Геометрическая фаза

В классической и квантовой механики , геометрическая фаза является фазой разница приобрела по ходу цикла , когда система подвергается воздействию циклических адиабатических процессов , результаты которых от геометрических свойств пространства параметров от Гамильтона . ^[1] Явление было независимо открыто Т. Като (1950), ^[2] С. Панчаратнам (1956), ^[3] и ХК Лонге-Хиггинсом (1958) ^[4], а затем обобщено сэром Майклом Берри (1984). ).^[5] Он также известен как фаза Панчаратнам-Berry , фазы Панчаратнам или фаза Берри . Это проявляется в коническом пересечении поверхностей потенциальной энергии ^{[4] [6]} и в эффекте Ааронова – Бома . Геометрическая фаза вокруг конического пересечения с участием основного электронного состояниямолекулярного ионаC ₆ H ₃ F ₃ ⁺ обсуждается на страницах 385-386 учебника Банкера и Йенсена. ^[7] В случае эффекта Ааронова – Бома адиабатическим параметром является магнитное полеокружен двумя путями интерференции, и он является циклическим в том смысле, что эти два пути образуют петлю. В случае конического пересечения адиабатические параметры являются координатами молекул . Помимо квантовой механики, он возникает во множестве других волновых систем, таких как классическая оптика . Как показывает опыт, это может происходить всякий раз, когда есть по крайней мере два параметра, характеризующие волну вблизи какой-либо сингулярности или дыры в топологии; два параметра необходимы, потому что либо множество неособых состояний не будет односвязным , либо будет ненулевая голономия .

Волны характеризуются амплитудой и фазой., и может варьироваться в зависимости от этих параметров. Геометрическая фаза возникает, когда оба параметра изменяются одновременно, но очень медленно (адиабатически), и в конечном итоге возвращаются к исходной конфигурации. В квантовой механике это может включать не только вращения, но и перемещения частиц, которые, по-видимому, отменяются в конце. Можно было бы ожидать, что волны в системе вернутся в исходное состояние, которое характеризуется амплитудами и фазами (и с учетом течения времени). Однако, если скачки параметров соответствуют петле, а не самовосстанавливающемуся возвратно-поступательному изменению, то возможно, что начальное и конечное состояния различаются по фазам. Эта разность фаз является геометрической фазой, и ее появление обычно указывает на то, что зависимость параметров системы сингулярна. (его состояние не определено) для некоторой комбинации параметров.

Для измерения геометрической фазы в волновой системе необходим интерференционный эксперимент . Маятник Фуко пример из классической механики , который иногда используется для иллюстрации геометрической фазы. Этот механический аналог геометрической фазы известен как угол Ханнея .

Фаза Берри в квантовой механике [ править ]

В квантовой системе в н-е собственного состояния , адиабатическое эволюция гамильтониана видит система остается в н-е собственного состояния гамильтониана, в тот же время получения фазового множителя. Полученная фаза имеет вклад от временной эволюции состояния, а другой - от изменения собственного состояния с изменением гамильтониана. Второй член соответствует фазе Берри, и для нециклических вариаций гамильтониана он может быть обращен в нуль посредством другого выбора фазы, связанной с собственными состояниями гамильтониана в каждой точке эволюции.

Однако, если изменение является циклическим, фазу Берри нельзя отменить; он инвариантен и становится наблюдаемым свойством системы. Рассматривая доказательство адиабатической теоремы, данное Максом Борном и Владимиром Фоком в Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), мы могли бы охарактеризовать все изменение адиабатического процесса в фазовом члене. В адиабатическом приближении коэффициент n-го собственного состояния при адиабатическом процессе определяется выражением

${\ displaystyle C_ {n} (t) = C_ {n} (0) \ exp \ left [- \ int _ {0} ^ {t} \ langle \ psi _ {n} (t ') | {\ dot {\ psi}} _ {n} (t ') \ rangle dt' \ right] = C_ {n} (0) e ^ {i \ gamma _ {n} (t)}}$

