Ягодное соединение и кривизна

В физике, Берри соединение и Берри кривизна являются связанными понятиями , которые можно рассматривать, соответственно, как локальный датчик потенциал и калибровочное поле , связанное с фазой Берри или геометрической фазой. Эти концепции были введены Майклом Берри в статье, опубликованной в 1984 г. ^{[1], в которой} подчеркивается, как геометрические фазы обеспечивают мощную объединяющую концепцию в нескольких разделах классической и квантовой физики .

Фаза Берри и циклическая адиабатическая эволюция [ править ]

В квантовой механике фаза Берри возникает в результате циклической адиабатической эволюции. Квантовая адиабатическая теорема применима к системе, гамильтониан которой зависит от (векторного) параметра, который изменяется со временем . Если -й собственное значение остается невырожденными всюду по пути и изменение с течением времени т достаточно медленно, то система сначала в собственном состоянии будет оставаться в мгновенном собственном состоянии гамильтониана , вплоть до этапа, на протяжении всего процесса. Что касается фазы, состояние в момент времени t можно записать как ^[2]${\ Displaystyle Н (\ mathbf {R})}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \,|n(\mathbf {R} (0))\rangle }$${\displaystyle \,|n(\mathbf {R} (t))\rangle }$${\displaystyle \,H(\mathbf {R} (t))}$

${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,}$

где второй экспоненциальный член - это «динамический фазовый фактор». Первый экспоненциальный член - это геометрический член, являющийся фазой Берри. Из требования, удовлетворяющего нестационарному уравнению Шредингера , можно показать, что${\displaystyle \gamma _{n}}$${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle }$

${\displaystyle \gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,}$

указывая, что фаза Берри зависит только от пути в пространстве параметров, а не от скорости, с которой путь проходит.

В случае циклической эволюции вокруг замкнутого пути, такого что фаза Берри замкнутого пути равна${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)}$

${\displaystyle \gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .}$

Примером физической системы, в которой электрон движется по замкнутой траектории, является циклотронное движение (подробности приведены на странице фазы Берри ). Для получения правильного условия квантования необходимо учитывать фазу Берри.

Преобразование датчика [ править ]

Калибровочное преобразование может быть выполнено

${\displaystyle |{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} )\rangle }$

к новому набору состояний, которые отличаются от исходных только -зависимым фазовым множителем. Это изменяет фазу Берри с открытым путем . Для замкнутого пути непрерывность требует этого ( целого числа), и, следовательно, инвариантность по модулю относительно произвольного калибровочного преобразования.${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{n}(t)=\gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)}$${\displaystyle \beta (T)-\beta (0)=2\pi m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$

Ягодное соединение [ править ]

Фазу Берри замкнутого пути, определенную выше, можно выразить как

${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle }$

вектор-функция, известная как связность Берри (или потенциал Берри). Связь Берри зависит от калибра и преобразуется как . Следовательно, местная связь Берри никогда не может быть физически наблюдаемой. Однако его интеграл по замкнутому пути, фаза Берри , калибровочно-инвариантен с точностью до целого кратного . Таким образом, он абсолютно калибровочно-инвариантен и может быть связан с физическими наблюдаемыми.${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \gamma _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle e^{i\gamma _{n}}}$

Кривизна ягод [ править ]

Кривизна Берри - это антисимметричный тензор второго ранга, полученный из связности Берри через

${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu }(\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).}$

В трехмерном пространстве параметров кривизну Берри можно записать в виде псевдовектора

${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).}$

Тензорная и псевдовекторная формы кривизны Берри связаны между собой антисимметричным тензором Леви-Чивиты как . В отличие от связи Берри, которая является физической только после интегрирования по замкнутому пути, кривизна Берри является калибровочно-инвариантным локальным проявлением геометрических свойств волновых функций в пространстве параметров и оказалась важным физическим ингредиентом для понимание множества электронных свойств. ^{[3] [4]}${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }=\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }}$

