Хренников, Андрей Юрьевич (2009). «Классическая (колмогоровская) и квантовая (рожденная) вероятность» . Повсеместная квантовая структура: от психологии до финансов . Берлин: Springer. С. 19–40. DOI : 10.1007 / 978-3-642-05101-2_2 . ISBN 978-3-642-05100-5.
  • Сабо, Ласло Э. (2001). «Критические размышления о квантовой теории вероятностей». В Редеи, Миклош; Штельцнер, Майкл (ред.). Джон фон Нейман и основы квантовой физики . Бостон: Клувер. С. 201–219. DOI : 10.1007 / 978-94-017-2012-0_13 . ISBN 0-7923-6812-6.

Внешние ссылки [ править ]

  • Ассоциация квантового вероятностного и бесконечномерного анализа (AQPIDA)