где - фаза Берри по параметру t. Преобразуя переменную t в обобщенные параметры, мы могли бы переписать фазу Берри в виде${\ Displaystyle \ гамма _ {п} (т)}$

${\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\!\langle n,t|\left(\nabla _{R}|n,t\right\rangle )\,dR\,}$

где параметризует циклический адиабатический процесс. Он следует замкнутому пути в соответствующем пространстве параметров. Геометрическая фаза на замкнутом пути также может быть рассчитана путем интегрирования кривизны Берри по поверхности, заключенной в .${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Примеры геометрических фаз [ править ]

Маятник Фуко [ править ]

Один из самых простых примеров - маятник Фуко . Простое объяснение с точки зрения геометрических фаз дано Вильчеком и Шапере ^[8].

Как маятник прецессирует, когда он движется по общей траектории C? При транспортировке вдоль экватора маятник не прецессирует. [...] Теперь, если C состоит из геодезических сегментов, прецессия будет происходить от углов, где пересекаются сегменты геодезических; полная прецессия равна чистому углу дефицита, который, в свою очередь, равен телесному углу, заключенному в C по модулю 2π. Наконец, мы можем аппроксимировать любую петлю последовательностью геодезических сегментов, поэтому наиболее общий результат (на поверхности сферы или за ее пределами) состоит в том, что суммарная прецессия равна замкнутому телесному углу.

Другими словами, нет инерционных сил, которые могли бы заставить маятник прецессировать, поэтому прецессия (относительно направления движения пути, по которому маятник перемещается) полностью обусловлена ​​поворотом этого пути. Таким образом, ориентация маятника претерпевает параллельный перенос . Для исходного маятника Фуко траектория представляет собой окружность широты, а по теореме Гаусса – Бонне фазовый сдвиг задается заключенным в нее телесным углом. ^[9]

Поляризованный свет в оптическом волокне [ править ]

Второй пример - это линейно поляризованный свет, попадающий в одномодовое оптическое волокно . Предположим, волокно прокладывает некоторый путь в пространстве, и свет выходит из волокна в том же направлении, в котором он входил. Затем сравните начальную и конечную поляризации. В полуклассическом приближении волокно функционирует как волновод, и импульс света всегда касается волокна. Поляризацию можно рассматривать как ориентацию, перпендикулярную импульсу. По мере того, как волокно прослеживает свой путь, вектор импульса света отслеживает путь на сфере в импульсном пространстве . Путь замкнут, поскольку начальное и конечное направления света совпадают, а поляризация - это вектор, касательный к сфере. Переход к импульсному пространству эквивалентен взятиюКарта Гаусса . Нет никаких сил, которые могли бы повернуть поляризацию, только ограничение оставаться касательной к сфере. Таким образом, поляризация претерпевает параллельный перенос, а фазовый сдвиг задается включенным телесным углом (умноженным на спин, который в случае света равен 1).

Эффект стохастической помпы [ править ]

Стохастический насос - это классическая стохастическая система, которая реагирует ненулевым в среднем током на периодические изменения параметров. Эффект стохастической накачки можно интерпретировать с точки зрения геометрической фазы в эволюции производящей функции момента стохастических токов. ^[10]

Spin ½ [ править ]

Геометрическую фазу можно точно оценить для частицы со спином 1/2 в магнитном поле. ^[1]

Геометрическая фаза, определенная на аттракторах [ править ]

Хотя формулировка Берри была первоначально определена для линейных гамильтоновых систем, вскоре Нинг и Хакен ^[11] осознали, что подобная геометрическая фаза может быть определена для совершенно разных систем, таких как нелинейные диссипативные системы, которые обладают определенными циклическими аттракторами. Они показали, что такие циклические аттракторы существуют в классе нелинейных диссипативных систем с определенными симметриями. ^[12]

Воздействие на пересечениях поверхностей молекулярного адиабатического потенциала [ править ]

Существует несколько способов вычисления геометрической фазы в молекулах в рамках концепции Борна Оппенгеймера. Один из способов - использовать " матрицу неадиабатической связи ", определяемую формулой${\displaystyle M\times M}$