Для замкнутого пути , образующего границу поверхности , фаза Берри замкнутого пути может быть переписана с использованием теоремы Стокса в виде${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).}$

Если поверхность является замкнутым многообразием, граничный член обращается в нуль, но неопределенность граничного члена по модулю проявляется в теореме Черна , которая утверждает, что интеграл кривизны Берри по замкнутому многообразию квантован в единицах . Это число является так называемым числом Черна и важно для понимания различных эффектов квантования.${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

Наконец, обратите внимание, что кривизна Берри также может быть записана как сумма по всем другим собственным состояниям в форме

${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\langle n|(\partial H/\partial R_{\mu })|n'\rangle \langle n'|(\partial H/\partial R_{\nu })|n\rangle -(\nu \leftrightarrow \mu ) \over (\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}.}$

Пример: спинор в магнитном поле [ править ]

Гамильтониан частицы со спином 1/2 в магнитном поле можно записать как ^[2]

${\displaystyle H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,}$

где обозначены матрицы Паули , - магнитный момент , B - магнитное поле. В трех измерениях собственные состояния имеют энергии, а их собственные векторы равны${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \pm \mu B}$

${\displaystyle |u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix}}.}$

Теперь рассмотрим состояние. Его связь Берри может быть вычислена как , а кривизна Берри равна. Если мы выберем новую калибровку путем умножения на , связи Берри будут и , в то время как кривизна Берри останется прежней. Это согласуется с выводом о том, что связь Берри зависит от калибровки, а кривизна Берри - нет.${\displaystyle |u_{-}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u|i\partial _{\theta }u\rangle =0,}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u|i\partial _{\phi }u\rangle =\sin ^{2}{\theta \over 2}}$${\displaystyle \Omega _{\theta \phi }=\partial _{\theta }{\mathcal {A}}_{\phi }-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }={1 \over 2}\sin \theta .}$${\displaystyle |u_{-}\rangle }$${\displaystyle e^{i\phi }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=0}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=-\cos ^{2}{\theta \over 2}}$

Кривизна Берри на телесный угол определяется выражением . В этом случае фаза Берри, соответствующая любому заданному пути на единичной сфере в пространстве магнитного поля, составляет лишь половину телесного угла, образованного этим путем. Таким образом, интеграл кривизны Берри по всей сфере равен точно , так что число Черна равно единице, что согласуется с теоремой Черна.${\displaystyle {\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$${\displaystyle 2\pi }$

Приложения в кристаллах [ править ]

Фаза Берри играет важную роль в современных исследованиях электронных свойств кристаллических твердых тел ^[4] и в теории квантового эффекта Холла . ^[5] Периодичность кристаллического потенциала позволяет применить теорему Блоха , согласно которой собственные состояния гамильтониана принимают вид

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$

где - индекс полосы, - волновой вектор в обратном пространстве ( зона Бриллюэна ) и является периодической функцией . Затем, позволяя играть роль параметра , можно определить фазы Берри, связи и кривизны в обратном пространстве. Например, связь Берри в обратном пространстве есть${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\rangle .}$

Поскольку из теоремы Блоха также следует, что само обратное пространство замкнуто, а зона Бриллюэна имеет топологию 3-тора в трех измерениях, требования интегрирования по замкнутому контуру или многообразию могут быть легко выполнены. Таким образом, такие свойства, как электрическая поляризация , орбитальная намагниченность , аномальная холловская проводимость и орбитальная магнитоэлектрическая связь, могут быть выражены в терминах фаз Берри, связей и кривизны. ^{[4] [6] [7]}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Квантовая фаза, пять лет спустя. М. Берри.
• Фазы Берри и кривизна в теории электронной структуры Доклад Д. Вандербильта.
• Берриология, орбитальные магнитоэлектрические эффекты и топологические изоляторы - доклад Д. Вандербильта.