В теории чисел , в простых функциях омеги а также подсчитать количество простых делителей натурального числа Тем самым (маленькая омега) считает каждый отдельный простой множитель, тогда как связанная функция(большая омега) подсчитывает общее количество простых множителейсоблюдая их множественность (см. арифметические функции ). Например, если мы имеем разложение на простые множители в формы для различных простых чисел (), то соответствующие простые омега-функции имеют вид а также . Эти функции подсчета простых факторов имеют много важных теоретико-числовых соотношений.
в терминах бесконечного символа q-Похгаммера и ограниченных статистических сумм которые соответственно обозначают количество во всех разделах на нечетное ( четное ) количество отдельных частей. [6]
Продолжение на комплексную плоскость
Продолжение был обнаружен, хотя не везде аналитический. [7] Обратите внимание, что нормализованный функция используется.
Функции среднего порядка и сумматоры
Средний порядок обоих а также является . Когдаявляется простым нижняя граница значения функции. Аналогично, еслиэто primorial то функция такая же, какв среднем порядке. Когдастепень двойки , то. [8]
Асимптотика сумматорных функций над , , а также соответственно вычисляются Харди и Райтом как [9] [10]
Другие суммы, относящиеся к двум вариантам простых омега-функций, включают [11]
а также
Пример I: модифицированная сумматорная функция
В этом примере мы предлагаем вариант сумматорных функций. оценивается в приведенных выше результатах для достаточно больших . Затем мы доказываем асимптотическую формулу для роста этой модифицированной сумматорной функции, полученную из асимптотической оценкиприведенных в формулах в основном подразделе этой статьи выше. [12]
Чтобы быть полностью точным, пусть функция сумматора с нечетным индексом будет определена как
Доказательство этого результата следует, сначала заметив, что
а затем применяя асимптотический результат Харди и Райта для сумматорной функции над , обозначаемый , в следующем виде:
Пример II: Сумматорные функции для так называемых факторных моментов
Вычисления, расширенные в главе 22.11 Харди и Райта, дают асимптотические оценки сумматорной функции
оценивая произведение этих двухкомпонентных омега-функций как
Аналогичным образом мы можем вычислить асимптотические формулы в более общем виде для связанных сумматорных функций по так называемым факториальным моментам функции.
Функция является вполне аддитивным , гдеявляется сильно аддитивным (аддитивным) . Теперь мы можем доказать короткую лемму в следующей форме, из которой следует точные формулы для разложений ряда Дирихле по обоим а также :
Лемма. Предположим, чтоявляется сильно аддитивной арифметической функцией, определенной таким образом, что ее значения при простых степенях задаются, т.е. для различных простых чисел и экспоненты . Ряд Дирихле из расширяется
Распределение различных целочисленных значений разностей регулярна по сравнению с полуслучайными свойствами составляющих функций. Для, пусть множества
Этим множествам соответствует соответствующая последовательность предельных плотностей такой, что для
Эти плотности генерируются основными продуктами
С абсолютной постоянной , плотности удовлетворить
Сравните с определением простых произведений, определенным в последнем разделе [14] в связи с теоремой Эрдеша – Каца .
Смотрите также
Аддитивная функция
Арифметическая функция
Теорема Эрдеша – Каца
Омега-функция (значения)
простое число
Целое число без квадратов
Заметки
^ Это неравенство дается в разделе 22.13 Харди и Райта.
^ С. Р. Финч, Две асимптотические серии, Математические константы II, Cambridge Univ. Press, стр. 21–32, [1]
^ Каждая из них, начатая со второго тождества в списке, цитируется отдельно на страницах свертки Дирихле арифметических функций , тождества Менона и других формул для тотентифицирующей функции Эйлера . Первое тождество представляет собой комбинацию двух известных сумм делителей, указанных в разделе 27.6 Справочника по математическим функциям NIST .
^ Это предлагается в качестве упражнения в книге Апостола. А именно пишем где . Мы можем сформировать ряд Дирихле по в виде где - простая дзета-функция . Тогда становится очевидным, что - индикаторная функция простых чисел.
^ Это тождество доказано в статье Шмидта, цитируемой на этой странице ниже.
^ Эта треугольная последовательность также заметно проявляется в теоремах факторизации ряда Ламберта, доказанных Мерка и Шмидтом (2017–2018).
^ Z. Hoelscher & E. Palsson, Подсчет ограниченных разбиений целых чисел на дроби: симметрия и режимы производящей функции и связь с, Журнал бакалаврских исследований PUMP , 3 (2020), 277-307. [2]
^ Ссылки на каждую из этих оценок среднего порядка см. В уравнениях (3) и (18)справочника MathWorld и в разделе 22.10-22.11 Харди и Райта.
^ См. Разделы 22.10 и 22.11 для справки и явного вывода этих асимптотических оценок.
^ Фактически, доказательство последнего результата, данное у Харди и Райта, фактически предлагает более общую процедуру извлечения асимптотических оценок моментов для любой рассматривая сумматорные функции факторных моментов вида для более общих случаев .
↑ Харди и Райт Глава 22.11.
^ Nb, эта сумма предложена работой, содержащейся в неопубликованной рукописи автора этой страницы, связанной с развитием функции Мертенса . Следовательно, это не просто пустая и / или тривиальная оценка, полученная здесь с целью изложения.
^ Это тождество можно найти в разделе 27.4 Справочника по математическим функциям NIST .
^ Реньи, А .; Туран, П. (1958). «Об одной теореме Эрдеша-Каца» (PDF) . Acta Arithmetica . 4 (1): 71–84. DOI : 10,4064 / аа-4-1-71-84 .
Рекомендации
Г. Х. Харди и Э. М. Райт (2006). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
HL Montgomery и RC Vaughan (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
Шмидт, Макси (2017). "Теоремы факторизации для произведений Адамара и производные высшего порядка производящих функций ряда Ламберта". arXiv : 1712.00608 [ math.NT ].
Вайсштейн, Эрик. «Отличные основные факторы» . MathWorld . Проверено 22 апреля 2018 года .
Внешние ссылки
OEIS Wiki для связанных порядковых номеров и таблиц