${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\left\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\right\rangle }$

где - адиабатическая волновая функция электрона, зависящая от ядерных параметров . Неадиабатическая связь может быть использована для определения петлевого интеграла, аналогичного петле Вильсона (1974) в теории поля, независимо разработанной для молекулярного каркаса М. Бэром (1975, 1980, 2000). Учитывая замкнутый цикл , параметризованный где - параметр и . D-матрица определяется как:${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle R_{\mu }}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle R_{\mu }\left(t\right)}$${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$${\displaystyle R_{\mu }\left(t+1\right)=R_{\mu }\left(t\right)}$

${\displaystyle D\left[\Gamma \right]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }{\tau ^{\mu }dR_{\mu }}}}$

(здесь - символ упорядочивания путей). Можно показать, что когда-то достаточно большая (т.е. рассматривается достаточное количество электронных состояний), эта матрица диагональна с диагональными элементами, равными где геометрические фазы, связанные с петлей для адиабатического электронного состояния.${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle e^{i\beta _{j}}}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle j}$

Для симметричных электронных гамильтонианов с обращением времени геометрическая фаза отражает количество конических пересечений, окруженных петлей. Точнее:

${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=\left(-1\right)^{N_{j}}}$

где - количество конических пересечений, включающих адиабатическое состояние, окруженное петлей .${\displaystyle N_{j}}$${\displaystyle \psi _{j}}$${\displaystyle \Gamma }$

Альтернативой подходу D-матрицы может быть прямой расчет фазы Панчаратнама. Это особенно полезно, если вас интересуют только геометрические фазы одного адиабатического состояния. В этом подходе берется несколько точек вдоль петли с, а затем, используя только j-е адиабатические состояния, вычисляется произведение перекрытий Панчаратнама:${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \left(n=0,...,N\right)}$${\displaystyle R\left(t_{n}\right)}$${\displaystyle t_{0}=0}$${\displaystyle t_{N}=1}$${\displaystyle \psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]}$

${\displaystyle I_{j}\left(\Gamma ,N\right)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}{\left\langle \psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]|\psi _{j}\left[R\left(t_{n+1}\right)\right]\right\rangle }}$

В пределах одного (см. Ryb & Baer 2004 для объяснения и некоторых приложений):${\displaystyle N\to \infty }$

${\displaystyle I_{j}\left(\Gamma ,N\right)\to e^{i\beta _{j}}}$

Геометрическая фаза и квантование циклотронного движения [ править ]

Электрон в магнитном поле движется по круговой (циклотронной) орбите. ^[2] Обычно допустим любой циклотронный радиус . Квантово-механически, только дискретные уровни энергии ( уровни Ландау ) разрешены и С связано с энергией электрона, то это соответствует квантованным значениям . Условие квантования энергии, полученное путем решения уравнения Шредингера, читается, например, для свободных электронов (в вакууме) или для электронов в графене где . ^[3]${\displaystyle B}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},\alpha =1/2}$${\displaystyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\alpha =0}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ Хотя получение этих результатов несложно, существует альтернативный способ их получения, который предлагает в некотором отношении лучшее физическое понимание квантования уровней Ландау. Этот альтернативный способ основан на полуклассическом условии квантования Бора-Зоммерфельда.

${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2)}$

который включает геометрическую фазу, улавливаемую электроном, когда он выполняет свое (в реальном пространстве) движение по замкнутому контуру циклотронной орбиты. ^[13] Для свободных электронов, а для электронов в графене. Оказывается, геометрическая фаза напрямую связана со свободными электронами и электронами в графене.${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle \gamma =\pi }$${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle \alpha =0}$

См. Также [ править ]

• Тензор кривизны Римана - для связи с математикой
• Ягодное соединение и кривизна
• Черн класс
• Оптическое вращение
• Номер обмотки

Заметки [ править ]

^ Для простоты мы рассматриваем электроны, ограниченные плоскостью, такой как2DEG,и магнитное поле, перпендикулярное плоскости.

