В математике алгебра Бирмана – Мураками – Венцля (BMW) , введенная Джоан Бирман и Ханс Венцль ( 1989 ) и Джун Мураками ( 1987 ), представляет собой двухпараметрическое семейство алгебр измерения имеющая алгебру Гекке из симметрической группы как фактор. Это связано с Kauffman полиномом от в ссылке . Это деформация алгебры Брауэра во многом так же, как алгебры Гекке деформации групповой алгебры симметрической группы.
Определение
Для каждого натурального числа n алгебра BMW генерируется и отношения:
Эти отношения предполагают дальнейшие отношения:
Это первоначальное определение, данное Бирманом и Венцлем. Однако иногда делается небольшое изменение путем введения некоторых знаков минус в соответствии с «дубровницкой» версией Кауфмана его инварианта связи. Таким образом, четвертое отношение в исходной версии Birman & Wenzl заменяется на
- (Соотношение мотков Кауфмана)
Учитывая обратимость m , остальные соотношения в исходной версии Бирмана и Венцля могут быть сведены к
- (Идемпотентное отношение)
- (Отношения кос)
- (Отношения клубка)
- (Разрыв отношений)
Характеристики
- Размер является .
- Алгебра Iwahori-Гекк , связанная с симметричной группой является фактором алгебры Бирмана – Мураками – Венцля .
- Группа кос Артина вкладывается в алгебру BMW,.
Изоморфизм между алгебрами BMW и алгебрами клубков Кауфмана
Мортон и Вассерман (1989) доказали, что алгебра BMW изоморфна алгебре клубков Кауфмана , изоморфизм определяется
а также
Бакстеризация алгебры Бирмана – Мураками – Венцля.
Определите оператор лица как
- ,
где а также определяются
а также
- .
Тогда оператор лица удовлетворяет уравнению Янга – Бакстера .
Сейчас с участием
- .
В пределах , То косички могут быть восстановлены до более масштабного коэффициента .
История
В 1984 году Воан Джонс представил новый полиномиальный инвариант изотопических типов зацепления, который получил название полинома Джонса . Инварианты связаны со следами неприводимых представлений алгебр Гекке, ассоциированных с симметрическими группами . Мураками (1987) показал, что полином Кауфмана также можно интерпретировать как функциюна некоторой ассоциативной алгебре. В 1989 году Бирман и Венцль (1989) построили двухпараметрическое семейство алгебр с полиномом Кауфмана как след после соответствующей перенормировки.
Рекомендации
- Бирман, Джоан С .; Wenzl, Ганс (1989), "плетенка, ссылка многочлены и новая алгебра", Труды Американского математического общества , Американское математическое общество, 313 (1): 249-273, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1989-0992598- X , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001074 , MR 0992598
- Мураками, Джун (1987), "Полином Кауфмана связей и теория представлений" , Osaka Journal of Mathematics , 24 (4): 745–758, ISSN 0030-6126 , MR 0927059
- Мортон, Хью Р .; Вассерманн, Энтони Дж. (1989). «Базис алгебры Бирмана – Венцля». arXiv : 1012.3116 [ math.QA ].