Многогранник Штеффена , простейший из возможных несамопересекающихся изгибаемых многогранников
В геометрии , А гибкий полиэдр является многогранной поверхностью без каких - либо граничных ребер, форма которых может быть непрерывно изменяются при сохранении формы все его граней без изменений. Теорема Коши о жесткости показывает, что в размерности 3 такой многогранник не может быть выпуклым (это верно и для более высоких размерностей).
В конце 1970-х годов Коннелли и Д. Салливан сформулировали гипотезу сильфона, согласно которой объем гибкого многогранника инвариантен при изгибании. Эта гипотеза была доказана для многогранников гомеоморфного в сферу И. Х.. Сабитов ( 1995 ) с использованием теории исключения , а затем доказал для общих ориентируемых двумерных полиэдральных поверхностей Роберт Коннелли, И. Сабитов и Анке Вальц ( 1997 ). Доказательство расширяет формулу Пьеро делла Франческа для объема тетраэдра.к формуле объема любого многогранника. Расширенная формула показывает, что объем должен быть корнем многочлена, коэффициенты которого зависят только от длин ребер многогранника. Поскольку длины ребер не могут изменяться при изгибании многогранника, объем должен оставаться в одном из конечного числа корней многочлена, а не изменяться непрерывно. [2]
Ножничная конгруэнтность
Коннелли предположил, что инвариант Дена изгибаемого многогранника инвариантен относительно изгибания. Это было известно как гипотеза о сильных мехах или (после того, как она была доказана в 2018 г.) теорема о сильных мехах . [3] Поскольку все конфигурации гибкого многогранника имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена, они являются конгруэнтными друг другу ножницами , что означает, что для любых двух из этих конфигураций можно разрезать одну из них на многогранные части, которые могут быть повторно собранным, чтобы сформировать другой. Общая средняя кривизнагибкого многогранника, определяемого как сумма произведений длин ребер на внешние двугранные углы, является функцией инварианта Дена, который, как известно, остается постоянным, пока многогранник изгибается. [4]
Обобщения
Гибкие 4-многогранники в 4-мерном евклидовом пространстве и 3-мерном гиперболическом пространстве изучались Хельмутом Стахелем ( 2000 ). По размерам гибкие многогранники построены Гайфуллиным (2014) .
Смотрите также
Flexagon
Жесткое оригами
использованная литература
Примечания
↑ Александров (2010) .
^ Demaine и О'Рурк (2007) .
^ Гайфуллин & Игнащенко (2018) .
↑ Александр (1985) .
Основные источники
Александр, Ральф (1985), "Липшицевы отображения и полная средняя кривизна многогранных поверхностей I.", Труды Американского математического общества , 288 (2): 661-678, DOI : 10,2307 / 1999957 , JSTOR 1999957 , MR 0776397.
Александров, Виктор (2010), "Инварианты Дена октаэдров Брикара", Journal of Geometry , 99 (1-2): 1-13, arXiv : 0901.2989 , doi : 10.1007 / s00022-011-0061-7 , MR 2823098.
Bricard, R. (1897), "Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé" , J. Math. Pures Appl. , 5 (3): 113-148, заархивированы с оригинала на 2012-02-16 , извлекаются 2008-07-27
Коннелли, Роберт (1977), "контрпример к гипотезе жесткости для многогранников" , публикации Mathématiques де l'IHES , 47 (47): 333-338, DOI : 10.1007 / BF02684342 , ISSN 1618-1913 , MR 0488071
Коннелли, Роберт; Сабитов, И .; Вальц, Анке (1997), "Гипотеза мехов" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 38 (1): 1–10, ISSN 0138-4821 , MR 1447981
Гайфуллин, Александр А. (2014), "Гибкие кросс-многогранники в пространствах постоянной кривизны", Труды Математического института им . ВА Стеклова , 286 (1): 77–113, arXiv : 1312.7608 , doi : 10.1134 / S0081543814060066 , MR 3482593.
Gafullin, AA; Игнащенко, Л.С. (2018), "Инвариант Дена и ножничная конгруэнтность изгибаемых многогранников", Труды Математического института имени В.А. Стеклова , 302 (Топология и физика): 143–160, doi : 10.1134 / S0371968518030068 , ISBN 5-7846-0147-4, Руководство по ремонту 3894642.
Сабитов , И. Х. (1995), «К проблеме неизменности объема деформируемого многогранника», Российская академия наук. Московское математическое общество. Успехи математических наук , 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316 , MR 1339277
Stachel, Hellmuth (2006), "Гибкие октаэдры в гиперболическом пространстве", в A. Prékopa; и другие. (ред.), Неевклидовы геометрий (Бойяи мемориальный объем) , Математика и ее приложения, 581 , Нью - Йорк:. Springer, С. 209-225, CiteSeerX 10.1.1.5.8283 , DOI : 10.1007 / 0-387-29555 -0_11 , ISBN 978-0-387-29554-1, Руководство по ремонту 2191249.
Stachel, Hellmuth (2000), «Гибкие кросс-многогранники в евклидовом четырехмерном пространстве» (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 4 (2): 159–167, MR 1829540.
Вторичные источники
Коннелли, Роберт (1979), "Жесткость многогранных поверхностей", Математика Magazine , 52 (5): 275-283, DOI : 10,2307 / 2689778 , JSTOR 2689778 , MR 0551682.
Коннелли, Роберт (1981), "Прогиб поверхности", в Klarner, Дэвид А. (ред . ), Математическая Гарднер , Springer, С. 79-89,. Дои : 10.1007 / 978-1-4684-6686-7_10 , ISBN 978-1-4684-6688-1.
Коннелли, Роберт (1993), "Жесткость" (PDF) , Справочник по выпуклой геометрии, Vol. A, B , Амстердам: Северная Голландия, стр. 223–271, MR 1242981..