^ - циклотронная частота (для свободных электронов) и- скорость Ферми (электронов в графене).${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$${\displaystyle v}$

Сноски [ править ]

Источники [ править ]

• Джива Анандан; Радость Кристиан; Казимир Ванелик (1997). «Информационное письмо ГПП-1: Геометрические фазы в физике». Являюсь. J. Phys . 65 (3): 180. arXiv : Quant-ph / 9702011 . Bibcode : 1997AmJPh..65..180A . DOI : 10.1119 / 1.18570 .
• Cantoni, V .; Мистранджоли, Л. (1992). «Трехточечная фаза, симплектическая мера и фаза Берри». Международный журнал теоретической физики . 31 (6): 937. Bibcode : 1992IJTP ... 31..937C . DOI : 10.1007 / BF00675086 .
• Ричард Монтгомери (8 августа 2006 г.). Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям . American Mathematical Soc. С. 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5. (См. Главу 13 для математической обработки)
• Связь с другими физическими явлениями (такими как эффект Яна – Теллера ) обсуждаются здесь: Геометрическая фаза Берри: обзор
• Доклад профессора Гальвеза из Колгейтского университета, описывающий геометрическую фазу в оптике: приложения геометрической фазы в оптике
• Сурья Гангули, Связки волокон и калибровочные теории в классической физике: единое описание падающих кошек, магнитных монополей и фазы Берри
• Роберт Баттерман, Падающие кошки, параллельная парковка и поляризованный свет
• Баер, М. (1975). «Адиабатические и диабатические представления для столкновений атома-молекулы: рассмотрение коллинеарного расположения». Письма по химической физике . 35 (1): 112–118. Bibcode : 1975CPL .... 35..112B . DOI : 10.1016 / 0009-2614 (75) 85599-0 .
• М. Баер, Электронные неадиабатические переходы: вывод общей матрицы адиабатически-диабатического преобразования , Мол. Phys. 40, 1011 (1980);
• М. Баер, Существование диабетических потенциалов и квантование неадиабатической матрицы , J. Phys. Chem. А 104, 3181-3184 (2000).
• Рыб, I; Баер, Р. (2004). «Комбинаторные инварианты и коварианты как инструменты для конических пересечений». Журнал химической физики . 121 (21): 10370–5. Bibcode : 2004JChPh.12110370R . DOI : 10.1063 / 1.1808695 . PMID  15549915 .

• Вильчек, Франк ; Шапере, А. (1989). Геометрические фазы в физике . World Scientific. ISBN 978-9971-5-0621-6.
• Джерролд Э. Марсден; Ричард Монтгомери; Тюдор С. Ратиу (1990). Редукция, симметрия и фазы в механике . Книжный магазин AMS. п. 69. ISBN. 978-0-8218-2498-6.
• К. Пизани (1994). Квантово-механическое Ab-initio расчет свойств кристаллических материалов (Труды IV школы вычислительной химии Итальянского химического общества под ред.). Springer. п. 282. ISBN. 978-3-540-61645-0.
• Л. Манджиаротти, Геннадий Александрович Сарданашвили (1998). Калибровочная механика . World Scientific. п. 281. ISBN. 978-981-02-3603-8.
• Карин М. Рабе ; Жан-Марк Трискон; Чарльз Х. Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков в современной перспективе . Springer. п. 43. ISBN 978-3-540-34590-9.
• Майкл Баер (2006). Помимо Борна Оппенгеймера . Вайли. ISBN 978-0-471-77891-2.
• CZNing и H. Haken (1992). «Геометрические накопления фазы и амплитуды в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Phys. Rev. Lett . 68 (14): 2109–2122. Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.68.2109 . PMID  10045311 .
• CZNing и H. Haken (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Мод. Phys. Lett. B . 6 (25): 1541–1568. Bibcode : 1992MPLB .... 6.1541N . DOI : 10.1142 / S0217984992001265 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Майкл В. Берри; Геометрическая фаза, Scientific American 259 (6) (1988), 26-34 [4]